一道多元函數(shù)取值范圍問題的探究

江西省萍鄉(xiāng)中學 (337055) 康艷紅 周偉萍

一、試題呈現(xiàn)

這是2022屆江西省八所重點中學聯(lián)考理科16題，該問題兼具創(chuàng)新性、綜合性、選拔性，有著深刻的幾何背景，很好地考查了學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng).

二、解法初探

評注：本解法通過配方，利用三角代換將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，并通過輔助角公式解決問題.

評注：本解法通過常數(shù)代換對問題進行化歸，利用基本不等式解決問題.相比解法一更為快捷.

評注：本解法是解法二的延伸，其出發(fā)點是齊次化思想.

三、 命題反思

圖1

四、試題再解

五、變式命制

原題內(nèi)涵豐富，立意高遠，在解決本題的過程中，用到了輔助角公式、正弦定理、余弦定理、基本不等式等基礎(chǔ)知識.涉及到換元、齊次化、數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學思想方法.在平時的教學中，教師應(yīng)該選好題，有意識地指導學生進行深度學習，通過一題多解、一題多變，挖掘問題的本質(zhì)，達到“做一題，通一類”的效果，這是提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要途徑.

在弄清本題的命制原理后，我們還可以通過改變條件，改變所求等方式命制相關(guān)變式練習.