多孔功能梯度材料Timoshenko梁的非線性自由振動分析

滕兆春, 馬鈴權, 付小華

(蘭州理工大學 理學院, 甘肅 蘭州 730050)

日本科學家于1980年最先提出了功能梯度材料(functionally graded material, FGM)的概念。功能梯度材料是一種具有非均勻微觀力學結構的復合材料,通常由陶瓷和金屬組成。功能梯度材料起初由于其中陶瓷部分較好的耐熱性和金屬部分良好的機械強度而被用于核工業以及航空航天結構的熱障材料。與傳統復合材料相比,功能梯度材料確保了應力分布的平穩過渡、應力集中的最小化,同時增加了2種不同材料界面的結合強度。后來隨著世界各國大量學者的深入研究,功能梯度材料在各個領域都得到了重視,廣泛應用于航空航天、電子、光學、化學、生物醫學、核工程和土木工程等方面[1]。

近30年來功能梯度材料及結構的力學行為分析一直是各國學者持續研究的熱點, 具體成果可參見Carrera、Reddy和Chakraverty等[2-4]諸多學者的研究工作。近年來,Bouamama等[5]基于經典梁理論(CBT)和E-FGM模型,推導出功能梯度材料梁自由振動頻率的精確解,分析了不同邊界條件對功能梯度材料梁自由振動基頻的影響。Safa等[6]和Chen等[7]基于梁的高階剪切變形理論,考慮了梁厚度方向的均勻溫度、線性溫度和非線性溫度三種分布以及材料性質的溫度依賴,分別應用Navier法和Rayleigh-Ritz法結合改進的Fourier級數給出了功能梯度材料梁的熱-彈振動響應的解答,分析了溫度分布、材料參數、細長比和邊界條件等對功能梯度材料梁固有頻率的影響。Xia等[8]基于三階剪切變形理論, 導出了功能梯度材料Reddy-Bickford梁的靜態彎曲解與相應的均質Euler-Bernoulli梁靜態彎曲解的轉換關系,實現了剪切變形的非均勻功能梯度材料梁經典化彎曲的響應和均勻化表示。Li等[9]基于一種具有Reddy剪切函數的簡單擬三維理論和一種新的三角剪切函數,研究了在Winkler、Pasternak和Kerr彈性地基上功能梯度材料矩形板的動態響應問題。Simsek[10]基于梁的各種高階剪切理論,研究了功能梯度材料梁在不同邊界條件和高階剪切理論下的自由振動問題,分析了不同邊界條件下梁的細長比梯度指數在對功能梯度材料梁橫向自由振動的影響。從已有文獻來看,目前關于功能梯度材料及結構力學行為的分析大多可歸結為線性問題,但由于非線性問題遠比線性問題復雜,從而對其非線性靜動態力學行為的分析相對較少。隨著技術的進步和設計的精細化要求,對功能梯度材料及結構的力學行為進行非線性分析也非常必要。

功能梯度材料在實際生產過程中,由于制備方法和工藝等缺陷,不可避免在材料內部產生孔隙。這些孔隙對功能梯度材料的物理性質和功能應用有著較大的影響,因此越來越多的科研人員已經開始關注多孔功能梯度材料及結構的力學行為研究。滕等[11]基于經典薄板理論,采用微分變換法(differential transformation method, DTM)研究了不同孔隙分布對四邊受壓多孔功能梯度材料矩形板靜動態力學行為的影響。Zhao等[12]研究了具有均勻彈性邊界條件的功能梯度多孔矩形板的自由振動問題。

目前,對于多孔功能梯度材料Timoshenko梁的非線性自由振動分析的研究還鮮有文獻報道。本文基于Timoshenko梁變形理論,將針對多孔功能梯度材料梁的孔隙均勻分布和孔隙線性分布2種形式,根據廣義Hamilton原理推導多孔功能梯度材料Timoshenko梁非線性自由振動的控制微分方程組,采用DTM變換求解并分析不同邊界條件下梯度指數、孔隙率和細長比對多孔功能梯度材料Timoshenko梁動態響應的影響。將其退化為無孔隙的功能梯度材料 Timoshenko梁的非線性自由振動和線性自由振動后,所得非線性固有頻率比值和線性固有頻率與已有文獻的結果進行對照, 以驗證DTM求解的有效性和正確性。

