例析阿波羅尼斯球的應用

江蘇省梅村高級中學 (214112) 王 剛 陶煜瑾

平面上一動點到平面上兩定點的距離之比為定值(大于0)，且定值不為1，此時，動點的軌跡為圓，稱之為阿波羅尼斯圓.類似的，空間一動點到空間內兩定點的距離之比為定值(大于0)，且定值不為1，此時，動點的軌跡為球，稱之為阿波羅尼斯球，簡稱為阿氏球.下面舉例說明阿氏球的相關應用.

圖1

圖2

阿氏圓中涉及四個量，即平面內兩個定點，平面內動點軌跡方程，動點到兩定距離的比值，它們可以知三求一.當我們知道了一個定點，動點的軌跡方程，動點到兩定距離的比值可以求出第二個定點，我們發現這兩個定點連線通過圓心，并且它們到圓心的距離之積為阿氏圓的半徑的平方，我們把這兩個點稱作是這個阿氏圓的一對反演點.類似的，阿氏球中也涉及四個量，即空間兩個定點，空間動點軌跡方程，動點到兩定距離的比值，它們可以知三求一.當我們知道了一個定點，動點的軌跡方程，動點到兩定距離的比值可以求出第二個定點，我們發現這兩個定點連線通過球心，并且它們到球心的距離之積為阿氏球的半徑的平方，我們把這兩個點稱作是這個阿氏球的一對反演點.

圖3

圖4

圖5