主元法在多變量問(wèn)題中的應(yīng)用

云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 (650500) 陳亞聰 彭先綺 孔德宏

多變量函數(shù)的最值與取值范圍問(wèn)題一直都是歷年高考、模考的熱點(diǎn)問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題形式多變、解法靈活、綜合性強(qiáng)，考生往往難以打開(kāi)思路，得分較低，是考試中的難點(diǎn).關(guān)于這類(lèi)問(wèn)題的解決方法已經(jīng)有很多學(xué)者歸納總結(jié)，本文通過(guò)幾個(gè)例題介紹主元法在多變量函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用，探索主元法各種使用條件以及計(jì)算過(guò)程中需要注意的細(xì)節(jié).

一、各變量地位相同，不獨(dú)立求最值

題1 已知實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足a+b+c=0，a2+b2+c2=3，求a的最大值.

分析：由題意知，a、b、c三個(gè)變量是對(duì)稱(chēng)的，且地位相同.運(yùn)用換元法可將a2+b2+c2=3化為關(guān)于a、c(或者關(guān)于a、b)的二元方程，另外根據(jù)主元法中求“誰(shuí)”，“誰(shuí)”不為主元，可令c(或者b)為主元，利用求根公式判斷a的取值范圍.

二、各變量地位相同，相互獨(dú)立，證明不等式

題2 已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：ab+bc+ca+1>0.

分析：由題意知，a、b、c三個(gè)變量的取值范圍互不干擾，而所求不等式每個(gè)變量的次數(shù)都是1，因此任選一個(gè)變量(例如a)為主元，此時(shí)構(gòu)成一個(gè)(關(guān)于a的)一次函數(shù)，再利用一次函數(shù)單調(diào)性證明不等式即可.

解：令a為主元，設(shè)f(a)=ab+bc+ca+1=(b+c)a+bc+1，則f(a)是a的一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，若要f(a)>0，只需f(1)>0且f(-1)>0，又因?yàn)閨b|<1，|c|<1，所以f(1)=b+c+bc+1=(b+1)(c+1)>0，f(-1)=-(b+c)+bc+1=(b-1)(c-1)>0，所以f(a)=(b+c)a+bc+1>0，即ab+bc+ca+1>0.

在題1和題2中均用到了主元法，但是兩題中變量關(guān)系有所不同，因此解題過(guò)程也有異同.總結(jié)以上兩題，我們可以發(fā)現(xiàn)在多元變量中可以利用主元法減元，減少變量數(shù)量，從而降低題目難度；且在主元的選擇上都遵循求“誰(shuí)”，“誰(shuí)”不為主元.兩題也存在不同點(diǎn)，當(dāng)個(gè)變量間不獨(dú)立，存在等式關(guān)系時(shí)，首先利用換元法對(duì)所求多項(xiàng)式進(jìn)行減元，之后再選擇主元進(jìn)行求解；當(dāng)多變量間相……