1 數學模型的建立及材料物性參數的描述

考慮如圖1所示多孔功能梯度材料 Timoshenko矩形截面梁,取梁的軸線方向、寬度方向和厚度方向分別為x軸、y軸和z軸, 建立笛卡爾三維坐標系xyz。梁的長為L,寬為b,高為h。

圖1 多孔功能梯度材料Timoshenko梁的 幾何模型和截面上的2種孔隙分布

梁的材料由陶瓷和金屬復合而成,材料組分由下表面含孔隙的完全金屬材料連續變化到上表面含孔隙的完全陶瓷材料,且材料性質沿厚度方向呈梯度分布,梁的主要物理參數P(彈性模量E、切變模量G、質量密度ρ、泊松比v) 均是關于坐標z的函數。由下列混合律模型[13]統一給出

(1)

式中:-0.5h≤z≤0.5h,n為梯度指數,下標c與m分別表示陶瓷和金屬材料,θ表示孔隙率,Vu表示孔隙分布模型。這里僅考慮均勻孔隙和線性孔隙這2種常見的孔隙分布,Vu的取值分別為Vu=1和Vu=(1-2|z|/h)。

2 控制微分方程及參數的無量綱化

基于Timoshenko梁理論,多孔功能梯度材料梁的位移場可表示為

式中:u0表示梁幾何中面上沿x軸方向的位移；w0表示梁幾何中面上沿z軸方向的位移；φ表示梁橫截面上的轉角；t表示時間。則多孔功能梯度材料Timoshenko梁的位移與應變的關系可表示為

式中:εxx表示梁截面上任一點的線應變;γxy和γxz為梁的切應變。系數定義如下

式中:A1,A2和A3分別稱為梁的拉伸剛度、拉-彎耦合剛度和彎曲剛度;B1,B2和B3稱為梁的截面慣性系數。則梁的彎曲應變能為

(7)

將(4)式代入(7)式得

(8)

將(8)式展開得

(9)

由剪切變形產生的應變能為

(10)

將(5)式和(6)式代入(10)式得

(11)

式中:C為剪切剛度;ks為剪切修正系數,本文分析的梁為矩形截面,根據參考文獻[10],矩形截面梁的ks=5/6。將(9)式與(11)式相加, 得梁的總應變能為

U=Us+Ub=

(12)

梁的動能為

(13)

引入下列無量綱系數

式中:孔隙均勻分布時β1=2,β2=24;孔隙線性分布時β1=4,β2=96。由此將剛度系數等表示為

A1=Embhφ1,A2=Embh2φ2,A3=Embh3φ3

B1=ρmbhφ4,B2=ρmbh2φ5,B3=ρmbh3φ6

C=EmbhφC

根據(12)～(13)式,采用廣義Hamilton原理[14]

(14)

式中:δ為變分符號；t1和t2分別表示系統運動的開始時間和結束時間。將(14)式展開并整理,得到梁橫向運動的控制微分方程組

由于梁在軸向的位移非常微小,根據文獻[15]的處理方法,將梁近似視為軸向不可移動,因此忽略(15)～(17)式中關于u0的慣性項,并將無量綱系數代入,將方程組進一步化為

式中:Nx0為大振幅產生的軸向拉伸力, 其計算式為

對于功能梯度材料梁的自由振動, 可令

將(20)～(21)式代入(18)～(19)式并進行化簡,得到梁的非線性自由振動的控制微分方程組

對(22)～(23)式進行如下無量綱化

對于多孔功能梯度材料Timoshenko梁的邊界條件只考慮工程實際中常見的情況[16]

3 控制微分方程組及邊界條件的DTM變換

式中

(k=0,1,2,3,…)

對邊界條件也進行DTM變換:

在ξ=0處

在ξ=1處

(33)

(34)

自由(F):

(35)

將方程(29)～(30)式代入C-C、C-S、S-S、C-F 4種邊界條件中,得對應的頻率特征方程

(36)

(37)

