基于PSO優(yōu)化模糊PID的3-PRS并聯(lián)機(jī)器人控制仿真分析

楊桃月，陳國(guó)雄，曹陽

（1.貴州職業(yè)技術(shù)學(xué) 院航空學(xué)院，貴州 貴陽 550023；2.貴陽萬江航空機(jī)電有限公司，貴州 貴陽 550018；3.貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025）

0 引言

并聯(lián)機(jī)器人由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單和承載能力強(qiáng)等性能，被廣泛應(yīng)用于機(jī)床、微動(dòng)機(jī)構(gòu)以及工業(yè)自動(dòng)化等領(lǐng)域[1]。目前，在并聯(lián)機(jī)器人的研究中已取得較多成果，大多集中于機(jī)構(gòu)學(xué)和控制方法等領(lǐng)域[2]。并聯(lián)機(jī)器人具有多輸入輸出、非線性程度高及強(qiáng)耦合等特點(diǎn)，在控制過程中各部件間容易產(chǎn)生相互干擾，嚴(yán)重影響其控制精度，需通過建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型代替復(fù)雜的系統(tǒng)進(jìn)行研究是具有十分重要的意義[3-4]。根據(jù)3-PRS并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立支鏈傳遞函數(shù)，并在常規(guī)PID的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了具有自適應(yīng)性強(qiáng)的模糊PID控制器。根據(jù)粒子群優(yōu)化算法具有收斂速度快的特點(diǎn)，將其與模糊PID控制器相結(jié)合，對(duì)該控制器的量化因子Ke、Kec和比例因子Ku進(jìn)行調(diào)整。對(duì)比三種控制器對(duì)3-PRS并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析，實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)器人控制系統(tǒng)參數(shù)的智能調(diào)整，有效驗(yàn)證了控制器與優(yōu)化算法相結(jié)合以提高系統(tǒng)的快速響應(yīng)性具有一定的可行性。

1 3-PRS并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)

1.1 機(jī)器人結(jié)構(gòu)

3-PRS并聯(lián)機(jī)器人由空間三個(gè)自由度機(jī)構(gòu)所組合而成，其結(jié)構(gòu)在靜平臺(tái)（底座）和動(dòng)平臺(tái)（工作臺(tái)）之間通過三個(gè)支鏈呈120°對(duì)稱形式相互連接。其中，每條支鏈上包含3個(gè)運(yùn)動(dòng)副，如平臺(tái)與連桿相接處的P球副、連桿與滑軌連接處采用R旋轉(zhuǎn)副，滑塊與導(dǎo)軌之間采用S移動(dòng)副相連接[5]。并聯(lián)機(jī)器人末端執(zhí)行器可實(shí)現(xiàn)一個(gè)平行和兩個(gè)旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，該機(jī)器人在結(jié)構(gòu)上具有較少支鏈數(shù)目，形成對(duì)稱分布結(jié)構(gòu)，構(gòu)成等邊三角形。3-PRS并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示。

圖1 3-PRS并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

在上述的簡(jiǎn)圖中，為更好描述并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)模型，以A1表示支鏈上球副的位置，B2表示旋轉(zhuǎn)副的位置，C3表示支鏈與靜平臺(tái)的連接點(diǎn)，且A和C則分別為靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)的質(zhì)心位置。根據(jù)3-PRS并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)來建立其運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，通常需要采用全局坐標(biāo)系和連體坐標(biāo)系來描述較為簡(jiǎn)便，如圖中的點(diǎn)C處為系統(tǒng)全局坐標(biāo)系C-xyz，點(diǎn)A為連體坐標(biāo)系A(chǔ)-uvw。

1.2 機(jī)器人數(shù)學(xué)模型的建立

并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)具有對(duì)稱性和相似性，在對(duì)其進(jìn)行軌跡跟蹤仿真分析時(shí)，為能夠真實(shí)反應(yīng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)特性，建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型可有效提高仿真效率，由此，每支鏈的數(shù)學(xué)傳遞表達(dá)式為[6]：

