一類1T2R并聯機構拓撲結構綜合及優選

汪滿新 李蘭彬 李正亮 劉海濤 黃 田

1.南京理工大學機械工程學院，南京，2100942.天津大學機構理論與裝備設計教育部重點實驗室，天津，300072

0 引言

以一平動兩轉動(1T2R)三自由度并聯機構為主機構的五自由度混聯裝備因不同程度上繼承了傳統串聯機器人和數控機床在可重構性、工作空間、速度、剛度和精度方面的優點，引起了工業界及學術界的普遍關注，且已在工程中得到應用[1-2]，如Tricept機器人已成功用于大型結構件和大型模具高速加工、板材高速切削、列車車體及飛機機翼鉆孔加工等方面[3-4]；DS Technology公司制造的Sprint Z3 Head成功應用于航空、航天、汽車等領域大型結構件高速銑削加工[5-6]；此外，近年出現的混聯模塊Exechon機器人[7-8]和Trimule機器人[9-10]，因大大減少了并聯機構的節點數目或節點自由度數目，故在保持良好的靈活性的同時還獲得高剛度，具有巨大的應用潛力，目前均已生產制造出多臺樣機。鑒于該類混聯裝備應用前景廣闊，故研究其拓撲結構綜合和優選方法具有重要的意義。這類裝備的綜合和優選關鍵在于1T2R三自由度并聯機構型綜合和優選。

許多學者在并聯機構型綜合方面做了大量研究工作，并形成了多種綜合方法[11]，主要包括：位移流型法[12]、約束螺旋理論法[13]、單開鏈法[14]、GF集法[15]、虛擬鏈法[16]、有限旋量法[17]等。其中約束螺旋理論綜合法是機構綜合最常用的方法之一，其核心思想是：根據機構所期望的自由度數目和類型要求，通過兩次求反螺旋系，構造出各分支運動螺旋系及其運動鏈需滿足的幾何約束條件，進而通過支鏈的合理組裝和驅動副的合理選擇綜合出相應機構。黃真等[13]對約束螺旋綜合方法的原理和步驟進行了詳細闡述，并歸納出構成9類少自由度并聯機構的分支約束螺旋系應滿足的幾何約束。FANG等[18]、LI等[19]、KIM等[20]、XIE等[21]進一步應用和發展了該理論并提出多種少自由度并聯機構新構型，如XIE等[21]借助線幾何描述剛體瞬時運動與約束，提出一種可視化的并聯機構型綜合方法，并得到多種新穎的1T2R并聯機構。KONG等[16]在此基礎之上提出了虛擬鏈綜合法，并綜合出具有UP等效運動模式的1T2R并聯機構，汪滿新等[22]借助虛擬鏈綜合法綜合出具有UPR-SPR等效運動模式的1T2R并聯機構。

需指出的是，約束螺旋理論法需以支鏈為對象構造約束力系，雖普適性強，但需事先掌握較為深奧的螺旋理論。為了避免該問題，HUANG等[23]提出兩類由一條含平面并聯運動鏈的復雜支鏈和一條空間支鏈組成的1T2R 并聯機構。第一類平面并聯運動鏈包含兩條平面驅動支鏈和一條恰約束平面從動支鏈使得平面并聯運動鏈具有1T1R運動，該平面運動鏈再串接一轉動副即可實現1T2R運動，并添加一條空間無約束主動支鏈提供第三個驅動。第二類平面并聯運動鏈由兩條平面驅動支鏈組成，并通過串接一轉動副實現2T2R運動，為限制多余的1T運動并添加一個驅動力，該機構添加了一條含1個約束力的空間支鏈。與以支鏈為對象的構型綜合方法相比，按照上述方式分解動平臺的 1T2R 運動有利于直觀地理解，進而大幅度簡化這類機構型綜合問題。此外，該文還從機構位姿能力匹配的恰當性、支鏈結構的力學合理性、機器人模塊的可重構性以及位置正逆解的解析解簡易性等方面提出機構拓撲結構優選準則，為如何從眾多構型中遴選出有潛在工程價值的拓撲結構提供了思路。因該文所提出的并聯機構均僅含一條空間支鏈，故均為面對稱1T2R并聯機構，不具備三對稱的特性。

