基于自適應超螺旋滑模彈道跟蹤控制方法

齊照輝, 張今, 王遠卓,3, 王嘉, 徐夢榮, 張程

(1.航天飛行器生存技術與效能評估實驗室, 北京 100089; 2.西北工業大學 航天學院, 陜西 西安 710072;3.北京航空航天大學 宇航學院, 北京 100191; 4.西安郵電大學 自動化學院, 陜西 西安 710121)

隨著被攻擊目標防御水平的提升，傳統引戰配合攻擊目標的方式已經不能完全地摧毀目標。為解決上述問題，最好的制導控制思路是通過動能殺傷方式控制飛行器直接碰撞攻擊目標[1]。對于非傳統合作目標，常常需要以特定的彈道傾角在保證終端脫靶量條件下攻擊目標[2]以達到最大毀傷效果。

近年來，國內外相關學者針對終端落角約束進行了大量的研究，歸納總結為以下3種：變系數比例制導控制落角、滑模變結構控制落角、最優控制落角。Lu等[2]在比例制導的基礎上首創性地提出通過實時計算比例系數控制終端落角的方法；KUMAR等[3-5]提出了通過滑模變結構控制終端落角的思想；陳克俊等[6-7]通過最優控制的思想，在不考慮飛行速度變化的條件下提出了控制縱向終端落角的最優制導律。上述方法雖然對終端落角實現了一定程度的控制，但相對來說抗干擾能力差。

為解決上述問題，本文引入了滑模控制的思想。滑模控制對存在不確定性、干擾和未建模動態的系統具有較強的魯棒性，尤其對末制導段強非線性系統具有較為良好的控制效果。Shtessel等[8]通過動態調整控制增益，提出了確保在有限時間內建立二階滑模的方法。劉暢等[9]不僅利用李雅普諾夫函數證明了超螺旋制導律有限時間的穩定性，還給出了終端收斂時間的估計公式。Esfahani等[10]通過引入近似動態規劃的方法提升了超螺旋滑模控制器的控制性能。但上述方法均沒有將滑模控制器應用到標稱軌跡的跟蹤控制問題中。國內外文獻表明，對標稱軌跡進行彈道跟蹤主要通過PID方法，但PID彈道跟蹤法存在的問題是參數設定過于依賴經驗。部分學者將LQR引入彈道跟蹤控制問題中，Dukeman[11]提出了通過LQR跟蹤標稱狀態(落角)的思想，但由于該方法采用的線性控制器與非線性模型存在較大的誤差，故控制精度相對較低且抗干擾能力同樣較差。

為解決上述問題，本文基于滑模非線性控制抗干擾的優點，結合基于兩點邊值問題建立的最優標稱軌跡，提出了基于自適應超螺旋滑模跟蹤控制方法用以對標稱軌跡進行良好的跟蹤。其中最優軌跡通過高斯偽譜法離散與非線性規劃求解兩點邊值問題得到；滑模控制器采用自適應超螺旋算法用以實現對標稱狀態量的跟蹤。

1 彈道跟蹤模型構建與控制器設計

1.1 彈道跟蹤控制模型建立

(1)

式中:V為導彈速度;θ為彈道傾角;x,y為2個方向的位置坐標;nx,ny為x方向和y方向的控制量[12]。g為重力加速度，取9.81 m/s2。

本文在進行跟蹤控制器設計時，不考慮發動機推力特性，x方向位移由導彈速度決定，因此本文在進行跟蹤控制器設計時，僅取彈道傾角θ和y方向坐標作為跟蹤模型的狀態變量，得到質點運動方程

(2)

為實現對標稱軌跡的跟蹤控制，對上述跟蹤問題，將實際彈道與標準彈道進行偏差計算，取偏差量為跟蹤模型狀態變量x，即

(3)

對(3)式求導，得[13]

(4)

式中,不受控變量V取相應時刻基準彈道上的狀態值,用下標d標注。取過載偏差量Δny=ny-nyd為控制變量。令uy=Δny,上述模型可轉化為

(5)

至此建立了彈道跟蹤控制模型。

1.2 最優標稱軌跡的建立

考慮到初始狀態和終端狀態((1)式中的4個狀態)約束,最優標稱軌跡的建立是一個典型的兩點邊值問題。性能指標選取為

(6)

