軸向激勵彈性連接雙剛性球低頻聲輻射計算及分析

趙騰瑞，伍先俊，孫紅靈

（1.中國科學院噪聲與振動重點實驗室（聲學研究所），北京 100190；2.中國科學院大學，北京 100049）

0 引 言

為了使結構在較大深度下滿足一定的耐壓強度，水下工程中常將結構分解成多個分散結構。大潛深的水下航行器一般采用多艙體結構，作用力激勵艙體振動從而向外輻射聲波。為使航行器有盡可能低的輻射噪聲，需重點考慮艙體之間連接方式的設計。球艙作為一種耐壓結構可以作為航行器艙體結構的一種形式，為使球艙在較大深度具有足夠的強度，艙壁較厚，球殼越厚其固有頻率越高，低頻振動時一般只存在剛性模態，可忽略球殼本身的彈性，將球艙建模為剛性球，所以研究雙剛性球不同連接方式下的輻射聲場具有重要的應用價值。

輻射聲場計算中的一個關鍵問題是多球體的散射，為方便利用每個剛性球表面的邊界條件，需要將整個聲場相對于每個球體中心展開，基本出發點是波函數的加法定理。1954 年，Friedman 和Russek[1]推導了一種任意階球函數的平移加法公式，能將球函數平移到另一個球坐標系中表示，隨后Stein 等[2]進行了修正；1962 年，Embleton[3]研究了平面波垂直球心連線入射時兩剛性球之間的相互作用；1973年，Thompson[4]利用球函數的平移加法理論研究了軸對稱簡諧振速分布的輻射球源嵌入到一個較大的流體球內，并置于另一種無限大流體域中的聲輻射問題；隨后Thompson[5]又用同樣的方法研究了輻射球源靠近一個散射球體的聲輻射問題；1995 年，Gaunaurd 等[6]計算了平面波以任意角度入射被兩個球散射后的聲場,考慮了軟邊界和硬邊界的情況，并計算了平面波入射下兩球體系統的形函數；2003年，吳九匯等[7]利用格林函數的雙中心球坐標展開式得到了一類球函數加法公式，基于該加法公式研究了兩球體系統在不同邊界條件下的散射聲場；2014 年，張林根等[8]建立了近水面雙圓柱殼的耦合聲散射模型。

以上研究均為多體結構的聲散射問題，也有學者研究了多體結構的聲輻射問題。2016年，白振國等[9]基于模態疊加法提出了3個并排無限長彈性圓柱殼的振動聲輻射耦合物理模型，計算了無限長線激勵力作用在殼體時的輻射聲場。隨后他和胡東森等[10]又用該模型研究了3 個并排無限長彈性圓柱殼對平面聲波的散射特性。上述研究中子結構之間不存在連接，彼此是相互獨立的。本文以球艙為例，針對水下軸向激勵的雙剛性球振動模型，利用球函數的平移加法理論建立彈性連接兩球艙輻射聲場的解析解，基于該輻射聲場的解析計算模型分析艙體之間連接方式和質量分布對輻射聲場的影響。

1 理論分析

本章將對兩個剛性球軸向振動產生的輻射聲場進行理論推導，只計算100 Hz 以下剛性模態頻段的輻射聲場。整個輻射聲場的計算大致可分為兩個部分：首先是利用球函數的平移加法理論將各部分聲壓相對于每個球體中心展開成待定系數的形式，利用每個剛性球表面的邊界條件得到關于聲壓待定系數的線性方程組，求解該線性方程組，將聲壓待定系數用兩球軸向振動速度表示；第二部分是建立剛性球的動力學方程求解軸向振動的速度，其中關鍵的一點是求解流體對剛性球的反作用力，理論推導將從這兩方面展開。

