基于拔尖創(chuàng)新人才數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的校本課程實踐
——以北京第三十五中學(xué)校本課程“數(shù)學(xué)優(yōu)秀生培養(yǎng)”為例

蘇綺夢 肖娟

北京第三十五中學(xué)（北京市 100037）

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》在課程實施建議中指出：“學(xué)校應(yīng)根據(jù)自身的情況，推動國家課程的全面落實，建設(shè)有特色的校本課程，適應(yīng)學(xué)生多樣化的發(fā)展的需求，促進學(xué)生全面發(fā)展。”[1]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是衡量拔尖創(chuàng)新人才的重要指標(biāo)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)是開發(fā)與實施數(shù)學(xué)校本選修課程的應(yīng)然追求。在國家課程框架下的課堂教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的主陣地，但常常由于課時緊張，導(dǎo)致實施拓展性學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)無法一一展開，因此基于我校六年貫通人才培養(yǎng)的優(yōu)勢，針對學(xué)有余力的學(xué)生探索和開發(fā)校本選修課程是必要的，也是極具價值的。

2 聚焦數(shù)學(xué)育人方式，確立指向素養(yǎng)的目標(biāo)體系

為發(fā)展拔尖創(chuàng)新人才數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，實現(xiàn)我校六年一貫制項學(xué)部的育人目標(biāo)，我們將人教版教科書部分內(nèi)容進行重構(gòu)拓展，增加了適合我校學(xué)情的部分競賽知識，開發(fā)并實施了初中數(shù)學(xué)優(yōu)秀生培養(yǎng)校本選修課程，確定了如圖1 所示的五個主題。

在目標(biāo)維度設(shè)定過程中參照經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（Organization for Economic Cooperation and Development,OECD）“ 教育2030”項目，在討論了“教什么，學(xué)什么”和“怎么教，怎么學(xué)”兩個方面基礎(chǔ)上強調(diào)“能力”處于學(xué)習(xí)的重要地位，并將能力劃分為：知識、技能、態(tài)度與價值觀。[2]基于OECD 對能力維度劃分及課程標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)設(shè)定，課程目標(biāo)將從知識技能、思維與表達、交流與反思三方面進行具體闡述，如表1。

表1 課程目標(biāo)

3 挖掘核心素養(yǎng)元素，選擇衍生拓展的課程內(nèi)容

在新課程與新高考改革的背景下，著眼于拔尖創(chuàng)新人才數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的培養(yǎng)目標(biāo)、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點，結(jié)合“六年一貫制”初中學(xué)部的實際，如表2，將本課程的內(nèi)容分為五個主題和18 個課題，具體學(xué)習(xí)內(nèi)容如下：

表2 課程內(nèi)容

整個課程內(nèi)容的設(shè)計圍繞著發(fā)展拔尖創(chuàng)新人才數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)，融合了五大主題，給予學(xué)生多元的知識探索和科學(xué)探究的空間，夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、發(fā)展數(shù)學(xué)能力。通過對義務(wù)教育初中學(xué)段國家課程內(nèi)容進行拓展，擴大學(xué)生數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，認(rèn)識數(shù)學(xué)的學(xué)科價值。

4 落實素養(yǎng)發(fā)展理念，開創(chuàng)扎實有效的實施路徑

通過同年級學(xué)生自主報名并進行選拔，每個年級挑選20-25 名數(shù)學(xué)資優(yōu)生作為授課對象，每學(xué)期安排16 次課，每周兩課時。以2030 學(xué)習(xí)框架作為指導(dǎo)，深入思考需要培養(yǎng)學(xué)生怎樣的能力，不斷探索培養(yǎng)方式，主要實施方法如下：

4.1 提供思維拓展型課題，提高學(xué)生思維的敏捷性和靈活性

提供思維拓展型課題，指導(dǎo)學(xué)生廣泛聯(lián)想，拓寬思路，選擇最佳解題路徑。使學(xué)生在面臨問題時能夠從多角度進行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到舉一反三。

例如，在八年級《圖形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)》單元教學(xué)中，教師提出以下問題：

問題1 如圖1，正方形ABCD中，AD=10 米，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊的中點，求陰影部分的面積。

