深度體驗，讓數學素養自然生長
——小課題研究“樹葉中的比”的實踐與思考

江蘇省南京師范大學附屬中學新城小學北校區 李潔涵

綜合與實踐活動是教師借助問題引領學生實際參與的探究學習活動，學生用學過的數學概念、原理和方法來解釋現象、解決問題。這類活動為學生提供了實踐研究的機會，有利于學生從現實情境出發，積累活動經驗，發展數學認知，培養綜合能力。但在實際教學中，這部分內容的教學往往流于形式，活動效果并不如人意，缺少實踐性，學生切身經歷的時間和空間不足；缺少關聯性，知識的呈現內容或形式較為單一等。

那么，如何發揮綜合與實踐的價值呢？小課題研究恰好彌補了這一不足，它旨在培養學生的應用意識和操作能力，幫助學生更好地將知識應用于生活，從而逐步提高數學核心素養。為此，本文以綜合與實踐中“樹葉中的比”這節課為例，對小課題研究進行了探索與思考。

一、研究目標

（1）通過觀察、測量、計算、比較、分析等活動，探索并初步發現樹葉的大小各不相同，但同一種樹葉長和寬的比值都接近某個確定的數值。

（2）在收集數據、計算分析、交流合作的過程中，體會數據的隨機性，積累數學活動經驗，發展數據分析觀念。

（3）進一步感受數學與生活的緊密聯系，增強用數學眼光觀察生活的意識和能力，提高研究學習的積極性。

二、研究過程

（一）課前：明確內容，合理分工

1.提出問題

師：同學們，當樹葉在空中飛舞或被你們踩在腳下時，你們是否仔細觀察過它們？讓我們一起來欣賞各小組收集的有關樹葉的資料吧。（微視頻展示）

師：在收集資料和觀看視頻的過程中，你們有什么發現？

生：樹的種類不同，樹葉的形狀也不同。相同的種類，樹葉的形狀相似，但大小各不相同。

師：如果用數學的眼光來研究樹葉，你認為可以研究什么呢？

生1：一年級時，我們研究過樹葉的分類。

生2：三年級時，我們研究過樹葉的周長，樹葉的周長無法直接測量，可以轉化為繩子的長度。

生3：我們還研究過樹葉的對稱性。

生4：五年級時，我們研究過不規則圖形面積的計算，樹葉的面積就可以用小方格來測量。

師：想知道樹葉的形狀和什么有關，應該研究什么呢？你們認為在數學里可以用什么來描述樹葉的形狀呢？

生1：樹葉的面積或者周長。

生2：樹葉的長和寬。

師：沒錯，從數學的角度來看，一片樹葉的形狀可以用它的長和寬來描述。樹葉的形狀與它的長和寬究竟有什么關系呢？

生：上一單元剛學過“比”的有關知識，我們可以研究長和寬的比。

2.探索方法

師：你們認為進行一項研究，需要做哪些前期工作呢？

生：制定研究方案，明確研究內容、方法、步驟。

師：在研究“樹葉中的比”之前，我們要做什么？

學生應明確以下方法：收集樹葉、測量樹葉的長和寬、計算比值、比較樹葉的形狀、發現形狀與比之間的關系。

3.合作分工

（1）確定長、寬。

師：既然要測量樹葉的長和寬，我們首先要明確長和寬的測量方法。你們能試著指一指下面樹葉的長和寬嗎？（逐個出示桑樹葉和銀杏葉）

銀杏葉

桑樹葉

師：沿著桑樹葉的主葉脈進行測量，最長距離（不含葉柄）是長；沿著與主葉脈垂直的方向進行測量，葉片中最寬的部分是寬。

（學生上臺介紹銀杏葉的長和寬）

（2）確定單位。

師：在測量的時候有什么要注意的地方呢？

生1：想清楚長和寬。

生2：葉柄不量。

生3：記錄數據的時候要注意單位。

師：測量時，選擇什么長度單位比較合適呢？

學生應明確：用厘米做單位不太合適，一般情況下樹葉的長和寬只有幾厘米，如果不滿整厘米數，就要用小數計算或者取近似值，比較麻煩。用毫米做單位可以取近似值，計算較容易，誤差也不會很大。