其中，根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)，所使用的3-PRS并聯(lián)機(jī)器人液壓驅(qū)動(dòng)器參數(shù)為：kv=0.08，wh=320，δh=0.2，vt=1.6×10-4，kce=6.14×10-12，βe=7×108；A=5.0×10-4；Ft=1200，將相關(guān)參數(shù)帶入式（1）中，可得：

2 模糊PID控制系統(tǒng)建立

2.1 模糊PID控制器設(shè)計(jì)

模糊PID是在常規(guī)PID的基礎(chǔ)上，將輸入和輸出與模糊控制理論相結(jié)合的控制算法，包括模糊化、模糊規(guī)則、解模糊。其利用模糊規(guī)則對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行實(shí)時(shí)的優(yōu)化，從而使系統(tǒng)不同時(shí)刻的期望值和實(shí)際輸出數(shù)值都符合控制條件。而PID算法則是一個(gè)線性控制系統(tǒng)，在控制中，通過針對(duì)被控對(duì)象的輸入與輸出r（t）數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)采集并于輸入值y（t）進(jìn)行比較，構(gòu)成控制偏差e（t），通過誤差的比例Kp、積分Ki和微分Kd來對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。PID控制傳遞函數(shù)的表達(dá)式為：

式中：Kp為比例系數(shù)；Ti為時(shí)間積分常數(shù)；τ為微分常數(shù)。

根據(jù)PID控制器結(jié)構(gòu)，其系統(tǒng)的控制微分方程為：

其中，u（t）為控制器輸出的控制量；e（t）為控制系統(tǒng)輸入；Td為微分時(shí)間常數(shù)。

在PID算法中，Kp可加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，提高調(diào)節(jié)精度；Ki可消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的速度；Kd改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，抑制偏差變化方向。由上述的傳遞函數(shù)，常規(guī)PID算法的原理如圖2所示。

圖2 PID控制算法原理框圖

當(dāng)所研究的被控制對(duì)象具有強(qiáng)非線性或時(shí)變性時(shí)，若采用傳統(tǒng)PID進(jìn)行調(diào)整，各參數(shù)選擇不合理容易使系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩，控制效果表現(xiàn)不佳，難以完成有效控制。在進(jìn)行研究具有較強(qiáng)的耦合性和復(fù)雜時(shí)控制對(duì)象時(shí)，采用模糊PID進(jìn)行控制可有效增強(qiáng)控制系統(tǒng)魯棒性，提高系統(tǒng)的抗干擾能力[7]。模糊PID原理圖如圖3所示。

圖3 模糊PID控制原理

模糊PID的原理是找出控制系統(tǒng)兩輸入與三輸出的模糊關(guān)系，根據(jù)定義的模糊規(guī)則來不斷調(diào)整輸出參數(shù)，以滿足不同的輸入對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行自適應(yīng)控制。模糊PID控制器的Simulink模型如圖4所示。

圖4 模糊PID的Simulink模型

2.2 模糊控制規(guī)則

在MATLAB中，通過輸入Fuzzy命令，即可打開設(shè)計(jì)工具箱。在控制算法中，其輸入為偏差e和偏差變化率ec，輸出變量分別為Kp、Ki、Kd，其三個(gè)輸出參數(shù)的調(diào)整公式如下：

其中，KP'、Ki'、Kd'分別是Kp、Ki、Kd的初始參數(shù)。

在控制器中，以輸入和輸出參數(shù)語言值的模糊子集為{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}，對(duì)應(yīng)元素所表示的含義分別為負(fù)大，負(fù)中，負(fù)小，零，正小，正中，正大。建立兩個(gè)輸入變量和3個(gè)輸出變量，確定輸入的論域范圍、輸出的隸屬度值和函數(shù)形狀等參數(shù)，反模糊化選擇重心法。