(6)式性能指標的選取,保證了標稱控制指令較為光滑,不會出現抖振較大的現象,保證了工程實現的可行性。

最優標稱軌跡的建立流程如下:考慮到微分方程中各狀態數值相差較大的特性,對(1)式各狀態進行歸一化處理[14-15],以保證后續數值計算不會出現矩陣條件數較大(奇異)的問題,通過高斯偽譜法將微分狀態方程離散,利用非線性規劃方法得到最優標稱軌跡,并利用數值驗證最優性條件。

本文建立的標稱軌跡如圖1～2所示,可以看出整個標稱軌跡較為光滑,沒有出現控制量抖振較大的現象。需要注意的是:所建立的標稱軌跡為開環的最優標稱軌跡,故需要設計一種跟蹤律對標稱軌跡進行跟蹤控制以保證終端狀態滿足要求。

圖1 標稱彈道軌跡

圖2 標稱軌跡彈道傾角

1.3 自適應超螺旋滑模算法

定義非線性系統跟蹤問題為

y=s(x,t)

(7)

式中:x∈X?Rn為系統的狀態變量;v∈U?R為控制器的輸入,函數f(x)和g(x)是未知但有界的非線性函數,y是系統輸出值。定義s(x,t)為滑模變量,通過設計使滑模變量s→0時,y→0。

滑模控制器的核心思想是當系統存在不確定性和外部擾動的情況下,設計系統控制輸入v使滑模變量s在有限時間內收斂到0,進而使系統輸出狀態y趨于0。需要注意的是,滑模變量s的定義是基于控制目標y和其相對階定義的[16]。假設系統的相對階為1,對滑模變量s求導得到

(8)

式中,a和b為未知但有界的函數,滿足|a|≤aM,0≤bm≤b≤bM。對于x∈X且t>0:aM,bm和bM為正常數。

基于上述假設,考慮到滑模控制的目標是設計控制輸入v使滑模變量s在有限時間內趨于0,故使用如下的超螺旋算法[17]

(9)

式中,k1和k2為控制器增益,取值均大于0,w為中間參數,w(0)=0。當滿足(10)式所述條件時

(10)

為解決上述問題,使用自適應增益的策略,使控制器增益隨著控制精度的變化而變化:當控制精度滿足要求時,通過減小增益降低滑模控制量的抖振;當控制精度較低時,通過增大增益來提高控制精度。本文采用自適應超螺旋控制器(adaptive super-twisitng,ASTW)[8,18]來解決導彈跟蹤控制中的外部干擾問題,提高了控制精度。針對(9)式中增益k1和k2的自適應律設計如(11)式所示

(11)

式中,k1m,ε,χ,μ和k為正常數。此外,k1的初始狀態k1(0)>k1m。上述自適應增益的設計思想為:

1) 如果|s|>μ,則控制精度低于由μ定義的期望精度值。此時控制器的增益較低,故根據(11)式,k1和k2應增大;

2) 如果|s|<μ,則控制精度較高。此時控制器的增益較大,故根據(11)式,k1和k2將減小;

3) 參數k為一非常小的正常數,其作用是保證k1為正。

上述方法的穩定性證明參考文獻[8,18]。

1.4 跟蹤控制器設計

針對(5)式,考慮到該問題通過ny控制高度y與彈道傾角θ,故該問題是典型的欠驅動問題,因此,本文設計滑模面為

s=βsigα(x1)+λ1x1+x2

(12)

式中,α∈(1,2),sigα(x1)=|x1|αsign(x1)。

對(12)式求導得到

(13)

因為系統的相對階假設為1，根據自適應超螺旋算法，本文設計的控制器為

(14)

式中，v同(9)式所示。為驗證(14)式設計的控制器能滿足滑模變量s趨近于0，將(14)式代入(13)式，(13)式可化為

(15)