圖1

學(xué)生嘗試用不同的方法解決問題，有同學(xué)開始對分割出的各部分小面積逐個進行討論，嘗試?yán)谜叫蚊娣e減去多余面積求解陰影面積；有同學(xué)發(fā)現(xiàn)直角梯形的上底與小三角形一條邊重合，且梯形的高等于三角形的高，故可以將圖形進行割補重組。將原圖割補為圖2 所示，通過割補后的圖形易知，正方形面積等于陰影面積的五倍。正方形面積為100 平方米，故陰影面積為20 平方米。

圖2

問題2 如圖3，E、F、G、H分別為各邊的中點，且Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ號三角形面積之和為2，求陰影部分面積。

圖3

變式在原問題基礎(chǔ)上將特殊的四邊形變化為一般四邊形，進而試圖探究一般性結(jié)論。

具體解法如下：不妨設(shè)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ號三角形面積之和為S0,S0=SⅠ+SⅡ+SⅢ+SⅣ=2,

問題3 你能類比以上問題提出自己的見解并證明你的想法嗎？

這個問題作為課后拓展作業(yè)，放手讓學(xué)生去做。波利亞認(rèn)為：學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它，最富有成效的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己去探索、去發(fā)現(xiàn)。

本節(jié)課教師圍繞圖形的面積不斷設(shè)疑，根本目的就是教會學(xué)生思考，這種思考的過程就是數(shù)學(xué)思維得以鍛煉的過程。通過提供思維拓展型課題，可以加深學(xué)生對問題的理解，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)問題研究能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維的廣度和深度。

4.2 開展研究型課題，發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和深刻性

開展研究型課題，挖掘題目的豐富內(nèi)涵，調(diào)整和完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，教育學(xué)生學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)會全面思考問題，養(yǎng)成追根究底的習(xí)慣。

例如，在七年級《邏輯推理》單元教學(xué)中，教師提出以下問題：

問題1：隨意寫出一個四位數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字不都相等。用這個四位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字組成一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)，得到一個新的四位數(shù)。對于新得到的四位數(shù)，一直重復(fù)上面的運算，看一看，最后你們會發(fā)現(xiàn)什么？

提出這個問題后，每位同學(xué)都寫出了自己心目中的四位數(shù)，并按問題規(guī)則進行有理數(shù)運算，神奇的是雖然大家隨意想出的四位數(shù)字都不盡相同，但最后發(fā)現(xiàn)運算結(jié)果始終是6174，并在6174 這一個四位數(shù)上不斷循環(huán)。此時，學(xué)生產(chǎn)生了極大的困惑與認(rèn)知沖突，迫不及待想要尋找問題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

教師介紹了6174 這個數(shù)學(xué)黑洞：在數(shù)學(xué)的王國中，“6174”是一個神秘的數(shù)字黑洞，之所以說“6174”是數(shù)學(xué)黑洞，是因為無論你怎么換那4個數(shù)字，只要不是完全重復(fù)，最后都逃脫不了“6174”的魔掌。

問題2：針對數(shù)學(xué)黑洞，你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

教師引導(dǎo)學(xué)生進行合作學(xué)習(xí)，課后借助網(wǎng)絡(luò)、書籍等途徑查詢資料，第二課時教學(xué)內(nèi)容為學(xué)生以小組為單位展示研究成果。學(xué)生提出不同的問題并加以解決。

小組1：這個問題如何證明？

小組2：為什么四位數(shù)的黑洞是6174 呢？此數(shù)有何特點？

小組3：既然四位數(shù)有一個黑洞6174，那么二位數(shù)、三位數(shù)、五位數(shù)有無類似結(jié)論？

小組4：其他數(shù)學(xué)黑洞介紹：123 黑洞、谷角猜想、153 黑洞。

一個好的素材就好比一座“金礦”，數(shù)字黑洞就是數(shù)學(xué)中的一個寶貴礦床，首先，因為他的結(jié)論具有奇異性，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的重要載體。第二，在證明這些數(shù)字黑洞的過程中，學(xué)生展開想象的翅膀，對于6174 黑洞進行深入思考，在這個過程中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和深刻性。

4.3 創(chuàng)設(shè)合作型課題，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨立性和創(chuàng)造性

