基于修正雙梁理論的郵輪應力分布特性研究

楊 斌，裴志勇，吳衛國

（武漢理工大學a.交通學院；b.船舶郵輪中心，武漢 430063）

0 引 言

大型郵輪豐滿上層建筑帶來巨大經濟效益的同時，也對船體結構與強度設計提出了更高的要求。在郵輪設計初期一般使用簡單梁理論估算結構的應力水平，當大型郵輪發生中拱或中垂彎曲時，由于郵輪主船體和上層建筑結構的復雜性，力并不能完全有效地向上傳遞，因此剖面內的縱向應力不再沿高度方向保持線性分布[1]。其次相較于一般船舶，郵輪上層建筑擁有較多的側壁開口和甲板開口，導致其剪切剛度降低，上層建筑舷側以及縱艙壁等構件在傳遞縱向應力的同時還需承受較大的剪切應力。無論是力的垂向傳遞還是剪切應力的增加，都會使得郵輪船體結構的受力變形更加復雜。

1950 年，Crawford[2]提出“雙梁理論”，將主船體和上層建筑分別視為兩根獨立的梁，基于簡單梁理論，對上層建筑的彎曲變形進行了研究探討。隨后許多學者對此理論做出了研究和拓展。裴志勇等[3]應用雙梁理論來模擬散貨船隔艙重載下局部彎曲引起的應力分布，研究雙層底結構的局部彎曲應力對船體梁極限強度的影響。陳倩等[4]應用有限元方法對鋁合金上層建筑參與船體總縱彎曲的特性進行計算分析，得到了鋁合金上層建筑與主船體之間的應力分布及總縱彎曲應力在船舯剖面上的分布，并與鋼質上層建筑的計算結果進行了比較。

Bleich[5]對上層建筑縱向應力進行了直接計算，對上層建筑與主船體彎曲曲率不一致的現象做了詳細討論。Naar 等[6]將Bleich 提出的梁理論拓展到了多層上層建筑，提出耦合梁理論，該理論假定郵輪由多個梁組成，每個梁之間由縱向和垂向分布的彈簧進行耦合，來估算郵輪上層建筑的縱向應力。Morshedsolouk等[7]提出了耦合梁理論的拓展公式，用于研究擁有多層上層建筑客船的縱向應力沿高度分布特性。

Pei等[8]在雙梁理論的基礎上，分析了郵輪主船體和上層建筑之間的相互作用，對上層建筑的彎曲效率進行了研究和討論，為郵輪上層建筑的結構設計提供了技術支持。朱波[1]從上層建筑結構形式的角度，通過理論分析與數值仿真相結合的方式，系統地探討上層建筑長度和寬度等因素對郵輪上層建筑有效度的影響。Zou[9]以內河郵輪為研究對象，探討并分析了上層建筑的彎曲效率對船體梁強度的貢獻程度。Romanoff 等[10]研究了在彎曲荷載作用下，客船主船體與上層建筑之間的相互作用，并考慮到各甲板之間的剛度變化。

傳統雙梁理論是在梁理論基礎上進行推導，并基于一定假設條件下進行應用。在對郵輪縱向應力沿高度分布特性研究時，需要對雙梁理論進行一定修正，以滿足郵輪多層上層建筑、上層建筑和主船體剛度存在差異等結構要求。耦合梁理論沒有考慮橫艙壁、橫向強框架和上層建筑端部剛度等因素的影響，橫向強框架處的剪切應力分布也不同于整船有限元計算結果。

本文首先探討郵輪主船體和上層建筑之間的相互作用，其次假定郵輪主甲板上的豎向力迫使上層建筑產生與主船體產生相同曲率的撓度變形，使剖面發生歪斜的水平剪力產生不同曲率的剪切變形，并詳述了修正后的雙梁理論是如何考慮總縱彎曲下的撓度變形及剪切變形；考慮主船體和上層建筑之間的力傳遞會受到剪切滯后的影響，需要使用剪切滯后系數r對上層建筑所受彎矩M1進行修正；最后以一艘典型內河郵輪為研究對象，分別使用簡單梁理論、雙梁理論及本文提出的雙梁理論修正方法計算了郵輪主船體和上層建筑的縱向應力，并與有限元法計算結果進行了對比分析。本文提出的雙梁理論修正方法考慮了郵輪主船體和上層建筑之間的相互作用，適用于在郵輪設計初期，對客船、郵輪等擁有多層上層建筑的大型船舶的縱向應力估算。

1 郵輪上層建筑的變形特性

主船體最上層連續甲板以上的艙室結構物統稱為上層建筑[11]。當上層建筑擱置在主船體上，若主船體發生總縱彎曲，上層建筑仍保持原狀，于是兩部分原來在同一豎直平面內的剖面將發生縱向移動和分離，如圖1（a）所示。而實際情況是主船體和上層建筑之間是相互作用的，當主船體發生總縱彎曲時，在主船體與上層建筑連接線處會產生相互作用的水平剪力阻止剖面的縱向移動，以及相互作用的豎向力阻止剖面的豎向分離，如圖1（b）所示。

