例談“充分與必要”的三類應(yīng)用

福建省古田縣第一中學(xué) (352200) 蘭詩全

數(shù)學(xué)解題過程一般是尋找充要條件的過程，但有時尋求原問題的充要條件是很困難的，或所尋求的充要條件很繁，不便于求解．此時，可以先找到使結(jié)論成立的一個充分條件，再一步一步逼進(jìn)找到使結(jié)論成立的充要條件；也可以考慮從原問題的一個較弱的必要條件開始，挖掘出問題的隱含條件，尋找解題的突破口，進(jìn)一步探究原問題的充要條件．以上這三類都是很重要且非常實(shí)用的解題方法，現(xiàn)結(jié)合例子加以說明．

1 先充分再充要

先根據(jù)已知找到一個使結(jié)論成立的一個充分條件，再順?biāo)浦鄣匾粋€一個把所有的解都找回來，或說明沒有其它解，最后得到問題的準(zhǔn)確解．

例1 已知a∈R時，f(x)=x(ex-2a)-ax2，當(dāng)x∈R時，f(2x)≥2f(x)，求a的取值范圍．

解：f(2x)≥2f(x)?xe2x-xex≥ax2①．

當(dāng)x=0時，①式恒成立；

故當(dāng)a≤0時，①式恒成立．(即找到了使當(dāng)x∈R時，f(2x)≥2f(x)恒成立的一個充分條件．)

以上“先充分再充要”在實(shí)際解題中是很有用的，許多分類討論方法也是歸于此類，充分與必要，二者都需要，要明白根本原理，才能思路清晰，正確解題．

2 先必要再充要

解題成功的關(guān)鍵是能及時準(zhǔn)確地找到解題的突破口，如何尋求解題的突破口？方法之一是可以巧用原問題的必要條件，再在這個必要條件的基礎(chǔ)上尋找突破口，充分體現(xiàn)必要條件的解題功能．

例2 設(shè)0(ax)2的解集中的整數(shù)個數(shù)恰有三個，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(即先找到使結(jié)論成立的一個必要條件，在這基礎(chǔ)上再研究．)

本題關(guān)鍵利用二次函數(shù)圖象求出恰有三……