本文應用平面機構的組成原理和約束特性，提出由一條串接一轉動副的1T1R平面并聯運動鏈和兩條空間無約束主動支鏈組成的1T2R并聯機構拓撲結構綜合方法，所綜合出的新型1T2R并聯機構可具備運動學三對稱特性。在此基礎上，提出動平臺結構緊湊性等拓撲結構優選準則，并開展拓撲結構優選，進而完成一種可繼承Tricept機器人優點的新型五自由度混聯機器人模塊概念設計。

1 拓撲結構綜合

圖1為一類1T2R并聯機構的一般結構簡圖，該機構由一條含平面并聯運動鏈的復雜支鏈和兩條空間無約束主動支鏈組成，平面并聯運動鏈包含一條主動支鏈和一條恰約束平面從動支鏈。恰約束平面從動支鏈是指該從動支鏈的末端運動與其所在的平面并聯運動鏈的末端運動完全相同，空間無約束主動支鏈是指含驅動副且末端可實現6個空間自由度的支鏈。因兩條空間無約束主動支鏈不存在任何約束，故圖1所示機構的末端運動模式與含平面并聯運動鏈的復雜支鏈完全相同。平面運動鏈最多可實現2T1R運動，它與1T2R運動相比，需限制1T運動，且需添加1R運動。為限制1T運動，可將恰約束平面從動支鏈的運動設定為1T1R運動；為添加1R運動，可在平面并聯運動鏈的一端連接一個軸線與該平面平行的R副。如圖1所示，空間支鏈的兩端桿件為剛體Ⅰ和剛體Ⅲ，平面并聯運動鏈的兩端桿件為剛體Ⅱ和剛體Ⅲ，剛體Ⅰ和剛體Ⅱ通過一軸線為n-n 且與平面Ⅰ共面的轉動副連接。

圖1 1T2R 并聯機構的一般結構簡圖Fig.1 General structure of 1T2R parallel mechanisms

根據運動互逆原理，可分別將體Ⅰ和體Ⅲ視為機架，從而得到兩類1T2R并聯機構。在類型1中，體Ⅰ為機架，體Ⅱ和體Ⅲ分別為平面并聯運動鏈的連架桿件和輸出桿件(即動平臺)，如圖2a所示。在類型2中，體Ⅰ為動平臺，體Ⅱ為平面并聯運動鏈的輸出桿件，體Ⅲ為機架(即平面并聯運動鏈的連架桿件)，如圖2b所示。

(a)類型1

(b)類型2圖2 1T2R并聯機構兩種類型Fig.2 Two subfamilies of 1T2R parallel mechanisms

為了保障所綜合出的機構具有良好的剛性和實用性，在此做出如下限定：一是采用移動副驅動，二是主動支鏈連接輸出桿件的運動副不為移動副，三是系統僅使用R副、P副、U副、S副等常用運動副，在此R副、P副、U副、S副分別表示轉動副、移動副、虎克鉸和球副。故前文所述的空間無約束主動支鏈可利用的結構有UPS支鏈和PUS支鏈，在此P為主動移動副。可實現1T1R運動的恰約束平面從動支鏈可利用的結構有PR支鏈、RP支鏈和RR支鏈，而平面并聯運動鏈中主動支鏈可利用的結構有RPR支鏈和PRR支鏈。據此可得到如表1所示的1T2R并聯機構的構型，圖3示出了其中的8種構型，表2給出了圖3中符號的含義。若為了釋放過約束，表1中的RPR支鏈也可使用RPS和RPU等支鏈替代，PRR支鏈可用PRU和PRS等支鏈替代。