2 算例分析

2.1 模型驗證

根據文獻[13]可知，導彈的速度特性已知，故本文不考慮對導彈速度與x方向的位置進行控制，只對4個狀態中的2個進行控制。初始和期望終端狀態設定見表1。

表1 初始和期望終端狀態設定

基于表1所述的兩點邊值問題，通過高斯偽譜法離散微分方程并通過非線性規劃得到兩點邊值問題的最優解，標稱軌跡如圖3～6(圖中藍色虛線曲線)所示。

圖3 導彈飛行軌跡 圖4 導彈過載隨時間的變化曲線圖5 導彈彈道傾角隨時間變化曲線

圖6 導彈y方向位置隨時間的變化曲線

根據上文所建立的標稱軌跡，通過滑模超螺旋控制器控制導彈在存在初始狀態偏差(y方向位置偏差100 m，初始彈道傾角偏差3°)的情況下對標稱軌跡進行跟蹤。

根據上文自適應參數的思想，超螺旋滑模控制器的參數設定如表2所示。

表2 控制器參數設定

控制器跟蹤標稱軌跡的結果如圖3～6的實際曲線(圖中紅色曲線)所示。從圖3可以看出跟蹤軌跡不僅整體較為光滑，還對標稱軌跡實現了良好的跟蹤。從圖4可以看出，在考慮控制限幅的情況下，控制量曲線很快收斂到標稱控制曲線，整體跟蹤控制量較為光滑，跟蹤效果較好。圖5和圖6的跟蹤曲線表明在存在初始狀態偏差的情況下，實際狀態很快收斂到標稱狀態。終端誤差如表3所示。

表3 滑模彈道跟蹤法終端誤差表

從表3可以看出在存在初始狀態偏差的情況下，終端狀態誤差值均較小。故所提出的基于標稱軌跡的超螺旋滑模跟蹤控制器具有較好的控制效果。

2.2 方法對比驗證

為驗證基于自適應超螺旋滑模彈道跟蹤控制方法的優越性與先進性，需要與不同方法進行對比。文獻中常通過PID或LQR對標稱軌跡進行跟蹤控制，故本文通過在標稱軌跡離散點設計多個LQR控制器作為對比方法進行驗證。

表4 LQR彈道跟蹤法終端誤差

相比于表3滑模彈道跟蹤法所示的終端誤差，從表4可以看出LQR彈道跟蹤法高度誤差較大，故LQR彈道跟蹤法的精度相對較低，適用性相對較差。

2.3 蒙特卡羅仿真

為驗證基于標稱軌跡的超螺旋滑模跟蹤控制器方法的抗干擾性能，本文通過蒙特卡羅法仿真驗證了在存在不同初始狀態偏差情況下的仿真效果。

本文隨機生成滿足正態分布的初始偏差狀態值如表5所示。

表5 隨機初始狀態偏差設定

根據表5所示的隨機初始狀態偏差設定，本文通過不同次數(10,100,1000)的蒙特卡羅模擬驗證方法的性能。模擬結果如圖7～9所示。

圖7 10次蒙特卡羅模擬 圖8 100次蒙特卡羅模擬 圖9 1 000次蒙特卡羅模擬

從圖7～9可以看出，2個終端狀態的誤差均較小且分布較為均勻。終端y方向誤差基本控制在10 m以內，終端彈道傾角θ誤差基本控制在0.15°內。

為了定量有效分析整體蒙特卡羅仿真數據的結果，計算實驗數據的均值與方差如表6所示。

表6 仿真數據的均值與方差

從表6可以看出，2個狀態誤差的均值與方差均較小，能滿足導彈控制終端位置與終端角度的要求。針對不同初始狀態的偏差，所提出的基于標稱軌跡的超螺旋滑模跟蹤控制方法終端誤差較小，抗干擾性能較好，體現了滑模超螺旋跟蹤控制律的優越性。

2.4 仿真結果分析

在初始狀態偏差不太大的情況下，基于自適應超螺旋滑模跟蹤控制器跟蹤效果較好(終端誤差較小)且控制量相對較為光滑，穩定跟蹤后沒有出現控制量飽和的現象。

從蒙特卡羅法仿真的結果可以看出，該方法在不同初始狀態偏差(干擾)下終端位置與角度誤差均較小，控制效果良好，故該方法具有相對良好的抗干擾性能。

3 結 論

本文通過求解兩點邊值問題建立最優標稱軌跡，結合滑模超螺旋控制器思想，提出了基于自適應超螺旋滑模跟蹤控制器設計方法，實現了二維平面內標稱軌跡的跟蹤控制問題。本文的主要結論如下：

1) 本文通過高斯偽譜法離散微分方程,并通過非線性規劃求解兩點邊值問題得到開環最優標稱軌跡。因標稱軌跡是最優的，故所提出的基于標稱軌跡的超螺旋滑模跟蹤控制方法具有接近最優的特性。

2) 由于超螺旋滑模跟蹤控制律具有較強抵抗外界干擾的能力，在初始狀態偏差不太大的情況下，滑模控制律可以控制導彈軌跡與制導指令曲線很快收斂到標稱值。不同次數的蒙特卡羅模擬結果表明終端狀態偏差的誤差均較小，位置誤差控制在10 m以內，傾角誤差控制在0.15°內，整體控制效果較好。