通過制定的模糊規(guī)則，計(jì)算出三個(gè)輸出參數(shù)的變化量值Δkp、Δki、Δkd。在制定模糊控制規(guī)則時(shí)，需結(jié)合控制對(duì)象選擇合理的隸屬度函數(shù)。設(shè)置e和ec的模糊論域均為[-6，6]，Δkp、Δki、Δkd的模糊論域分別設(shè)置為[-0.3，0.3]、[-0.06，0.06]、[-3，3]。其中，模糊語言NB和PB的隸屬函數(shù)均選擇gaussmf，其余均為trimf。采用最小最大合成法的模糊推理方法，清晰化采用Centroid（面積中心法）。根據(jù)定制的規(guī)則表，在Mamdani窗口下建立規(guī)則，寫成49條“if…and…then…”語言的格式如下：if（eis NB）and（ecis NB）then（Δkpis PB）（Δkiis NB）（Δkdis PS）（1）。

建立模糊規(guī)則后，查看控制器中的Surfaces可獲得兩個(gè)輸入分別與控制器三個(gè)輸出kp、ki、kd的特性曲面形狀。系統(tǒng)輸入輸出特性曲面如圖5所示。

圖5 規(guī)則特性曲面

3 粒子群算法優(yōu)化模糊PID控制系統(tǒng)的建立

3.1 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法（PSO）是通過模擬鳥群覓食行為的一種群體協(xié)作優(yōu)化算法。該優(yōu)化算法原理是將每個(gè)待求解優(yōu)化的解看作搜索空間的鳥群，每個(gè)粒子由一個(gè)被初始化函數(shù)決定的適應(yīng)值。在整個(gè)群體中，粒子被賦予運(yùn)動(dòng)方向和位置，通過不斷更新粒子的速度和位置，使優(yōu)化函數(shù)在整個(gè)解空間中搜尋最優(yōu)值。延生到n維空間中，存在任意m個(gè)粒子，粒子位置矢量為Xi（xi1，xi2，…，xin），速度矢量Vi（vi1，vi2，…，vin），粒子群最優(yōu)位置Pi=（pi1，pi2，…，pin）（i=1，2，3，…，m），最優(yōu)位置矢量Pg=（pg1，pg2，…，pgm）。

在進(jìn)行優(yōu)化求解時(shí)，根據(jù)初始化種群粒子的隨機(jī)位置和速度，并對(duì)當(dāng)前粒子的適應(yīng)值進(jìn)行評(píng)價(jià)。在每一次的迭代搜尋中，粒子所找到的最優(yōu)解個(gè)體極值Pbest和整個(gè)群體粒子的最優(yōu)解全局極值Gbest.。當(dāng)所有的種群粒子在整個(gè)空間中搜尋到滿足于適應(yīng)值的最佳位置時(shí)，則表明該位置的粒子為優(yōu)化值，即全局最優(yōu)解[8-9]。

3.2 粒子群優(yōu)化控制器建立

若采用普通的控制器如PID或者模糊PID來進(jìn)行位置控制，則難以達(dá)到精確控制要求[10]。為提高控制器的控制性能，在模糊控制器的基礎(chǔ)上，采用粒子群算法來優(yōu)化模糊PID，在優(yōu)化算法中，以優(yōu)化適應(yīng)度函數(shù)來確保系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，ITAE的計(jì)算式[11-12]為：

其中，t為系統(tǒng)仿真時(shí)間（s）；e（t）為控制器的位移偏差。

在MATLAB中編寫控制算法程序中，PSO優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)程序：

function z=PSO_PID（x）；assignin（'base'，'Kp'，x（1））；assignin（'base'，'Ki'，x（2））;assignin（'base'，'Kd'，x（3））;

[t_out，x_out，y_out]=sim（'Model'，[0，10]）;z=y_out（end，1）;

SO優(yōu)化算法部分主程序：

%%清空環(huán)境；Clear；clc；fuzzypid5=readfis（'fuzzy pid5.fis'）；w=0.6;c1=2；c2=2;Dim=3；SwarmSize=100；ObjFun=@PSO_PID；MaxIter=100；MinFit=0；Vmax=1；Vmin=-1；Ub=[2 2 5]；Lb=[0 0 0]。