1.1 已知剛性球振速的輻射聲場

如圖1幾何示意圖所示，兩個剛性球的球心沿z軸排列，半徑分別為ra、rb。球心之間的距離為rab，z軸上兩球最近兩點之間的距離為dab，空間任意一點在兩個球坐標系下的坐標分別為(r1,θ1,φ)、(r2,θ2,φ)。兩球之間存在剛性連接或彈性連接，球A 受到沿z軸正方向的簡諧激勵力作用，兩球沿z軸振動并向外輻射聲壓。將整個輻射聲場分為4部分，分別為球A、球B振動的輻射聲壓pA、pB，球A不動時對球B 輻射聲壓的散射聲壓pASB和球B 不動時對球A 輻射聲壓的散射聲壓pBSA，具體表達如式（1）～（2）所示，式中省略了相同的時間因子ejωt。

式中，an、bn、asbn、bsan為待定系數，k為波數，hn(kr)為第二類球漢克爾函數，Pn( cosθ)為n階勒讓德函數。以球A為例分析剛性球沿z軸的振動，如圖2所示，球A沿z的振動速度為va，則整個球面上的法向振動速度可表示為vr=vacosθ1=vaP1( cosθ1)。

利用球函數平移加法理論將不同坐標系下的聲壓表達式寫到相同坐標系下。以球B振動輻射的pB(r2,θ2)為例，將其平移到球A所在坐標系中，則可用式（3）表達[4]，其中jv(kr1)表示v階球貝塞爾函數，p、v和n均表示求和階數，N為截斷階數，p表示求和階數，具體形式為p=n+v,n+v- 2,…,|n-v|。

其中，平移系數a( 0,0|p,v,n)表達式由式（4）給出。

用m替換v，同時調整求和次序，將式（3）寫成更緊湊的式（5）。新的系數Bam是原待定系數的線性組合，Ba(m,n)表示矩陣Ba中第m行第n列的元素。

其中，αp= jm+p-n( 2m+ 1)a( 0,0|p,m,n)。同理可得其余聲壓平移之后的表達式（6）～（8）。

剛性球A、B 表面質點滿足法向速度連續的邊界條件，如式（9）～（10）所示，ρ0為水的密度，c0為水中聲速。式（9）表示疊加后總聲場在剛性球表面滿足質點法向速度連續的邊界條件，式（10）表示剛性散射條件，輻射聲壓與散射聲壓疊加后在散射球表面的質點法向振速為0。vma、vmb僅在m= 1 時不為0，其余階數均為0。

將聲壓表達式代入式（9）～（10）化簡可以得到N+ 1個形如(11)的線性方程組。

定義矩陣：

矩陣Ab(N+1)×(N+1)和Ba(N+1)×(N+1)中的第m行n列元素表達式如式（14）～（15）所示。

故剛性球表面的邊界條件構成的線性方程組可用矩陣形式表示為

其中，系數矩陣S可表示為

待定系數向量可表示為

速度向量可表示為

由于剛性球只有整體沿軸向振動的速度，故求解方程(16)我們僅需系數矩陣逆矩陣中的兩列。逆矩陣為S-1,其第2列、第N+1+2列分別為

聲壓的待定系數an可用兩球振速表示為式（21），同理其它聲壓待定系數也可用相同形式表示。只要解得剛性球軸向振動速度即可確定聲壓待定系數從而確定整個聲場。

1.2 水下球體動力學方程

為建立剛性球的動力學方程需要求解流體作用在剛性球上的力，這個力可由聲壓在剛性球表面的積分得到，以球A受到的反作用力為例，有

積分式（22）中對角度θ1的積分可表示為式（23），其中x= cosθ1。

計算積分式（23）需要用到勒讓德函數的遞推公式[11]：

利用勒讓德函數的遞推公式求解積分式（23）可得僅當m= 1 時積分不為0，其余階數均等于0。故流體作用在兩球上的力可用兩球振速表示為

式中，系數I1、J1、I2、J2表達式由式（26）給出。

兩剛性球的動力學方程如式（27）所示，其中ξa、ξb表示兩球沿z軸的位移，K為剛度，F為激勵力。

將流體對球的作用力代入動力學方程，求解線性方程組（27）可以解得剛性球的振動速度，將振速代入式（21）即可解得聲壓的待定系數an，用相同的方法可以解得其他聲壓的待定系數，從而確定整個聲場。

