一道函數對稱性與周期性的高考題探究

廣東省深圳中學 (518001) 黃文輝

1.考題呈現

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

這是2022年全國乙卷理科選擇壓軸題，主要考查抽象函數對稱性及周期性的相關性質，實際上，高中階段對函數對稱性考查的重點在軸對稱和中心對稱，即函數的奇偶性.而關于周期性的認識主要是通過三角函數，同時三角函數也具有良好的對稱性.本文通過奇偶性推廣到一般的函數關于x=a軸對稱與關于點(a,m)中心對稱的代數形式，同時給出對稱性與周期性的一個關系及其應用.

2.性質歸納

此性質的證明與性質2類似，有興趣的讀者自行證明.

性質5 定義在D上的連續可導函數f(x)，若函數f(x)關于x=a軸對稱的充要條件是其導函數f′(x)關于(a,0)中心對稱.

證明：(必要性)由函數f(x)關于x=a軸對稱則f(x)=f(2a-x)，兩邊求導數可得f′(x)=-f′(2a-x)，即f′(x)+f′(2a-x)=0，所以f′(x)關于(a,0)中心對稱.

性質6 定義在D上的連續可導函數f(x)，若函數f(x)關于(a,c)中心對稱的充要條件是其導函數f′(x)關于x=a軸對稱.

此性質的證明與命題5類似，此略.

性質7 函數f(x)的定義域為D，條件：①函數f(x)的圖象關于x=a軸對稱；②函數f(x)的圖象關于x=b軸對稱；③函數f(x)的周期T=2|a-b|(其中a≠b).其中任意兩個為條件可以推出另外一個成立.

證明：(先證①②?③)由函數f(x)的圖象關于x=a軸對稱，所以f(x)=f(2a-x)，由函數f(x)的圖象關于x=b軸對稱，所以f(2a-x)=f(2b-2a+x)，聯立兩式可得f(x)=f(2b-2a+x)，故函數的周期T=2|a-b|.

(再證①③?②)由函數f(x)的周期T=2|a-b|，可得f(2b-x)=f(2b-x+2a-2b)，即f(2b-x)=f(2a-x)，由函數f(x)的圖象關于x=a軸對稱，所以f(x)=f(2a-x)，即f(2b-x)=f(x)，所以函數f(x)的圖象關于x=b軸對稱.

同理可證②③?①.

性質8 函數f(x)的定義域為D，條件：①函數f(x)的圖象關于(a,c)中心對稱；②函數f(x)的圖象關于(b,c)中心對稱；③函數f(x)的周期T=2|a-b|(其中a≠b).其中任意兩個為條件可……