表1 1T2R過約束并聯機構

表2 旋量的符號及其幾何含義

2 構型優選

為從綜合得出的機構中篩選出具有工程實用價值的構型，本文將從機構位姿能力匹配的恰當性(準則1)、支鏈結構力學合理性(準則2)、機器人模塊的可重構性(準則3)、位置逆解解析解的簡易性(準則4)等方面考慮機構型優選[23]。此外，考慮到動平臺重力對機構末端變形具有重要影響[24]，期望動平臺可實現結構緊湊的輕量化設計，故本文提出將動平臺結構的緊湊性作為機構型優選的準則5。

從機構位姿能力匹配的恰當性(準則1)來看，因UPS和PUS均為6自由度支鏈，不會影響機構末端的位姿，故1T2R并聯機構的位姿能力由含平面并聯運動鏈的支鏈決定。支鏈結構為R(RPR&RP)、R(PRR&RP)、R(RPR&RR)、R(PRR&RR)運動鏈的兩個轉軸均靠近機架，故為位置型機構；(RPR&PR) R、(PRR&PR) R、(RPR&RR) R、(PRR&RR)R兩個轉軸均靠近動平臺，故均為姿態型機構；而支鏈結構為R(RPR&PR)、R(PRR&PR)、(RPR&RP)R和(PRR&RP)R的運動鏈一個轉軸靠近機架而另一個轉軸靠近動平臺，故此類機構的位姿屬于混合型，不符合位姿能力恰當性的準則要求。此外，因R(RPR&RR)、R(PRR&RR)、(RPR&RR)R、(PRR&RR) R支鏈無Z軸方向行程，也將導致機構的位姿能力下降，因此，表1中凡是含R(RPR&PR)、(PRR&RP)R、R(PRR&PR)、(RPR&RP)R、R(RPR&RR)、R(PRR&RR)、(RPR&RR) R、(PRR&RR) R支鏈的1T2R并聯機構均不滿足準則1的要求。

從支鏈結構力學合理性(準則2)來看，期望支鏈可設計成結構緊湊且具有高的抗彎曲、抗扭轉的剛度/質量比等特性，SPR、UPR、PRS、UP是具有這類特性的典型代表，分別在Exechon、Sprint Z3和Tricept機器人中得到應用，其特點在于支鏈約束力集中于一端，且另一端有空間可做成具有高抗彎剛度的截面，如若不滿足該特點，支鏈的受力性能將大大減弱，如圖3b和圖3e所示的兩個機構不滿足此準則要求。表1中R(RPR&PR)支鏈、R(PRR&PR)支鏈、(RPR&RP)R支鏈和(PRR&RP)R支鏈的約束力分布在支鏈兩端，從而不滿足準則2的要求。

(a)R(RPR&RP)&2-UPS (b)R(RPR&PR)&2-UPS

(c)R(RPR&RR)&2-UPS (d)R(PRR&RP)&2-PUS

(e)(RPR&RP)R&2-UPS (f)(RPR&PR)R&2-UPS

(g)(PRR&PR)R&2-PUS (h)(PRR&RR)R&2-PUS圖3 8種1T2R并聯機構Fig.3 Eight kinds of 1T2R parallel mechanisms

從機器人模塊的可重構性(準則3)來看，期望1T2R機構成為一個結構緊湊的即插即用模塊，因此一個合理的 1T2R 機構應具有較大的作業空間/機架占地比，故位置型 1T2R 并聯機構宜采用內移動副驅動，姿態型機構宜采用外移動副驅動，否則容易發生干涉導致作業空間受限或機架尺寸過大。

因本文所提出的機構均具有恰約束支鏈，故本文所提出的機構均有望存在位置逆解解析解(準則4)。

為使動平臺結構緊湊(準則5)，期望各支鏈與動平臺連接的鉸鏈數量少且越簡單越好，如圖3a和圖3d所示，中間支鏈與動平臺固接，與動平臺連接的鉸鏈數僅有3個；而圖3b、圖3c和圖3e與動平臺連接的鉸鏈數有4個，而圖3f、圖3g和圖3h動平臺處的鉸鏈數量有5個，不僅增大了動平臺設計復雜度，且影響末端轉頭的連接，為了避免干涉不得不犧牲動平臺結構的緊湊性。