采用粒子群算法優(yōu)化模糊控制器的量化因子Ke、Kec和比例因子Ku，通過建立3-PRS并聯(lián)機(jī)器人的Simulink模型，其結(jié)構(gòu)仿真如圖6所示。

圖6 三種系統(tǒng)控制器的Simulink仿真模型

4 不同算法的仿真結(jié)果分析

4.1 不同算法的位移響應(yīng)分析

采用階躍信號(hào)作為系統(tǒng)的輸入，仿真時(shí)間為20 s，并在時(shí)間為10 s時(shí)給定擾動(dòng)信號(hào)為20。傳統(tǒng)PID控制Kp為23，Ki為120，Kd為15，且采用PSO算法優(yōu)化模糊PID控制器的Ke為0.05，Kec為0.1，Ku為2.5。通過求解，獲得三種控制算法下的位移響應(yīng)曲線和位移誤差曲線如圖7所示。

圖7 位移與誤差響應(yīng)曲線

圖7（a）為系統(tǒng)的位移響應(yīng)曲線，圖7（b）為系統(tǒng)的位移誤差響應(yīng)曲線。根據(jù)圖中三種控制算法對(duì)被控對(duì)象的位移響應(yīng)曲線和位移誤差響應(yīng)曲線對(duì)比分析可得，引入粒子群優(yōu)化模糊PID控制后的系統(tǒng)位移響應(yīng)時(shí)間相比于傳統(tǒng)PID和模糊PID有所提升。系統(tǒng)在算法優(yōu)化控制器參數(shù)下，具有良好的改善性能，并且震蕩幅度較小，更能快速地趨于穩(wěn)定，使系統(tǒng)的抗干擾能力有所提升。

4.2 不同算法的正弦信號(hào)跟蹤分析

采用階躍信號(hào)和正弦信號(hào)組合形式來模擬系統(tǒng)在正常運(yùn)行過程中的運(yùn)行狀態(tài)，階躍信號(hào)可表示系統(tǒng)的啟動(dòng)狀態(tài)，正弦信號(hào)表示系統(tǒng)在正常運(yùn)行的過程。系統(tǒng)總仿真時(shí)間設(shè)置為20 s，其中，以前8 s為階躍信號(hào)，后12 s以幅值為0.2的正弦信號(hào)。通過觀察不同的信號(hào)變化輸入，比較系統(tǒng)在不同控制算法下的運(yùn)行軌跡響應(yīng)曲線，以此結(jié)果可有效反應(yīng)系統(tǒng)的控制性能，從而達(dá)到利用算法優(yōu)化分析的效果。三種控制算法仿真的位移響應(yīng)曲線結(jié)果如圖8所示。

圖8 正弦信號(hào)跟蹤對(duì)比結(jié)果

從上圖的對(duì)比分析可看出，常規(guī)PID控制的位移曲線震蕩較為明顯，系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間較長(zhǎng)，且在正弦信號(hào)時(shí)間段軌跡跟蹤精度較差。而采用算法優(yōu)化控制器的仿真效果較為理想，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)間較快，超調(diào)量較小，且位移的跟蹤精度相比于模糊PID的控制效果有所提升。

5 結(jié)語

根據(jù)3-PRS并聯(lián)機(jī)器人的實(shí)際工作狀況，在模糊PID控制的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化求解，通過對(duì)比分析三種仿真建模的結(jié)果可知，該控制算法的整體控制效果具有顯著提升，減小了超調(diào)量，提升系統(tǒng)的響應(yīng)速度。采用該控制控制方法，能夠發(fā)揮前兩種控制方式的優(yōu)點(diǎn)，克服所存在的缺點(diǎn)，使該并聯(lián)機(jī)器人具有較好的軌跡跟蹤能力。仿真結(jié)果可表明，通過粒子群算法優(yōu)化模糊PID控制器來提升系統(tǒng)的適應(yīng)性和魯棒性的控制策略是可行的。