幾類復(fù)合函數(shù)典型問題的解法探究

安徽省利辛縣第十中學(xué) (236700) 孫 標(biāo)

近年來，高考對復(fù)合函數(shù)的考查力度有加大趨勢，隨之對應(yīng)的模擬題也不斷涌現(xiàn)，本文中介紹的復(fù)合函數(shù)就是幾個典型的題例，供參考．

一、復(fù)合函數(shù)的求值

點(diǎn)評：有一些復(fù)合函數(shù)很難化為普通函數(shù)，此時關(guān)于他們的求值問題，我們可以逆向思維，如本例的方法建立方程解題，這里要注意多值情況的分類與統(tǒng)一．

點(diǎn)評：本題雖然也是求函數(shù)值的問題，但如果直接代入得f(f(4)-1)=4，往下就無路可走了，故而需審視問題特點(diǎn)，抓住解決復(fù)合函數(shù)問題的規(guī)則，通過換元將題目轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一階函數(shù)題.

二、解復(fù)合函數(shù)方程或不等式

點(diǎn)評：本題實(shí)質(zhì)是解方程類型的問題，通過換元后分層解兩個方程使問題獲得順利解決，關(guān)注中間變量范圍的變化是正確解題的重要因素.

析解：當(dāng)x≤0時，f(x)=2x∈(0,1]，則f(f(x))=log22x=x，不等式即x>1，與x≤0不合；當(dāng)01，也不合題意；當(dāng)x>1時，f(x)=log2x∈(0,+∞)，則f(f(x))=log2(log2x)，不等式即log2(log2x)>1，得x∈(4,+∞)．

點(diǎn)評：本題通過分類討論可以把具體的函數(shù)表達(dá)式寫出來，這樣就能順利解不等式了，這是解此類題的常規(guī)方法，如果不能直接表示出來，可采用換元法(如前例)分層求解．

三、求復(fù)合函數(shù)中的參數(shù)最值或范圍

圖1

點(diǎn)評：本題通過設(shè)m=k2y2+ky，把問題轉(zhuǎn)化為方程f(f(x))=m有一個解的問題，然后再尋找此復(fù)合函數(shù)方程有一個解的條件，再用前面解方程的方法可以達(dá)到解題目的．

點(diǎn)評：本題實(shí)際上是已知函數(shù)值域求其定義域的問題，通過分段討論得到函數(shù)表達(dá)式是最基本的方法，也可用換元法(如前面)分……