本文以剛性球輻射的平均等效聲源級作為衡量其聲輻射的標準，平均等效聲源級的定義由式（28）給出，其中“*”表示復數的共軛。等效聲源級為聲強在半徑為rf的球面上的積分取對數，參考聲功率Iref=8.37×10-18W表示的是距離點聲源1m處聲壓幅度為1×10-6Pa的聲功率。

2 算例分析

2.1 理論模型驗證

為驗證上述理論推導及建模的正確性，將理論計算與COMSOL 多物理場耦合計算軟件的結果進行對比。所選擇參數如下：剛性球密度ρA=ρB= 1000 kg/m3，剛性球半徑ra=rb= 1 m，球心之間的距離rab= 2.1 m。兩剛性球之間存在彈簧連接，彈簧剛度K=( 2πfa)2MaMb/(Ma+Mb)，fa= 14 Hz 表示質量為Ma、Mb的質點與剛度為K的彈簧組成的雙質點單彈簧系統在空氣中的共振頻率。球A 受到軸向力的激勵，激勵力的大小為F= 1 N。COMSOL 計算的流體域半徑為15 m，結構有限元的單元最大尺寸為0.5 m，流體域網格最大尺寸為1 m，由于計算頻率在100 Hz以下，聲波波長大于15 m，滿足一個波長內有6 個單元的條件。COMSOL 中激勵力以及兩剛性球之間的彈簧對兩球的彈力均以點載荷形式施加在兩球上，表示彈力的點載荷由彈簧彈力表達式給出。在半徑rf= 10 m 的半圓周上選取若干場點，對比了有限元仿真和理論模型計算的場點聲壓幅值。圖3（a）給出了頻率為5 Hz各個場點理論計算與有限元仿真的聲壓幅度曲線，圖3（b）則給出了單個場點θ= 0°在各頻率點的聲壓幅度曲線。對比結果表明二者具有良好的一致性，說明了理論推導及建模的正確性。

2.2 雙剛性球計算結果及分析

限定兩個剛性球的總體積為40 m3，總密度為ρ=1000kg/m3，彈簧剛度K定義形式如前文所示，式中Ma與Mb相等，后續仿真時彈簧剛度保持不變。圖4給出了兩個剛性球體積和密度參數不同時彈性連接和剛性連接的等效聲源級對比，體積和密度的具體參數由表1給出。由圖4（a）～（b）兩圖可以看出，當兩剛性球密度相同時，無論激勵力作用在體積大的球上還是作用在體積小的球上，除峰值外兩種連接方式的聲源級基本一致，彈性連接并沒有降低聲輻射。由圖4（c）～（d）兩圖可以看出，當兩個剛性球的密度不同時，彈性連接時聲源級除峰值點外還有一個谷點，在谷點處聲源級較剛性連接有明顯降低，本文稱這個谷點為聲場的抵消點。圖4（c）是激勵力作用在密度大的球上，此時聲源級抵消點頻率高于峰值點頻率，并且在計算的100 Hz以內的頻段，抵消點之后頻率點的聲源級相比剛性連接均有所降低。與此相反，圖4（d）中激勵力作用在密度小的球上，此時聲源級峰值點頻率高于抵消點頻率，并且峰值頻點之后的聲源級相比剛性連接均有所升高。顯然圖4（c）中彈性連接的聲源級曲線更符合降噪的要求，能在較寬的頻率范圍內降低聲輻射，此時兩剛性球密度要有差異并且激勵力作用在密度大的球上。

