基于螺旋理論的3D打印并聯(lián)解耦機構(gòu)綜述

戰(zhàn)麗娜 趙楠 肖淑斌

(湖南水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 湖南長沙 410131)

3D 打印機工作時，執(zhí)行機構(gòu)應(yīng)具備3 個空間的平移自由度?，F(xiàn)有的3D 打印機多采用串聯(lián)機器人機構(gòu)（見圖1），雖然短程送絲，打印空間大，但是普遍出現(xiàn)制造成本高、精度差、速度低、步進電機使用壽命短、系統(tǒng)穩(wěn)定性差以及控制困難等問題；后出現(xiàn)了采用Delta并聯(lián)機器人機構(gòu)的并聯(lián)式3D 打印機（見圖2），只有打印噴頭可以移動，三軸精度統(tǒng)一，打印速度相當(dāng)于串聯(lián)打印機的兩倍，但是空間利用率低，又由于Delta 機構(gòu)本身為耦合并聯(lián)機構(gòu)，三軸互相影響，打印機調(diào)試難度比串聯(lián)打印機要高好幾倍，且在高速運行下，打印噴頭的穩(wěn)定性和水平剛度較差。

圖1 串聯(lián)式3D打印機

該文從組成3D 打印機的最基本要素——機構(gòu)選型與設(shè)計為出發(fā)點，力圖改善打印精度、速度和效率等瓶頸問題，同時降低制造成本、簡化控制，為推進3D打印機技術(shù)的完善提供參考。

1 3D打印機執(zhí)行機構(gòu)輸出運動形式分析及機構(gòu)構(gòu)型設(shè)想

1.1 3D打印機執(zhí)行機構(gòu)輸出運動形式分析

串聯(lián)式3D 打印機（如圖1 所示）執(zhí)行機構(gòu)的輸出運動形式有兩種：一種是打印噴頭進行X 方向的左右平移和Y 方向的前后平移，工作臺進行Z 方向的上下平移；另一種是工作臺進行X方向的左右平移，打印噴頭進行Y 方向的前后平移和Z 方向的上下平移（或者是工作臺進行Y 方向的前后平移，打印噴頭進行X 方向的左右平移和Z方向的上下平移）。并聯(lián)式3D打印機（如圖2 所示）執(zhí)行機構(gòu)的輸出運動形式只有一種：即工作臺固定不動，打印噴頭可進行空間X、Y、Z 這3個方向的平移。

圖2 Delta并聯(lián)式3D打印機

1.2 3D打印機機構(gòu)構(gòu)型設(shè)想

機構(gòu)結(jié)構(gòu)設(shè)計是3D 打印機中既重要又復(fù)雜的工作，其直接決定著3D打印機的打印成本、速度、精度以及控制性能等。

與傳統(tǒng)的串聯(lián)式3D打印機（如圖1所示）相比，并聯(lián)式3D打印機的工作空間較小，而且并聯(lián)機構(gòu)為多支鏈閉環(huán)方式，以結(jié)構(gòu)緊湊、速度高、精度高、剛度大、累積誤差影響小和運動慣性小等特點而著稱，因此，并聯(lián)式3D 打印機更有優(yōu)勢，所以設(shè)計的3D 打印機機械本體新構(gòu)型一方面要保持現(xiàn)有并聯(lián)式打印機的優(yōu)點，另一方面要克服其缺點。

除此之外，少自由度解耦并聯(lián)機構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡單、控制容易和制造成本低等優(yōu)點；解耦并聯(lián)機構(gòu)不僅具備并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)緊湊、高精度、高強度、高承載能力、動態(tài)性能好、逆向運動學(xué)求解簡單等優(yōu)點，而且因為解耦使機構(gòu)分支之間相互獨立，所以還具有理論分析難度大幅降低、控制和裝配更方便、運動精度和設(shè)計任務(wù)更容易保證等獨特優(yōu)勢[1]。比如：孟令威就曾設(shè)計出三移兩轉(zhuǎn)混聯(lián)解耦機構(gòu)應(yīng)用在懸臂式3D打印機上[2]。

將三自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)或者二自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)融合打印機機身作為3D 打印機的機械本體，恰好可以滿足3D打印工作所要求的空間X、Y、Z這3個方向移動的自由度特征，符合客觀事實，既具有串聯(lián)式3D打印機各軸解耦的優(yōu)點，又具備并聯(lián)式打印機精度高的優(yōu)點，同時彌補了Delta 并聯(lián)式3D 打印機（如圖2所示）由于三軸耦合造成的調(diào)試?yán)щy的缺點。