（3）制作研究單。

師：只研究一片樹葉夠嗎？為什么？

生：數據較少可能存在偶然性，需要多個數據。

師：每片樹葉的數值都不一樣，怎么辦？

生：用平均數來代表這種樹葉長和寬的比值。

教師要學生明白測量出長、寬以及比值之后，還要求比值的平均數。師生共同制作研究單（見表1），并討論交流完善。

表1 小課題研究單

要求：

①每個小組收集一種樹葉（10片）。

②測量并計算，將數據填入表格。

③觀察數據，記錄你的發現。

我們發現：

（二）課中：觀察比較，發現規律

1.多維比較

（1）同一種樹葉比較，多個小組上臺匯報，全班交流。（如表2、表3、表4）

表2 小組1小課題研究單

表3 小組2小課題研究單

表4 小組3小課題研究單

我們發現：同一種樹葉子的長與寬的比值都相近，葉子形狀差不多。

我們發現：同一種樹葉，長與寬的比值都比較接近。

我們發現：樹葉長寬不一，但比值卻大致一樣。

比較小結：同一種樹葉，不僅形狀相似，長和寬的比值也接近。

（2）不同種樹葉比較。

師：我們發現了同種樹葉的特點，那么不同種類的樹葉呢？你們能把它們按照一定的順序排一排嗎？

（學生按照比值的大小排樹葉）

師：把各小組的信息匯總到一張圖中（見表5）。觀察樹葉的形狀以及它們的比值，你們有什么新的發現？

表5 幾種樹葉對比

生1：不同種類的樹葉，長和寬的比值不同。

生2：形狀差距較大的，比值也相差很大；比值接近的，形狀也比較像。

生3：長和寬的比值越大，越狹長；比值越小，則相反。

師：想象一下，如果銀杏葉的下方再放一片樹葉，你會選擇什么樣的？

生1：長和寬的比值要小于0.82。

2.拓展延伸

（1）完善認知。

師：如果把這些樹葉看成一個個長方形，隨著比值的增加，形狀會怎么變？

生：越來越細長。

（出示馬尾松的圖片，介紹松針）

師：長和寬的比值逐漸變小呢？（課件演示）

（2）深入體驗。

師：你們能根據一個大號的樹葉的比值，猜一猜小號樹葉的比值嗎？

3.回顧反思

師：通過本次研究，你們有哪些收獲？你們是怎么研究出這些規律的？

從課前的收集、計算、觀察、發現，到課堂上的匯報、整理、比較，再到最后的數據分析，師生一起用數學的方法認識了生活中隨處可見的樹葉，揭開了影響樹葉形狀的神秘面紗，這其實就是研究數學、做數學的過程。

三、思考

（一）關注前期準備，喚醒原始動力

小課題研究是學生探究學習的過程，教師的引領作用主要體現在情境的創設、學生積極性的激發、給予適當的鼓勵等方面。開展小課題研究之前，學生要先確定研究內容、方法和步驟，這就需要教師走近小組成員，提供適時的指導與幫助。六年級的學生有能力在課余時間采集樹葉、收集信息，所以收集數據等前期工作被安排在課前完成，也為課堂研究節約了時間。上課伊始，整理的信息以視頻的形式呈現，便于學生觀察、發現和提出問題，促使學生產生研究的興趣。好的研究內容不一定是教師精心設計的，學生真實的生活經驗就是產生數學問題的土壤，學生基于已有經驗和實際觀察提出的數學問題更能激發他們的探究興趣。

之后，教師通過一系列有層次的提問，引導學生從觀察樹葉的特征，逐步過渡到描述影響樹葉形狀的內在原因，為下面的研究打下堅實的基礎。小組成員若不清楚測量的對象和方法，在具體實施時肯定無從下手，所以就需要教師的提前指導。在本研究之前，學生剛學完“比”的相關知識，教師再加以引導，學生就會想到用長、寬或者長和寬的比值來進行描述，從而確定了研究方法。

（二）經歷數學抽象，培養成長潛力

小課題研究還要設計探究性問題，以激發學生的熱情。回顧研究過程，教師提出了“你們認為在數學課程中，可以用什么來描述樹葉的形狀” “如果把這些樹葉想象成同長同寬的長方形。隨著比值的變化，長方形的形狀會怎么變”這兩個問題，引導學生經歷了兩次抽象：第一次抽象，剝離了樹葉的具象特征，學生的觀察點集中在樹葉長和寬的比上；第二次抽象，用規則的長方形代替了原本的不規則圖形，借助幾何圖形讓學生對比和比值有了更加深刻的認識，培養了學生的想象力，有利于數學核心素養的提升。

在探究過程中，學生對“同一種樹葉的長與寬的比值比較接近”沒有深刻的體會。所以，教師重疊大小不同的樹葉，設計“以大猜小”的活動，引導學生將“形”的表象和“數”的理解進行有機結合，不僅體現了對“數形結合”思想的重視，還滲透了圖形的放大與縮小，為后續的學習做了鋪墊。

由此可見，在小課題研究中，學生活動經驗的積累和應用能力的發展落到了實處。教師設計的探究性問題能引導學生有質量地思考，圍繞共同的目標相互交流、合作，從而完成研究，進一步培養了學生可持續發展的潛力。

（三）著眼數據分析，打造活力課堂

學生在測量計算、收集整理、分析交流和探索規律的過程中，嘗試運用數學眼光去觀察世界，用數學思維去解決問題，進一步促進了數據分析觀念的形成和數學思維的發展。

學生在分析數據時經歷了兩次對比。第一次是組內對比，學生認識到同一種樹葉，長和寬的比值較為接近，感受到數據的隨機性和規律性；第二次是組間對比，學生經歷了由個別到整體的分析過程，掌握了基本的數據分析的方法，并認識到樹葉長和寬的比值越大，樹葉就越狹長；比值越小，樹葉就越寬。這樣學生就能夠充分認識到樹葉的形狀與長和寬的比值之間的關系，同時也感受到只要有足夠的數據就能從中發現和總結規律，感受到數據分析的價值。

總之，小課題研究既能引導學生了解事物的表象，更能引導學生考慮事物背后隱藏的數學道理，促使學生用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界。另外，寬松的研究空間能激發學生更多的創造性思維。教學應讓研究性、互動性的探究性學習成為常態，讓教育有溫度、有實感，從而促進學生全面而有個性的發展。