探究分數乘除法解決問題的策略

江西財經大學附屬中學小學部 顧金華

《義務教育課程方案（2022年版）》要求各門課程基于培養目標，將黨的教育方針具體化為學生核心素養發展要求，明確本課程應著力培養的正確價值觀、必備品格和關鍵能力。探究分數乘除法解決問題的策略，培養學生學習數學的品格和關鍵能力是當前所需、當務之急。

一、探究背景

（一）內容重要，分布廣泛

“分數”內容主要分布在人教版數學三年級上冊、五年級下冊、六年級上冊等教材中。

（二）內容復雜，思維抽象

用乘除法解決分數問題，堵點多、難度大，稍復雜的分數問題比較抽象。如對于確定中間問題比較量對應的分率計算方法，學生知識遷移不夠順暢。

（三）打好基礎，利于學段縱向銜接

分數乘除法解決問題在后續的學習中應用比較頻繁、廣泛。比如，實際問題與解方程、銷售中的盈虧等很多內容涉及分數問題。因此，學懂、弄通分數問題能為后續的學習打下扎實的基礎。

（四）應用廣泛，“一起向未來”

生活中的增長問題、節約問題、折扣問題、遞增問題、利率問題、稅率問題，營銷中的盈虧問題，統計中的百分率等都是分數乘除法解決問題的應用。在生活中，分數問題更是無處不在。掌握好用分數乘除法解決問題的策略，我們才能更好地“一起向未來”。

二、探究策略

（一）“準”：定準單位“1”

1.理解單位“1”，感知單位“1”

皮亞杰認知發展階段論認為，人的認識來源于動作，動作是感知的源泉和思維的基礎。

學習“分數的意義和性質”時，學生能根據直觀圖寫出分數，表述把什么看作單位“1”，分數表示什么的幾分之幾。分數的意義中的難點是把一些物體看作單位“1”。

2.兩種數量比較時，定準單位“1”

兩種數量比較時，教師要助力學生改變認知結構，完成認識順應，達到新的認知平衡。

第一，一個數的幾分之幾，把一個數看作單位“1”。第二，與什么比，就把什么看作單位“1”。把分數問題和倍數問題進行統一，與什么比，什么就是標準，即單位“1”的量。

3.復雜多變時，定準不變的量為單位“1”，或統一單位“1”的量

（二）“穩”:數形結合，分析透徹，穩妥解題

1.簡單分數乘法問題

數形結合，理解并掌握求一個數的幾分之幾用乘法計算，歸納整理數量關系式。比如，人教版數學六年級上冊“分數乘法”第5頁第4題，首先，教師讓學生初步掌握“求一個數的幾分之幾是多少”用乘法計算，養成自主畫圖的習慣。（如圖1）

圖1

圖2

2.簡單分數除法問題

逆向思維理解困難時，學生可依托線段圖，借助順向思路，熟練掌握問題“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的解題方法，用方程和除法解答，歸納數量關系。例如，人教版數學六年級上冊“分數除法”第35頁例4，首先，我們根據關鍵條件“水分占體重的4—5”，體重是單位“1”的量，水分28kg是比較量，水分對應的分率是

4—5，準確地畫出線段圖，標出條件與問題（如圖3）。根據圖3，我們可將題目提煉成文字題：已知一個數的是28，求這個數。在條件與問題之間建立順向的等式關系：小明的體重×明的水分28kg，列出方程并解答。再根據順向數量關系，推出用除法解決問題，得出解決問題的逆向數量關系式。求小明的體重用除法計算在圖中標出三個數量：單位“1”的量、比較量、對應的分率（如圖4）。最后歸納整理：比較量÷對應的分率=單位“1”的量。如此，為學習用較復雜的分數除法解決問題做鋪墊。