最終根據(37)式即可得到無量綱固有頻率Ω的解。

4 計算結果及分析

為了驗證本文解的正確性,通過令孔隙率θ為0,將多孔功能梯度材料Timoshenko梁退化為無孔隙的功能梯度材料 Timoshenko梁并與已有文獻進行對照,對照分析具體見表1。該例在計算時同文獻[18]一樣,取鎢(W)為陶瓷材料,取銅(Cu)為金屬材料,材料參數為Ec=411 GPa,Em=120 GPa,ρc=19 250 kg/m3,ρm=8 960 kg/m3,vc=vm=0.3。此表是在4種邊界條件下取梁的細長比L/h=8與梯度指數n=1時,wmax/r分別為0,0.2,0.4,0.6,0.8和1時, 無孔隙的功能梯度材料Timoshenko梁通過DTM求解出的非線性無量綱固有頻率比值與文獻[18]所得數據的對比,并給出兩者之間計算結果的相對誤差。通過此算例可知本文退化方程的計算數據與文獻數據基本一致,其最大誤差僅在0.4%以內,說明了DTM對于本文研究的有效性和正確性。

下面分析在兩種孔隙分布模型和不同邊界條件下梯度指數n、細長比L/h、最大撓度值wmax和孔隙率θ等不同參數對非線性無量綱固有頻率比值的影響。對于多孔功能梯度材料Timoshenko梁,采用算例1所示的材料參數。

表1 不同邊界條件下具有不同最大撓度值wmax的非線性無量綱固有頻率比值ΩNL/ΩL(L/h=8,n=1)

圖2和圖3分別給出了多孔功能梯度材料Timoshenko梁采用線性孔隙分布模型與均勻孔隙分布模型,在S-S、C-S、C-C和C-F 4種邊界條件下,取細長比L/h=20,梯度指數n=1,孔隙率θ=0.1時,wmax/r與非線性無量綱固有頻率比ΩNL/ΩL的關系曲線。

圖3 不同邊界條件下最大撓度值wmax對均勻孔隙分布的多孔功能梯度材料Timoshenko梁非線性無量綱固有頻率比值ΩNL/ΩL的影響(h/L=1/20,n=1,θ=0.1)

由圖可知,隨著wmax/r的增加,4種邊界條件下的無量綱固有頻率比值均呈現上升趨勢,其中S-S頻率比值的上升趨勢最明顯,C-F頻率比值的變化趨勢最平緩。

圖4～11分析了多孔功能梯度材料Timoshenko梁在不同邊界條件、不同孔隙率和線性與均勻2種孔隙分布下,取L/h=20和wmax/r=1時頻率比值ΩNL/ΩL與梯度指數n的關系。圖4和圖5分別給出了S-S邊界條件的多孔功能梯度材料Timoshenko梁在線性孔隙和均勻孔隙2種分布模型下,梯度指數n與非線性無量綱固有頻率比值的關系曲線。由此得出孔隙率θ與頻率比呈正相關的結論,其中在均勻孔隙分布下頻率比值隨孔隙率θ增加而上升的幅度比線性孔隙的大。2種孔隙分布下的梯度指數n對頻率比值的影響均在0～3內最明顯,之后趨于穩定。

從圖6和圖7可知,多孔功能梯度材料Timoshenko梁在C-S邊界條件下,自振頻率比值隨梯度指數n增加而變化的幅度不太明顯,2種孔隙分布下的關系曲線都僅當n在0～3的之間內才能看出頻率比值隨n的細微改變。另外發現, 孔隙按線性分布時頻率比值與孔隙率θ呈正相關, 但值得注意的是孔隙按均勻分布時頻率比值與孔隙率θ呈負相關。

圖4 S-S邊界條件下不同孔隙率θ和 圖5 S-S邊界條件下不同孔隙率θ和 圖6 C-S邊界條件下不同孔隙率θ和 梯度指數n對線性孔隙分布的 梯度指數n對均勻孔隙分布的 梯度指數n對線性孔隙分布的 多孔功能梯度材料Timoshenko 多孔功能梯度材料Timoshenko 多孔功能梯度材料Timoshenko 梁非線性無量綱固有頻率比值 梁非線性無量綱固有頻率比值 梁非線性無量綱固有頻率比值 ΩNL/ΩL的影響(L/h=20, ΩNL/ΩL的影響(L/h=20, ΩNL/ΩL的影響(L/h=20, wmax/r=1) wmax/r=1) wmax/r=1)

