多視角探究一道以梯形為背景的解三角形問題

廣東省佛山市順德區第一中學 (528300) 常 艷

求解解三角形問題時，常常使用正、余弦定理進行求解，其本質是將三角形中的圖形信息代數化，通過方程的思想進行求解.而三角形本身具有豐富的幾何性質，也是體現數形結合思想的理想素材.2021年佛山市一模第18題便是一道優質的解三角形問題，該問題背景豐富，解題角度多，本文將從多個角度對該問題進行分析，并探尋其命制原理與背景.

一、題目

本題以“梯形”為背景，蘊含豐富的數量關系與幾何關系.本題的第(1)問給出的信息較為完整，可以完整地確定出所有的邊長及角度信息；而第(2)問給出了對角線的夾角關系(垂直)，自然將解題的視角聚焦在內部的小三角形上.以下的解答過程只分析第(2)問.

二、解法呈現

圖2

解法三：(正切關系)由解法一可知，該“梯形”完全可解，但為何會選擇問一個角的“正切”值呢？而上兩種解法有一種“圍魏救趙”的感覺(即先求得正、余弦的關系再轉化為正切).那么該問題可以直接求解嗎？

解法四：(解析法)在新的教材中，解三角形由原來獨立的一章并入到“向量”這一章節之中.那么本題能否從向量的角度求解呢？通過建立直角坐標系，表示出各點的信息再利用垂直條件求解.

圖3

解法五：(一般的向量法)在上述解法中，通過建系，本質上選擇了一組單位正交基底.那么能否選擇一般的基底利用向量進行求解呢？

三、背景探究及模型推廣

根據上面的解答過程可知，該“梯形”的基……