表1 圖4中剛性球體積和密度參數Tab.1 Volume and density parameters of the rigid spheres in Fig.4

圖5（a）～（b）分別表示圖4（c）中兩種連接方式在峰值頻點處yz平面內各場點聲壓級，圖6（a）～（b）分別表示圖4（c）中兩種連接方式在抵消頻點處yz平面內各場點聲壓級。可以看出，在峰值頻點彈性連接的各場點輻射聲壓相比剛性連接明顯增加，在抵消頻點彈性連接的兩剛性球附近場點的聲壓有所增加，10 m之外的各場點聲壓明顯降低。彈性連接的引入不僅改變了輻射聲壓的大小，而且改變了輻射聲壓的指向性。

為進一步分析聲源級峰值點和抵消點產生的原因，比較了剛性連接和彈性連接時剛性球的振速。圖7給出了表1中取圖4（c）參數時彈性連接與剛性連接振速幅度比值隨頻率的變化曲線。表2給出了圖7中兩剛性球在聲源級峰值點和抵消點處兩剛性球彈性連接和剛性連接時振速比值。由圖7 和表2 可知，聲源級的峰值頻率點即為兩剛性球振速共振頻率點，振速幅度顯著增大。抵消頻率點處兩剛性球相比剛性連接的振速幅度比值均大于1，所以聲源級的抵消點并不是由于剛性球振速減小造成的。

表2 圖7中共振和抵消頻率處振速比值Tab.2 Vibration velocity amplitude ratio at peak and canceled frequencies in Fig.7

圖8給出了兩個剛性球振速相位隨頻率變化的曲線。由圖8可以看出，在峰值頻點和抵消頻點兩個剛性球振速相位正好相差180°，振速相位相反使得兩球振動輻射聲壓相位相反，疊加時相互抵消。從偶極子輻射角度理解，剛性球沿軸向振動時的輻射特性與偶極子基本一致，其輻射聲壓可用式（29）的偶極子形式表示[11]。

式中，Q1表示偶極子源的源強。忽略剛性球的聲散射，軸向排列的雙剛性球振動的輻射聲場可近似等效為兩個軸向排列偶極子的輻射聲場。兩球振速相位相反，等效為兩偶極子源強相位相反，使得兩偶極子輻射聲壓相位相反，疊加時相互抵消。在峰值頻點兩球振速顯著增大，球A 振速小于球B 振速，兩偶極子源強幅度相差較大，即使相位相反相互抵消，輻射聲壓依舊明顯增加使得聲源級存在峰值點。抵消點兩偶極子源強幅度相近，疊加抵消后輻射聲壓顯著降低使得聲源級存在谷點。

以圖4（c）中參數ρA= 2000 kg/m3，ρB= 500 kg/m3為例，計算了各個場點在抵消頻率點的聲壓。圖9（a）～（b）分別給出了在抵消頻率點13.3 Hz處半圓周上場點各部分聲壓的實部和虛部。由圖9可以看出，相比兩個剛性球振動產生的輻射聲壓，剛性球的散射聲壓較小。圖9（a）中兩個剛性球輻射聲壓的實部在大部分場點符號相反，幅度略有差異，圖9（b）中兩剛性球輻射聲壓的虛部符號基本相反，幅度相近，兩球輻射聲壓疊加時相互抵消，從而使得聲源級出現一個谷點。圖7中的振速曲線在共振頻率點之后較寬頻率范圍內剛性球B彈性連接與剛性連接時振速幅度比均小于1，球B振速相比剛性連接減小，說明彈性連接起到了一定的減振作用。

2.3 近似分析探索

由于分析頻率較低，考慮集中質量系統的近似，流體對剛性球的作用力以附加質量的形式體現。此時球A 的等效質量為Ma'=Ma+ρ0Vaβ，球B 的等效質量為Mb'=Mb+ρ0Vbβ。Ma、Mb為剛性球質量，Va、Vb為剛性球體積，β為流體附加質量系數。單個球軸向振動時，流體對剛性球的作用力可表示為式（30）的形式[11]，其中r0為剛性球半徑，v0為剛性球軸向振速。

