基于廣義延拓逼近法的QZSS 衛星鐘差內插精度分析

寇瑞雄，楊樹文

(1.蘭州交通大學 測繪與地理信息學院,蘭州 730070；2.地理國情監測技術應用國家地方聯合工程研究中心,蘭州 730070；3.甘肅省地理國情監測工程實驗室,蘭州 730070；4.蘭州交通大學 交通運輸學院,蘭州 730070)

0 引言

隨著衛星導航技術的發展，全球衛星導航系統(GNSS)已經向全球提供定位、導航和授時(PNT)服務，區域導航衛星系統也在建設中，如日本的準天頂衛星系統(QZSS)和印度的區域導航衛星系統(IRNSS).QZSS 系統是由日本宇宙航空研發機構主導建設的一個GPS 增強系統，將于2023 年建成空間部分，由7 顆衛星組成并能夠獨立運行的區域導航衛星系統[1-2].QZSS 衛星的覆蓋范圍包括亞洲東部、太平洋西部和大洋洲等區域.多系統融合定位是GNSS 定位發展的重要方向，已有學者將QZSS 與GPS、北斗衛星導航系統(BDS)分別結合，驗證了多種融合方式下QZSS在亞太地區的導航定位精度.結果表明：區域衛星導航系統能提高該地區的GPS 導航定位精度，對BDS在中國境內的定位精度也有所提升[3-4].

根據衛星導航定位原理，導航衛星搭載的原子鐘性能在PNT 服務中起著關鍵作用，但衛星原子鐘提供的時間與標準時存在差值，且該值隨著時間變化而變化.如1 ns 的衛星時鐘誤差能引起約0.3 m 的距離測量誤差，所以在衛星數據處理中鐘差的精度極為重要.在進行衛星定位時，接收機的采樣率一般為30 s和15 s，在高頻采樣時采樣率甚至能達到1 s，但一般發布的衛星鐘差采樣間隔為5 min，所以對鐘差數據加密才能滿足各種測量需求.

目前針對導航衛星鐘差加密較為常用的方法有Lagrange 插值法和切比雪夫多項式擬合法等，如文獻[5]使用Lagrange 插值法加密GPS 衛星鐘差，文獻[6]利用切比雪夫多項式擬合GPS 衛星鐘差和坐標，實現對GPS 衛星鐘差和坐標加密.雖然上述兩種方法在GNSS 數據加密中應用比較廣泛，結果也能達到較高精度.但是，Lagrange 插值法隨著插值階數增加會產生“龍格現象”，切比雪夫多項式擬合法在擬合結果中可能會丟失部分已知數據的問題.

廣義延拓逼近法是將時序數據按一定時間間隔分為若干個獨立的單元域，再用單元域兩邊的節點信息將單元域拓展為延拓域.在每一個延拓域內擬合，在單元域內插值，得到能同時滿足兩個條件的逼近函數，這樣既使逼近函數在每個延拓域內最佳擬合，又在相鄰單元域間有良好的協調性，把插值法和擬合法有機地結合在一起，很好地解決了以上問題[7].廣義延拓逼近法在GPS 和BDS 鐘差數據處理中具有良好效果[8-9]，但不同系統不同類型的衛星鐘差適應的插值擬合方法的參數取值不完全一致.因此，本文嘗試使用利用廣義延拓逼近法對QZSS 鐘差數據進行插值處理并分析結果精度.

1 衛星鐘差加密方法

1.1 Lagrange 插值法

Lagrange 插值法是數據處理中較為常用的插值方法，該方法是在QZSS 衛星鐘差n+1 個插值點x0,x1,···,xn處存在插值多項式Ln(x)，使得：

因此，需構造一個n次插值多項式

最后得出拉格朗日多項式參數，計算擬合區間內多需時刻的QZSS 衛星鐘差.