依據上述準則，表3給出了各構型是否滿足各準則條件的結果。由表可見，僅有R(RPR&RP)&2-UPS并聯機構滿足全部5項準則。

表3 5項選型準則檢驗1T2R并聯機構型的結果

3 五自由度混聯機器人概念設計

本節以優選出的R(RPR&RP)& 2-UPS并聯機構為主機構，完成一種新型五自由度混聯機器人的概念設計。該并聯機構由兩條UPS支鏈以及一條R副串接1T1R平面并聯運動鏈的復雜支鏈共同組成，其中1T1R平面并聯運動鏈由RPR支鏈和RP支鏈構成。為改善機構的裝配工藝，用RPS支鏈替代RPR支鏈。這種替代雖然釋放了兩個過約束，但并不改變施加在動平臺上的約束力系。此外，通過工程設計可確保RP支鏈能夠承擔絕大部分施加在動平臺上的約束力。

在R(RPS&RP)&2-UPS并聯機構末端串接A/C擺角頭，發明了圖4所示的新型五自由度混聯機器人Trifree。從圖3a和圖4中可直接驗證R(RPS&RP)&2-UPS并聯機構滿足各支鏈結構力學合理性和動平臺結構緊湊的準則，下面從機構位置逆解、工作空間(位姿能力)和可重構性驗證所提出的新型并聯機構的性能。

圖4 Trifree機器人Fig.4 Trifree robot

3.1 位置逆解分析

圖5為新型并聯機構結構簡圖，其中點Ai表示第i(i=1,2,3)支鏈與動平臺鉸接的球副中心，構成等邊三角形△A1A2A3，點Bi表示第i(i=1,2,3)支鏈的虎克鉸中心，構成等邊三角形△B1B2B3。為了便于描述，首先以△B1B2B3中心點O為原點，建立固定參考系{R}，其中，x軸方向由點O指向點B1，z⊥△B1B2B3，方向指向動平臺，y軸由右手定則給出。相似地，以△A1A2A3中心點O′為原點，建立動平臺連體坐標系{R′}。此外，定義末端參考點P位于A軸和C軸軸線的交點，令sj,i表示支鏈i中第j個運動副的單位矢量，注意到中間支鏈中的P副與動平臺固接，故動平臺連體坐標系{R′}相對于系{R}的旋轉矩陣R可由支鏈4繞x軸旋轉α、繞y′軸旋轉β后得到

R=Rot(x,α)Rot(y′,β)=

(1)

式中，n1,4=s2,4×s3,4。

圖5 R(RPS&RP)&2-UPS并聯機構結構簡圖Fig.5 Schematic diagram of R(RPS&RP)&2-UPSparallel mechanism

由圖5可知，末端參考點P在系{R}中的位置矢量rP=(xP，yP，zP)T可表示為

rP=bi+qis3,i-ai+es3,4i=1,2,3

(2)

rP=(q4+e)s3,4

(3)

其中，qi為支鏈i的桿長；e為點O′到點P的距離；bi和ai分別表示在系{R}下，點O到點Bi的方向矢量和點O′到點Ai的方向矢量，且

ai=Rai0ai0=aisibi=bisi

(4)

i=1,2,3

ai=abi=bsi=(cosφi，sinφi，0)T

φ1=0φ2=2π/3φ3=4π/3

式中，ai0為ai在系{R′}下的度量。

聯立求解式(1)和式(3)可得

(5)

(6)

將求得的α、β代入式(1)中，即可計算旋轉矩陣R和s3,4，進而可得

qi=|rP+ai-es3,4-bi|

(7)

顯然，R(RPS&RP)&2-UPS并聯機構具有位置逆解顯示解。

3.2 工作空間分析

(8)