低頻時kr0＜＜1，h1(z)/(z)≈-z/2，作用力Fw可近似為式（31）的形式。其中Madd=ρ02πr03/3，流體附加質量系數β近似為0.5。根據文獻[12]可知，在無界無黏流體情況下，半徑為r0的球沿z軸方向運動時，球運動引起的附加質量等于排開流體質量的二分之一，這與本文的近似結果是一致的。

兩剛性球作為集中質量系統的振動方程可表示為

球A、球B的振速表達式為

簡諧振動剛性球的輻射聲場就是偶極子聲場[11]，兩球軸向振動的輻射聲場用偶極子近似表示為式（34）的形式，雙偶極子輻射幾何示意圖如圖10所示。

式中，2d為兩偶極子之間的距離，即兩球球心之間的距離。由式（34）可以看出，當Qa與Qb符號相反時，兩偶極子輻射聲壓相互抵消。

兩偶極子源強比值的表達式為

低頻時kra＜＜1，krb＜＜1，源強比值可近似為

對于輻射聲壓的抵消點，近似有Qa= -Qb，由式（36）解得輻射聲場抵消點的角頻率為

表3 給出了解析法和流體附加質量法計算得到的聲場抵消點頻率對比。可以看出，附加質量法得到的聲場抵消點頻率高于解析法得到的頻率，由于附加質量法近似未考慮兩球之間的相互作用，所以與解析法仍存在一定差異。

表3 聲場抵消點頻率計算Tab.3 Calculation of the canceled point frequency of sound field

由流體作用力表達式（25）可以看出I1、J1、I2、J2具有阻抗的量綱。I1、I2為兩球的自輻射阻抗，J1、J2為兩球的互輻射阻抗，將阻抗的實部與虛部分開表示為

將式（38）代入兩球動力學方程中，可以得到

圖11 給出了阻抗中的抗部分隨頻率的變化曲線。由圖11 可以看出兩球自輻射阻抗和互輻射阻抗中的抗部分符號相反。-jX11與jωMa符號相同，說明球A 的自輻射阻抗中的抗部分相當于質量抗，增加了球A的質量。-jX12與K/jω符號相同，說明球B對球A的互輻射阻抗中的抗部分為彈性抗，相當于對球A 有一個彈力作用。同理，球B 的自輻射阻抗中的抗是一個質量抗，互輻射阻抗中的抗是一個彈性抗。將流體等效近似為附加質量的集中參數系統，只考慮了球自輻射阻抗中的質量抗，并沒有考慮球之間的互輻射阻抗，即沒有考慮球之間的相互作用，因此與解析計算仍存在一定差異。集中質量系統近似無法解釋球B的振動也存在極小值點。互輻射阻R21很小，-jX21與-K/jω符號相反，由式（39）的第二個式子可看出，當二者相加近似為0 時，球B 的位移與振速出現極小值點。空氣中兩球互輻射阻抗較小，幾乎可以忽略，球B的位移與振速是不存在谷點的。

為分析互輻射阻抗對兩球振速的影響，計算了兩球間距離取不同值的情況。兩球之間的距離為dab，選取頻率為100 Hz 的聲波波長λ=15 m 作為度量距離的標準。圖12給出了兩球距離不同時X11和X12隨頻率的變化。可以看出自輻射抗X11基本不隨距離變化，而互輻射抗X12隨兩球之間距離的增大而減小，兩球之間的相互作用減小。圖13 給出了兩球距離不同時振速幅度隨頻率的變化。球A 振速幅度基本不隨距離變化，球B振速幅度的谷點隨兩球之間距離的增大逐漸向高頻移動。當dab=λ時，100 Hz 以內已經看不到球B振速幅度的谷點了，而且距離越大，谷點也逐漸不明顯了。