1.2 切比雪夫擬合法

切比雪夫擬合法已在GPS 和GLONASS 等衛星坐標擬合中應用[10-11].在 [t0,t0+Δt] 時間間隔內使用n階切比雪夫擬合法對QZSS 衛星鐘差進行擬合時，首先將t∈[t0,t0+Δt] 處理成 τ∈[-1,1] 的形式，即：

式中：t0為初始時刻；Δt為擬合區間長度.因而QZSS衛星鐘差E可表示為

式中：n為切比雪夫多項式階數；Ci為多項式系數；Ti(τ)用下式遞推得到，即：

通過求解切比雪夫多項式系數C=(TTT)-1TTE，最后計算擬合區間內任意時刻的衛星鐘差.

1.3 廣義延拓逼近法

我國學者施滸立基于插值法和擬合法的優點提出了廣義延拓逼近法[7]，該方法的數學模型如下.

已給函數u:Rn→R，在區域Ω上的數據{(uj,xj)|uj=u(xj),xj∈Ω,j=1,2,···,n}，若在Ω區域構造u函數的近似函數U:Ω→R滿足U(xj)=uj(j=1,2,···,n).使用分段逼近的思想，將 Ω 區域分為獨立的含r個節點的m個單元域Ωe(e=1,2,···,m) ；接著把單元域 Ωe延拓到含有s個節點的延拓域 Ωe′，且滿足r＜s.利用包含節點信息較多的延拓域 Ωe′節點，構造出 Ωe內逼近函數

式中：t為逼近函數項數；aj為所求系數；gj為上的基函數.基于延拓域上的節點信息，對Ue(x) 實行最佳平方逼近，如式(2)所示：

同時，Ue(x) 亦需滿足 Ωe上的插值條件：

整合式(7)～(9)為

根據式(10)解出待求參數aj，確定單元域 Ωe上的插值函數.按照此過程處理其他單元域，最后得到全區域的逼近函數.

上述三種方法的描述均為非滑動式的計算過程，為了提高插值或擬合精度，在原有非滑動式基礎上不斷變化插值或擬合區間，使待插值點一直保持在給定插值區間的中間區域，以此來減小插值誤差[12].本文在以下數據處理過程中，為了提高結果精度均使用滑動式的三種方法，即滑動式Lagrange 插值法、滑動式切比雪夫擬合法和滑動式廣義延拓逼近法，鑒于表達繁瑣，不再重復提滑動式.

2 算例分析

目前對GPS 和BDS 等衛星鐘差的插值方法研究很多，但對QZSS 衛星鐘差的研究較少.本文使用7 天的QZSS 所有衛星的鐘差數據，分別利用Lagrange插值法、切比雪夫擬合法和廣義延拓逼近法將歷元間隔5 min 的QZSS 鐘差數據加密到30 s，并用30 s歷元間隔的精密鐘差作為真值進行比較，采用最大絕對誤差(Max)、算數平均值(Mean)和均方差(Std)為評價指標，首先討論同一衛星不同方法的參數或參數組合的最優取值，再對比不同衛星最優參數取值，最終實現對QZSS 鐘差的高精度插值處理.

2.1 不同方法最優參數

在4 顆QZSS 衛星中隨機抽取1 顆衛星的鐘差數據，分別使用Lagrange 插值法、切比雪夫擬合法和廣義延拓逼近法進行加密處理.通過統計7 天鐘差數據的誤差得到表1～3 的結果，分析表1 可得Lagrange插值法的插值誤差隨著插值階數增大出現先減小后增大的情況，在13 階時Mean 和Std 均達到最小，分別為0.013 6 ns 和0.061 6 ns；表2 為切比雪夫擬合法擬合精度隨擬合階數的變化情況，16～19 階擬合Mean 均為0.01 ns，19 階的Max 為2.035 ns，Std 是0.052 ns，擬合效果達到最好；表3 是廣義延拓逼近法參數取值不同組合下的誤差變化情況，擬合精度隨著r、t、s參數組合變化而變化，根據實驗精度和效率，r、t、s最大分別取到5、11、12，參數組合共660 種可能.當r、t、s分別取3、9、11 時，在所有參數組合中的Std 最小，Max 也僅為0.702 876 ns.

