高考研題“四重境界”
——以2022年新高考Ⅰ卷第15題為例

福建省福州高新區(qū)第一中學(xué)(閩侯三中) (350299) 洪雪金

1．真題呈現(xiàn)

(2022年數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．

2．第一重境界：通技通法，守住“底線”

根據(jù)題目條件的分析與理解，結(jié)合條件確定切線方程，為進(jìn)一步的求解提供條件，從而確定數(shù)學(xué)問題求解的“通技通法”，也是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的初級(jí)境界——第一重境界，守住“底線”．

評(píng)注：本解法中切線方程的確定，很好綜合了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算與幾何意義、直線的方程等相關(guān)知識(shí)，又聯(lián)系函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識(shí)，具有很好的知識(shí)交匯性與融合性．

3．第二重境界：巧技妙解，發(fā)散思維

探索數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)，探尋“巧技妙解”，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線的斜率公式，從不同的層面來確定直線的斜率，形成兩者的一致性，這是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的第二重境界，充分發(fā)散數(shù)學(xué)思維．

評(píng)注：本解法關(guān)鍵是構(gòu)建兩斜率相等的關(guān)系式，從而轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的方程問題，再利用方程的判別式與不等式的求解來確定參數(shù)的取值范圍．切線方程斜率的不同求法，為問題的解決提供了廣闊的思路．

4．第三重境界：追根溯源，合理歸類

深挖問題的內(nèi)涵，合理追根溯源，回憶并聯(lián)系教材實(shí)例或高考真題，形成知識(shí)的反饋，構(gòu)建知識(shí)體系，這是數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)的第三重境界，合理歸類，脫離“題海”，“促雙減”，提效益．在2021年的新高考試卷中也有該問題的“影子”，如利用過“動(dòng)點(diǎn)”到“定曲線”的切線有兩條來確定參數(shù)的大小關(guān)系……