二次曲線相交弦與切割線定理及其應(yīng)用

廈門大學(xué)附屬實驗中學(xué) (363123) 吳賽瑛

一般的二次曲線可表示為Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0,其中A、B、C不同時為0.本文主要探討一般二次曲線相交弦與切割線的斜率性質(zhì)及其在高考題、省市質(zhì)檢題的應(yīng)用.

定理已知點S不在二次曲線Γ:Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0上，過點S的兩條直線l1、l2分別交曲線Γ于P、Q和M、N，其中l(wèi)1、l2的斜率分別為k1、k2(k1≠k2).若|PS||QS|=|MS||NS|，則當(dāng)A=B,C≠0時，k1k2=1；當(dāng)A≠B,C=0時，k1+k2=0.

證明：設(shè)S(x0,y0)，則l1、l2的方程分別為y-y0=k1(x-x0)，y-y0=k2(x-x0).設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，M(x3,y3)，N(x4,y4)，聯(lián)立

=(k12+1)(x1-x0)(x2-x0)=(k12+1)[x1x2+x02-x0(x1+x2)]

(1)求C的方程；

(2)對比二次曲線的一般方程的系數(shù)，可知A≠B,C=0，又|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，由本文定理可知直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和kAB+kPQ=0.

例2 (湖南省2022年高三六校聯(lián)考)已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，過點F的直線交拋物線C于P，Q兩點，且直線PQ垂直于x軸，O為坐標(biāo)原點，△OPQ的面積為2．

(1)求拋物線C的方程；

解：(1)易得y2=4x；(過程略)