表1 Lagrange 插值法誤差統計 ns

表2 切比雪夫擬合法誤差統計 ns

表3 廣義延拓逼近法誤差統計 ns

綜合分析表1～3 可得：1)三種方法在取到其最優參數(組)時，廣義延拓逼近法的精度均高于其他兩種方法；2)Lagrange 插值法和切比雪夫擬合法的處理精度隨著擬合階數變化而變化較大，而廣義延拓逼近法參數組小范圍變化時，誤差變化幅度不大，一般不會產生突變，說明廣義延拓逼近法在QZSS 鐘差數據加密中較為穩定；3)廣義延拓逼近法r取值較小且t和s取值較為接近時誤差較小.

2.2 不同衛星的參數取值對比

為確定不同衛星不同方法最優參數(組)的取值，同時為了探究三種方法在所有衛星鐘差的普適性，本文選取了QZSS 所有衛星的7 天的鐘差數據，分別利用Lagrange 插值法、切比雪夫擬合法和廣義延拓逼近法進行加密處理，選出如表4 所示的所有衛星不同方法的最優參數(組)取值.比較三種方法的加密結果的精度，其Max、Mean 和Std 結果如圖1～3 所示.

表4 三種方法參數(組)最優取值

由表4 可知，不同衛星同一方法最優參數(組)取值不完全一樣，如Lagrange 插值法最優擬合階數在9～13 變化，切比雪夫擬合法最優階數約在18，廣義延拓逼近法的大部分衛星r取2、t取7 或9、s取11 和12，說明不同衛星擬合或插值效果達到最好時所取參數(組)不同.

圖1 中，所有衛星的Lagrange 插值法的Max 大于3 ns、切比雪夫擬合法的均大于2 ns，廣義延拓逼近法的Max 都小于0.7 ns，整體上廣義延拓逼近法明顯優于其他兩種方法.圖2 中Lagrange 插值法和切比雪夫擬合法的Mean 均大于0.004 ns，廣義延拓逼近法的Mean 最小為0.003 ns，QZSS-1 衛星的誤差大于其他三個星的誤差.圖3 是三種方法最優參數下的Std 對比圖，廣義延拓逼近法的Std 均小于0.02 ns，其他兩種方法的Std 均大于0.05 ns.總之，針對不同衛星的鐘差加密，上述三種方法中廣義延拓逼近法的效果最好最穩定.

圖1 三種方法最優參數下的Max 對比

圖2 三種方法最優參數下的Mean 對比

圖3 三種方法最優參數下的Std 對比

2.3 參數組最優取值的應用

為了進一步驗證廣義延拓逼近法不同衛星參數組最優取值的實用性，隨機挑選3 天(2021-05-31、2022-02-28 和2022-03-07)的QZSS 鐘差數據.統計4 顆衛星在各自參數組最優取值時的擬合誤差，統計結果如表5 所示.

表5 參數組最優取值應用驗證 ns

由表5 可知，當QZSS 4 顆衛星參數組取值最優時，3 天內4 顆星的擬合最大Max 均小于0.5 ns，Mean最大為0.005 097 ns，Std 均不大于0.03 ns，能夠滿足QZSS 衛星鐘差加密需求.

3 結論

本文利用Lagrange 插值法、切比雪夫擬合法和廣義延拓逼近法三種方法的滑動式模式，對7 天QZSS所有衛星鐘差數據進行加密處理，通過對比分析不同參數(組)的所有衛星的誤差，得到以下結論：

1)三種方法對QZSS 衛星鐘差加密過程中的誤差隨參數(組)取值的變化而變化.

2) QZSS 不同衛星廣義延拓逼近法r、t、s的最優取值不完全一致，當r、t、s取最優組合時，所有衛星的Mean 均小于0.01 ns，Std 也都小于0.02 ns，完全滿足精度要求.

3)所有衛星的誤差統計顯示，Lagrange 插值法插值誤差最大，切比雪夫擬合法次之，廣義延拓逼近法誤差最小且穩定，明顯優于前面兩個方法，完全適合QZSS 衛星鐘差高精度加密處理.