圖3

圖4

（三）“精”：精準捕捉稍復雜的分數問題的核心

抓住復雜問題的核心，突破難點、突出重點，為解決復雜問題保駕護航。比如，人教版數學六年級上冊“分數乘法”第13頁例9和人教版數學六年級上冊“分數除法”第36頁例5，都是稍復雜的分數問題。核心問題1：找準單位“1”的量，再確定比較量及比較量對應的分率。如圖5，隱去其他具體的數量，顯示單位“1”和另外一個已知分率，便于學生理解求比較量對應分率的計算方法。核心問題2：最后問題求什么量，選擇合適的解答方法。結合線段圖（如圖6）。無論多復雜的問題，抽絲剝繭后，都會轉變成簡單的問題。例9：表示求75的是多少，求比較量，用乘法計算。例5：已知一個數的是35，求這個數，求單位“1”的量，可以用算術法解答，也可以用方程解。

圖5

圖6

例9

（四）“通”：注重學科內知識關聯，融會貫通

世間萬物都不是孤立存在的，它們之間存在千絲萬縷的聯系。知識點之間同樣如此，分數、百分數、比、比例之間存在著密切的聯系。學生要具有融會貫通的能力，能從不同的角度來解決分數乘除問題，達到學活、用活的高階思維能力。

1.用比例知識解決分數乘除問題

抓住條件和問題，羅列兩組數據。如“分數乘法”第5頁的例4：

2.將復雜問題的條件進行轉化，培養高階思維

轉化思想是數學的一種重要思維方法。對于綜合性、挑戰性強的分數問題，靈活地運用所學關聯知識，融會貫通，有效轉化，可以培養學生的高階思維。

第一種：將比轉化成分數。例如，快遞公司配送一批加急件，已配送的件數與剩下的件數之比是3：4，如果再配送72件，正好配送這批加急件的這批加急件一共有多少件？我們可以把條件“已配送的件數與剩下的件數之比是3：4”，轉化成“已配送加急件是這批加急件的與條件“再配送72件，正好配送這批加急件的的單位“1”統一起來，從而突破問題難點。

第二種：將分數轉化成比。例如，某校開展了興趣班，圍棋小組和魔方小組一共有40人，魔方小組人數是圍棋小組的圍棋小組和魔方小組各有多少人？這道題除了可以用和倍問題解答方法進行解答，還可以把條件“魔方小組人數是圍棋小組的轉化成“魔方小組人數與圍棋小組人數之比是3：5”，就成了典型的按比分配問題，如此，將難點化整為零，通俗易懂。

第三種：復雜信息化繁為簡。例如，張阿姨買了三筐同樣重的橘子，取出第一筐質量的第二筐質量的，從第三筐中取出12kg，這時，三筐中剩下的橘子恰好等于原來兩筐橘子的質量。原來每筐橘子有多重？面對這個看似復雜的題目，我們要抓住煩冗的信息，將條件“張阿姨買了三筐同樣重的橘子”“這時剩下的橘子恰好等于原來兩筐橘子的質量”轉化成關鍵條件“一共取了一筐橘子”，再找到比較量“12kg”對應的分率，問題便迎刃而解。如此，化繁為簡，有助于學生分析問題。

（五）“深”：編題說題，深度學習，培養能力

美國學者愛德加·戴爾提出的“學習金字塔”中，主動學習有三項：教授給他人、實踐、討論。學習內容平均留存率：討論50%、實踐75%、教授給他人90%。因此，編題、說題是自主學習的高級階段，也是提質培優的有效手段之一。學生具有一定的解決分數問題的能力后，在教師的引導下，根據不同類型分數問題的算式創編生活中各種情境問題。同學之間互換互評、互練互講，進入學習的輸出階段，使所學知識得到升華，達到深度學習的效果。

三、策略回饋，青草更青，春意盎然

經過有目的、有計劃、有梯度的探討和學習，教學效果初現端倪，探究策略在教學中得到有效體現。六年級兩個班112名學生參加測試，其分數乘除法解決問題的正確率為89.17%，逆向較復雜的分數解決問題的正確率為82.31%。對于其中一道問題，學生的解答正確率達91.07%，其解答有多種解法：歸一法、將兩數之差看作單位“1”、用比例解答、用倍比法解答等。

在用乘除法解決分數問題的教學中，教師要抓住學習的有效落點，分散難點、突出重點、化難為易、化繁為簡，形成學習的捷徑；培養學生的分析能力、判斷能力、遷移能力、邏輯思維能力；讓學生能解、能說、能評、能編，達到自主學習的高級階段，有效培養高階思維，達到深度學習的效果。