一道質檢題的再探究

廣東省珠海市實驗中學 (519090) 夏 瑩

題目(2022年石家莊高三質檢三第16題)△ABC的三邊分別為a,b,c,若a2+b2+2c2=8，則△ABC面積的最大值為.

筆者在進行高三復習教學中遇到上題，此題對學生來說有一定的難度，在此給出如下兩種易想的解法(其他解法再次不再一一贅述)，希望能起到拋磚引玉的作用.

事實上，我們解決上面的問題后，可以作適當變式探究：

探究1 △ABC的三邊分別為a,b,c,若a2+b2+c2=8，則△ABC面積的最大值為.

探究2 △ABC的三邊分別為a,b,c,若a2+2b2+3c2=8，則△ABC面積的最大值為.

探究3 △ABC的三邊分別為a,b,c,對于任意給定的正數m,n,k，若ma2+nb2+kc2=8，則△ABC面積的最大值為.

對于Weisenbock不等式證明方法有很多，我們不再一一贅述.

對于探究2、探究3，明顯難度進一步加大，事實上，我們也可以得到更一般的結論.

結論1顯然是探究1、2、3的推廣情況.事實上，對于結論1，我們仍然可以做出進一步的推廣.

-2[bcm2m3cos2A+acm1m3cos2B+abm1m2cos2C]

在結論2中我們取則結論2即變為結論1，所以結論1是結論2的特殊情況.