圖14 給出了彈性連接兩球間距離不同時聲源級隨頻率的變化曲線，可以看出隨著兩球之間距離的增大，聲源級的谷點逐漸升高，變得越來越不明顯。從偶極子輻射角度容易理解，式（34）中兩個偶極子總的源強可表示為

由式（40）可看出頻率較低，兩球距離較小時，sin(kdcosθ)相比cos(kdcosθ)很小，源強中起主導作用的是(Qa+Qb)cos(kdcosθ)。當兩球反向振動，Qa與Qb符號相反，相互抵消后聲源級能明顯降低。隨著距離的增大，sin(kdcosθ)和cos(kdcosθ)的差距變小，而Qa與Qb符號相反時，(Qb-Qa)sin(kdcosθ)是正向增大的，故聲源級的谷點隨兩球間距離的增大會逐漸升高。

單個球軸向振動時的輻射聲壓可表示為

利用前述流體作用力的低頻近似表達，可以得到輻射聲壓的近似表達式為

低頻時kr0＜＜1，1/(kr0)≈(kr0)3/( -2j )，故式（42）可表示為

由單個球輻射聲壓的近似表達式（43）可以看出，單個球的輻射聲壓與球的密度ρ有近似反比的關系。激勵力相同時，球密度越大，輻射效率越低，輻射聲壓越小。兩球彈性連接時，力作用在密度大、輻射效率低的球上可以使輻射聲功率較剛性連接有所降低。與此相反，力作用在密度小、輻射效率高的球上使得輻射聲功率增加。

3 結 論

本文針對水下軸向排列雙剛性球受軸向力激勵振動的聲輻射問題，利用球函數的平移加法理論，推導了輻射聲場的解析解；計算了流體對剛性球的反作用力；建立了水下剛性球受軸向激勵力振動的動力學方程，計算頻率范圍在100 Hz以內，比較了兩個球彈性連接和剛性連接兩種方式下的聲輻射特性。本文的理論推導可以拓展到任意數量剛性球沿軸向振動產生的輻射聲場。解析解能將各球輻射聲壓與散射聲壓分離，更容易分析輻射聲場的特性，主要結論如下：

（1）彈性連接的引入使得剛性球振速存在相位相反的頻段，剛性球的密度相同時，在兩球振速相位相反頻段兩偶極子源強幅度相差較大，聲源級只有峰值點（結構共振頻率附近）；剛性球密度不同時，在兩球振速相位相反的頻段存在兩偶極子源強幅度相近的頻點，聲壓相互抵消后使得聲源級出現明顯抵消點。與剛性連接相比，聲源級抵消點可以達到多于10 dB的降噪量。

（2）總質量相同時，激勵力作用在密度較大、輻射效率較低的剛性球時，聲源級在抵消點之后的較寬頻率范圍內相比剛性連接均有所降低。激勵力作用在密度較小、輻射效率較高的剛性球時，聲源級在抵消點之后的較寬頻率范圍內相比剛性連接會增加。當平均密度與水相當時，在艙段的質量分布設計時可考慮將質量盡量集中在直接受激勵力作用的艙段。

（3）非受力剛性球振速在共振點后較寬頻率范圍較剛性連接均減小，彈性連接起到了一定的減振作用。非受力球振速的減小也使得抵消點之后較寬頻率范圍內聲源級均有所下降。

（4）采用流體附加質量和集中質量系統近似，得到了聲壓抵消頻率的近似表達。附加質量的方法沒有考慮兩球之間的相互作用，因此得到的結果與解析方法存在一定的差異。

（5）兩球之間的互輻射阻抗會隨兩球之間距離的增大而逐漸減小，球B 振速的谷點向高頻移動，谷點逐漸變得不明顯。聲源級的谷點也會隨兩球距離的增大而升高，降噪量逐漸減小。