因此，以三自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)或者二自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)作為3D打印機的機構(gòu)新構(gòu)型，能改善現(xiàn)有3D 打印機普遍存在的精度、速度、控制困難等問題，并具備降低制造成本以及簡化控制過程的條件，是實現(xiàn)3D打印解耦并聯(lián)機器人設(shè)備研制的一個重要研究方向，對革新3D 打印技術(shù)設(shè)計理念、改進其性能具有重要意義和價值。

2 解耦并聯(lián)式3D打印機執(zhí)行機構(gòu)新構(gòu)型綜述

并聯(lián)機構(gòu)的新構(gòu)型已經(jīng)有很多人做過研究，例如：曹毅等綜合出具有兩條連續(xù)確定轉(zhuǎn)軸的PRR 型并聯(lián)機構(gòu)[3]；李永泉等綜合出基于圖譜法的3 平移并聯(lián)機構(gòu)[4]；李云朋綜合出末端為2R2T 的含兩層并聯(lián)機構(gòu)的混聯(lián)機構(gòu)構(gòu)[5]；劉偉等綜合出具有2T1R與2R1T運動模式的3自由度并聯(lián)機構(gòu)[6]；王華明綜合出具有三轉(zhuǎn)動的少自由度廣義解耦并聯(lián)機構(gòu)[7]；陳海等綜合出基于螺旋理論的2T2R 完全解耦并聯(lián)機構(gòu)[8]；常威綜合出一系列移動解耦并聯(lián)機構(gòu)[9]，等等。下面將以螺旋理論為基礎(chǔ)來闡述解耦并聯(lián)式3D 打印執(zhí)行機構(gòu)的新構(gòu)型過程。

2.1 螺旋理論

對解耦并聯(lián)式3D打印機執(zhí)行機構(gòu)進行新構(gòu)型，須以螺旋理論[8]為基礎(chǔ)。螺旋又稱旋量，既可表示空間的一組對偶矢量，又可同時表示矢量的方向和位置、運動學(xué)中的角速度和線速度、剛體力學(xué)中的力和力偶等，每個螺旋都含有6個標(biāo)量。對于空間的兩點A和B，用螺旋來表示直線AB，具體如下。

式中，S為直線AB在空間直角坐標(biāo)系中的有向矢量，當(dāng)S·S0=0 時，$表示同一線矢；當(dāng)S·S0≠0 時，$表示旋量。

在并聯(lián)機構(gòu)中，當(dāng)以$表示剛體的運動時，稱之為運動螺旋。剛體的移動副可看成是一個瞬時轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸線與S正交，并位于距S無窮遠的平面內(nèi)，此時，移動副可用螺旋表示為：

式中，0是一個1×3的零矢量。

由分析可知，對具有3個自由度的并聯(lián)機構(gòu)，可以用3 個線性無關(guān)的運動螺旋來表示它能實現(xiàn)的運動，這3 個運動螺旋組成該并聯(lián)機構(gòu)的運動螺旋系，并稱為該螺旋系的一組基。而該并聯(lián)機構(gòu)的約束螺旋指的是與運動螺旋系中所有運動螺旋都互逆的螺旋，它表示該機構(gòu)被約束的運動，該并聯(lián)機構(gòu)的約束螺旋系由所有線性獨立的約束螺旋構(gòu)成，因此，三自由度并聯(lián)機構(gòu)的約束螺旋系由3個線性獨立的約束螺旋構(gòu)成。同理：對具有2 個自由度的并聯(lián)機構(gòu)，可以用2 個線性無關(guān)的運動螺旋來表示它能實現(xiàn)的運動，這2 個運動螺旋組成該并聯(lián)機構(gòu)的運動螺旋系，并稱為該螺旋系的一組基，且二自由度并聯(lián)機構(gòu)的約束螺旋系由2 個線性獨立的約束螺旋構(gòu)成。