令ai0=(ai0x，ai0y，ai0z)T，ci=(cix，ciy，ciz)T，則由q4s3,4+Rai0=ci，可求出

(9)

由式(9)可求得s3,4，進而由式(3)可得到末端點P的位置，然后根據位置逆解可計算出其他兩條主動支鏈的桿長、方向矢量及虎克鉸轉角。

設驅動支鏈桿長的最大值和最小值分別為qmax和qmin，支鏈近架轉動副和遠架轉動副的最大轉角分別為αmax和βmax，分別令qi為qmax和qmin，以αmax和βmax為約束條件，隨著αi和βi的變化，可得到末端點P位置坐標張成的空間曲面si,max和si,min。此6個邊界面所合成的空間即為并聯機構的可達空間，如圖6所示。

圖6 可達空間Fig.6 Reachable workspace

為提高可達空間的利用率，定義由半徑為RC、高度為h1的圓柱體和半徑為RS、高度為h2的球缺體組合而成的規則體為點P的任務空間Wt，如圖7所示。進而可定義機構的任務空間/機構體積比為

(10)

(11)

式中，V為任務空間Wt的體積；q4min和q4max分別為被動支鏈桿長的最小值和最大值。

圖7 混聯機構工作空間示意圖Fig.7 Schematic diagram of the hybridmechanism workspace

當給定機構尺度參數a=135 mm，b=370 mm，qmin=660 mm，qmax=1260 mm，e=360 mm，αmax=βmax=40°時，可求得λw=2.20，說明所提出的新型并聯機構具有較高的空間利用率，具備良好的位姿能力。

3.3 與Tricept機器人對比分析及可重構性分析

該機器人繼承了Tricept機器人(圖8)的優點，其特色主要體現在如下幾個方面：

(1)R(RPS&RP)&2-UPS并聯機構為位置型并聯機構，具有工作空間/機架體積比大的特點，串接A/C擺角頭后，可實現末端姿態的調整。新型混聯機器人末端運動模式相當于3T2R。

(2)與 Tricept機器人相比，機器人在原理上可省去3個(實際上省去了1個)R副，且可與Tricept機器人的絕大部分部件互換。

(3)可設計成三對稱形式，具有與Tricept 機器人完全相同的運動模式，繼承Tricept機器人的運動學性能。

(4)與 Tricept 機器人類似，可在A/C擺角頭輸出端、R(RP)支鏈從動關節上安裝圓光柵和直線光柵，因此具備實現全閉環反饋控制的功能。

(5)與 Tricept 、Exechon 、Trimule等機器人類似，可將該機器人制成一個即插即用的模塊，用于搭建出形式多樣的機器人化作業單元和移動工作站。圖9示出兩種用該機器人模塊搭建的裝備布局方案和潛在的工程應用場景。

圖8 Tricept機器人Fig.8 Tricept robot

(a)搭載在長行程導軌上

(b)搭載在全向移動平臺上

4 結論

(1)本文應用平面機構的組成原理和約束特性，提出由一條串接一轉動副的1T1R平面并聯運動鏈和兩條空間無約束主動支鏈組成的1T2R 新型并聯機構拓撲結構綜合方法，該方法具有簡單直觀、易于工程技術人員理解和掌握的優點。

(2)提出了動平臺結構緊湊性準則，并統籌考慮裝備位姿能力恰當性、支鏈結構力學合理性、機器人模塊可重構性、位置正逆解簡易性和動平臺結構緊湊性等5項準則，完成1T2R并聯機構拓撲結構優選及性能驗證。

(3)在綜合和優選出的1T2R并聯機構末端串接A/C擺角頭，發明出一種新型五自由度混聯機器人。該機器人可繼承Tricept機器人優點，且與Tricept機器人具有完全相同的運動學性能，兩者絕大部分部件可互換。將其與長行程導軌或全向移動平臺集成，可搭建出形式多樣的機器人化作業單元和移動工作站。