OECD 強調(diào)“每個人都應(yīng)具備主體性，學(xué)生獲得這種主體性能積極行動而不是被動接受，能主動塑造世界而不是被世界改變，能作出負(fù)責(zé)任的決定和選擇而不是盲目服從?！盵3]因此創(chuàng)設(shè)合作型課題，構(gòu)建多元化教學(xué)模式，充分利用學(xué)校資源，建立開放實踐型教學(xué)基地，為學(xué)生搭建一個進行實踐創(chuàng)新能力的平臺，以培養(yǎng)學(xué)生思維的獨立性和創(chuàng)造性。

例如：九年級在《中考壓軸試題研究》單元教學(xué)中，教師提出數(shù)學(xué)活動要求：

（1）利用假期查找資料，以小組合作的方式自學(xué)一種數(shù)學(xué)軟件，填寫研究性學(xué)習(xí)單，如表3，并利用軟件研究一道中考數(shù)學(xué)壓軸題。

表3 研究性學(xué)習(xí)單

（2）借助計算機實踐操作演示，分組交流實踐成果。

（3）學(xué)生匯報自己小組的研究現(xiàn)狀，以及遇到的問題。教師針對學(xué)生的問題及研究現(xiàn)狀進行評價指導(dǎo)。學(xué)生要總結(jié)問題解決的主要內(nèi)容，并對自己的數(shù)學(xué)模型進行一個簡要的評價，最后學(xué)生進行互評。

（4）學(xué)生優(yōu)秀成果分享，評選出的優(yōu)秀作品進行年級展示。

學(xué)生案例：

研究問題：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若將點P沿x軸折疊得到點P1，再將點P1繞點R順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P’，則稱點P’是點P關(guān)于x軸-點R的折旋點。

例如：點Q（0,1）關(guān)于x軸-點O的折旋點是點Q’（-1,0）。

假設(shè)F（0，t）是y軸上的動點，⊙F的半徑為2，若⊙F上存在點N，使得點N’是點N關(guān)于x 軸-點S(4,0)的折旋點，且點N’在直線上，直接寫出t的取值范圍。

學(xué)生利用MATLAB 軟件快速生成一些具體函數(shù)圖像：

從圖4 的函數(shù)變化過程中可以看出，點F關(guān)于x軸-S的折旋點坐標(biāo)為（4-t，4），點N關(guān)于x軸-S的折旋點N2在以（4-t，4）為圓心，半徑為2 的圓上，由此規(guī)律可以進一步畫出N2隨t變化而變化的動態(tài)圖。

圖4

信息技術(shù)為學(xué)生進行“數(shù)學(xué)實驗”提供了理想的工具與環(huán)境，學(xué)生利用MATLAB 軟件制作一些函數(shù)圖像，通過動畫演示圖像的變化過程，增強學(xué)習(xí)的直觀性，幫助學(xué)生理解參數(shù)的變化是如何影響圖形的變化。創(chuàng)設(shè)合作型課題，可以培養(yǎng)學(xué)生的語言表達能力、邏輯思維能力，使學(xué)生進一步學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待問題，用數(shù)學(xué)的思維思考問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨立性和創(chuàng)造性。

5 診斷素養(yǎng)發(fā)展現(xiàn)狀，跟進課程評價與反思

“數(shù)學(xué)優(yōu)秀生培養(yǎng)”校本選修課程，從開發(fā)到實踐，有成功的經(jīng)驗值得總結(jié)。

5.1 凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科特色，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣

本課程涉及到課題研究內(nèi)容絕大多數(shù)貼近學(xué)生的認(rèn)知特點，依托多樣的數(shù)學(xué)活動和展示分享，它可以讓學(xué)生體驗到獲得知識的成就感，不斷革新學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生持久的學(xué)習(xí)興趣。

5.2 注重學(xué)生的具身體驗，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本課題的課題研究內(nèi)容的學(xué)習(xí)，需要通過數(shù)學(xué)活動才能達成，這就需要學(xué)生經(jīng)歷閱讀信息—整合信息—分析問題—設(shè)計方案—實施方案—反思改進方案—得出結(jié)論的學(xué)習(xí)探究過程，通過具身的實踐體驗，感悟數(shù)學(xué)知識的形成過程。

5.3 注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變

本課程發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)的達成，需要學(xué)生主動參與、科學(xué)探究、認(rèn)真思考、動手實踐，有利于轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。學(xué)生在課程中學(xué)會了思考和反思，學(xué)會了探究，學(xué)會了學(xué)習(xí)，學(xué)會了合作，學(xué)會了分享交流，學(xué)會了表達和反思。有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力。