函數“等值問題”變式探究

江蘇省海門中學 (226100) 張 婕

函數“等值問題”是指“已知函數在多個自變量處的的函數值相等，這些自變量稱之為‘等值點’，求關于等值點的某個代數式的值、最值、范圍或參數的取值范圍等”的一類問題.函數“等值問題”在近年高考或各地模擬試題中高頻出現，往往處于數學試卷客觀壓軸題的位置，利用函數的圖象直觀可使問題的解決明朗化，所以也是培養和形成直觀想象數學核心素養的良好載體.

1、試題重現

已知函數y=|x2-2x-1|的圖象與直線y=m(m∈R)有四個交點，且這四個交點的橫坐標分別為a,b,c,d滿足a

2、解法探析

設f(x)=|x2-2x-1|，將已知條件“函數y=|x2-2x-1|的圖象與直線y=m(m∈R)有四個交點，且這四個交點的橫坐標分別為a,b,c,d”，進行轉譯為f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=m，是典型的函數“等值問題”.作出函數y=|x2-2x-1|的圖象與直線y=m，利用函數圖象的對稱性求得a+b+c+d的值，利用求根公式用變量m表示出函數2(d-a)+(c-b)，然后利用導數研究函數的單調性解得2(d-a)+(c-b)的最大值.

圖1

解：在同一直角坐標系內作出函數y=|x2-2x-1|的圖象與直線，如圖1.

函數“等值問題”是一類函數零點或方程的根等問題的延伸，借助函數圖象，數形結合解答問題，考查數學抽象、直觀想象及邏輯推理等數學核心素養在解題中的應用，多數情況下承載著高考函數客觀壓軸題的重任，比如，2020年高考數學天津卷選擇題壓軸題第9題就是一個典型例子：

求解函數“等值問題”的基本思路是：分析題意，從中挖掘出函數的奇偶性、單調性、對稱性及不變性等性質，結合函數式的特點及函數的相關性質，作出函……