2.2 3D打印解耦并聯(lián)機構(gòu)新構(gòu)型流程

根據(jù)約束螺旋型綜合法[9]和并聯(lián)機構(gòu)的轉(zhuǎn)動條件[9]可知，并聯(lián)機構(gòu)的運動平臺的約束螺旋是各個分支約束螺旋的并集，則該并聯(lián)機構(gòu)的運動平臺的運動螺旋系是所有分支運動螺旋系的交集；由于移動并聯(lián)機構(gòu)運動平臺所能實現(xiàn)的運動是所有分支所能實現(xiàn)移動的交集。因此，根據(jù)移動解耦并聯(lián)機構(gòu)分支輸入副選擇準(zhǔn)則[9]和移動解耦并聯(lián)機構(gòu)分支運動副的配置原則[9]以及并聯(lián)機構(gòu)移動自由度實現(xiàn)條件[9]，可綜合出可以實現(xiàn)連續(xù)運動的3D打印移動解耦并聯(lián)機構(gòu)新構(gòu)型，其新構(gòu)型的構(gòu)型流程是：根據(jù)3D打印機構(gòu)給定的自由度列出3D打印機構(gòu)所有的分支類型，基于螺旋理論列出各分支運動螺旋系，根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)的轉(zhuǎn)動條件確定各分支驅(qū)動方向和驅(qū)動副的類型，根據(jù)移動解耦并聯(lián)機構(gòu)分支輸入副選擇準(zhǔn)則和移動解耦并聯(lián)機構(gòu)分支運動副的配置原則綜合各分支類型，進而綜合出各分支運動鏈，根據(jù)3D 打印機構(gòu)需要滿足的自由度確定3D打印解耦并聯(lián)機構(gòu)的分支一，再根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)移動自由度的實現(xiàn)條件確定3D 打印解耦并聯(lián)機構(gòu)的其它分支，剔除瞬時性機構(gòu)后，得到期望的3D 打印解耦并聯(lián)機構(gòu)，如圖3所示。

圖3 3D打印解耦并聯(lián)機構(gòu)新構(gòu)型流程

2.3 3D打印解耦并聯(lián)機構(gòu)綜述

2.3.1 三自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)新構(gòu)型

根據(jù)3D打印機執(zhí)行機構(gòu)的輸出運動特性，可以綜合出一種三自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)，該機構(gòu)應(yīng)具有三分支，且分支中不具有閉環(huán)的三自由度。因為移動解耦并聯(lián)機構(gòu)運動平臺所能實現(xiàn)的移動為3個分支所能實現(xiàn)移動的交集，所期待的自由度是3，所以，機構(gòu)的分支類型都能作為X、Y、Z 軸方向的驅(qū)動。任意選擇一類分支作為分支一，只需根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)移動自由度的實現(xiàn)條件來確定分支二類型和分支三的類型。為了使三自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)的3個分支不滿足轉(zhuǎn)動條件，該并聯(lián)機構(gòu)的3 個分支不能同時具有同一方向的轉(zhuǎn)動。圖4所示的就是其中一種3-CPP三自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)。

圖4 3-CPP三自由度解耦并聯(lián)機構(gòu)

2.3.2 二自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)新構(gòu)型

根據(jù)3D打印機執(zhí)行機構(gòu)的輸出運動特性，可以綜合出一種二自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)，該機構(gòu)融合打印機機身實現(xiàn)三個方向上的平移自由度，該機構(gòu)應(yīng)具有兩分支，且分支中不具有閉環(huán)的二自由度。因為移動解耦并聯(lián)機構(gòu)運動平臺所能實現(xiàn)的移動為二個分支所能實現(xiàn)移動的交集，所期待的自由度是2，再與3D打印機本身的Z軸方向的移動相配合，所以，機構(gòu)的分支類型可以作為X軸和Y軸方向的驅(qū)動。任意選擇一類分支作為分支一，只需根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)移動自由度的實現(xiàn)條件來確定分支二類型。為了使二自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)的二個分支不滿足轉(zhuǎn)動條件，該并聯(lián)機構(gòu)的二個分支不能同時具有同一方向的轉(zhuǎn)動。圖5所示的就是其中一種PRRR-PRR 二自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)。

圖5 PRRR-PRR二自由度解耦并聯(lián)機構(gòu)

3 結(jié)論

（1）分析串、并聯(lián)3D 打印機執(zhí)行機構(gòu)輸出運動形式，提出將移動解耦并聯(lián)機構(gòu)作為3D打印機的機械本體機構(gòu)，拓展3D打印機機構(gòu)新構(gòu)型。

（2）以螺旋理論為理論依據(jù)，根據(jù)約束螺旋型綜合法、并聯(lián)機構(gòu)的轉(zhuǎn)動條件、并聯(lián)機構(gòu)移動自由度的實現(xiàn)條件、移動解耦并聯(lián)機構(gòu)分支輸入副的選擇準(zhǔn)則以及移動解耦并聯(lián)機構(gòu)分支運動副的配置原則，總結(jié)了3D打印解耦并聯(lián)機構(gòu)的新構(gòu)型流程，并綜合出一種3-CPP三自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)和一種PRRR-PRR二自由度移動解耦并聯(lián)機構(gòu)，為高性能3D打印機構(gòu)的開發(fā)提供技術(shù)支撐，對于機構(gòu)學(xué)理論的拓展和3D打印技術(shù)工程實踐均具有重要的科學(xué)意義和實用價值。