根據圖8和圖9對C-C邊界條件下線性孔隙和均勻孔隙的多孔功能梯度材料Timoshenko梁無量綱頻率比值與梯度指數n關系曲線的描繪可知, 頻率比值與孔隙率θ均呈正相關, 且頻率比值的變化在n處于0～3之間最活躍,之后逐漸趨于穩定。同時還發現均勻孔隙分布下的頻率比值隨孔隙率θ增加而上升的幅度比線性孔隙的大。

圖7 C-S邊界條件下不同孔隙率θ和 圖8 C-C邊界條件下不同孔隙率θ和 圖9 C-C邊界條件下不同孔隙率θ和 梯度指數n對均勻孔隙分布的 梯度指數n對線性孔隙分布的 梯度指數n對均勻孔隙分布的 多孔功能梯度材料Timoshenko 多孔功能梯度材料Timoshenko 多孔功能梯度材料Timoshenko 梁非線性無量綱固有頻率比值 梁非線性無量綱固有頻率比值 梁非線性無量綱固有頻率比值 ΩNL/ΩL的影響(L/h=20, ΩNL/ΩL的影響(L/h=20, 的影響(L/h=20,wmax/r=1) wmax/r=1) wmax/r=1)

由圖10和圖11可知,在C-F邊界條件和2種孔隙分布下多孔功能梯度材料Timoshenko梁的自振頻率比值與孔隙率θ均呈正相關,頻率比值關于梯度指數n的變化程度均在n處于0～3之間時比較活躍,之后逐漸趨于穩定。同時在均勻孔隙分布下的頻率比值隨孔隙率θ增加而上升的幅度比線性孔隙的大。

圖12和圖13給出了n=1,wmax/r=1和θ=0.1時不同邊界條件下細長比L/h對2種分布孔隙的多孔功能梯度材料Timoshenko梁非線性無量綱固有頻率比值的影響。就整體趨勢來看可發現,多孔功能梯度材料Timoshenko梁在2種孔隙分布下,頻率比值關于細長比L/h的變化趨勢和幅度都保持基本一致。在S-S、C-S和C-C 3種邊界條件下,關于2種孔隙分布的頻率比值均在細長比L/h處于5～10之間時最明顯,在C-F邊界條件下的變化趨勢不明顯,其整體曲線趨于平緩。

圖10 C-F邊界條件下不同孔隙率 圖11 C-F邊界條件下不同孔隙率 圖12 不同邊界條件下細長比L/h對 θ和梯度指數n對線性孔隙 θ和梯度指數n對均勻孔隙 均勻孔隙分布的多孔功能梯度 分布的多孔功能梯度材料 分布的多孔功能梯度材料 材料Timoshenko梁非線性無量 Timoshenko梁非線性無量 Timoshenko梁非線性無量 綱固有頻率比值的影響 綱固有頻率比值的影響 綱固有頻率比值的影響 (n=1,wmax/r=1, θ=0.1) (L/h=20,wmax/r=1) (L/h=20,wmax/r=1)

圖13 不同邊界條件下細長比L/h對線性孔隙分布的 多孔功能梯度材料Timoshenko梁非線性無量 綱固有頻率比值的影響 (n=1,wmax/r=1, θ=0.1)

5 結 論

本文采用微分變換法(DTM)對多孔功能梯度材料Timoshenko梁在孔隙為均勻和線性2種分布情況下的非線性自由振動進行求解。將退化的求解結果與已有文獻數據對比,驗證了求解方法的有效性和正確性。最后分析了孔隙率、梯度指數、最大撓度值、細長比和邊界條件對功能梯度材料Timoshenko梁非線性無量綱固有頻率比值的影響。主要結論如下:

1) 材料參數一定的情況下,頻率比值隨著最大撓度值的增加而增加,其中S-S邊界條件下增加的趨勢最明顯,C-F下的變化最微小。

2) 頻率比值隨梯度指數的變化程度,在S-S邊界條件下最明顯,在C-S下較微小。4種邊界條件下的頻率比值均在梯度指數處于0～3時變化最劇烈。

3) C-S邊界條件下均勻孔隙分布的頻率比值隨孔隙率的增大而減小,其余的頻率比值均隨孔隙率的增大而增大,且均勻孔隙分布下的變化程度均比線性孔隙分布下顯著。