如圖2 所示，Q1、Q2為連接線上產生的相互作用的水平剪力[13]，單位是N。由于水平剪力的作用，會使主船體和上層建筑同一豎向剖面發生歪斜，并且越接近船舶首尾自由端，剖面的豎向分離越嚴重，因此產生的豎向力也越大，這種相互作用稱為端點效應。

由首尾自由端產生的端點效應，主要表現在上層建筑長度中點剖面上的彎曲應力受上層建筑長度變化的影響，如圖3 所示。對于短上層建筑，長度中點剖面離首尾兩端較近，理論彎曲應力將大于受端點效應影響的實際彎曲應力值；對于長上層建筑，因為其長度中點剖面離首尾兩端較遠，受端點效應的影響較小，實際彎曲應力近似等于理論彎曲應力。

由于郵輪上層建筑幾乎與主船體等長，屬于長上層建筑，根據圖3所示，在郵輪上層建筑中點剖面處的總縱應力應近似等于理論彎曲應力。由于自由端的端點效應導致的應力變化可忽略不計，因此本文選擇郵輪上層建筑中點剖面作為研究對象，分析郵輪縱向應力沿高度分布特性。

郵輪上層建筑的變形特性需考慮到剪切滯后的影響。剪切滯后效應在結構工程中是一個普遍存在的力學現象，從力學本質上說，是圣維南原理，具體表現是在某一局部范圍內，剪力所能起的作用有限，所以正應力分布不均勻，把這種正應力分布不均勻的現象叫做剪切滯后[15]。

由于主船體和上層建筑之間的剛度存在差異以及剪切滯后的影響，主船體和上層建筑在主甲板處計算得到的縱向應力并不一致，為了考慮剪切滯后的影響，引入剪切滯后系數r[12]，主船體與上層建筑相接處的縱向應力比，與上層建筑的長度l和寬度b有關。表達式如式（1）所示。

2 雙梁理論及修正思想

2.1 雙梁理論

由于船舶主船體與上層建筑之間的剛度差異，在船舶結構與強度設計中需考慮主船體與上層建筑的相互作用。雙梁理論的核心思想是將主船體與上層建筑看作兩根獨立的梁，它們之間受到豎向力和水平剪力的相互作用，假設主船體受到外力作用的情況下，通過梁理論、能量法以及變分法等計算得到上層建筑與主船體的應力分布。

取船舶模型如圖4 所示，設上層建筑為梁1，長度為l，主船體為梁2，長度為L；上層建筑中和軸距主甲板距離為aa1，主船體中和軸距主甲板距離為aa2，上層建筑中和軸和主船體中和軸距離為a；y1和y2為上層建筑和主船體由于外力作用產生的撓度變形。

雙梁模型受力分析如圖5 所示，上層建筑和主船體相互連接，連接線處的水平剪力和豎向力可相互傳遞。上層建筑力平衡方程為

主船體力平衡方程為

式中：N1、N2分別為上層建筑和主船體所受軸向力；M1、M2分別為上層建筑和主船體所受彎矩；A1、A2分別為上層建筑和主船體斷面的橫截面積；I1、I2分別為上層建筑和主船體對其本身中和軸的剖面慣性矩。

如圖5 所示，由于外載荷的作用，上層建筑和主船體會產生軸向拉（壓）和彎曲變形。

上層建筑正應力表達式為

主船體正應力表達式為

式中，y1、y2分別為所求截面上的應力點到上層建筑和主船體中性軸的距離。

利用“勢能理論”，可以獲得關于撓度變形y1和y2的微分方程，外力總勢能UW=UP+US+UM，其中UP、US、UM是由外載荷P、剪力S和彎矩M產生的勢能。

總應變能V=V1a+V1b+V1c+V2a+V2b+V2c+Vd，其中V1a、V2a是上層建筑和主船體軸向拉伸（壓縮）產生的應變能；V1b、V2b是上層建筑和主船體由于彎曲產生的應變能；V1c、V2c是上層建筑和主船體由于垂直剪切力產生的應變能；除了縱向應力的應變能外，艙壁或甲板梁也會儲存能量，以抵抗上層建筑和船體的相對垂直位移，這部分應變能可以表示為彈簧常數K的形式，符號是Vd。

至此，在得到總勢能U=V+UW后，利用變分法原理求解δU=0，得到兩個微分方程，通過變分法確定微分方程通解中出現的任意常數所需要的邊界條件。聯立微分方程組進行求解，得到上層建筑和主船體的撓度變形y1和y2，進而得到上層建筑和主船體沿高度方向的縱向正應力。

2.2 修正雙梁理論

傳統雙梁理論是在梁理論基礎上進行推導，并基于一定假設條件下應用。但由于方程數量過多和計算難度大等特點，很難在短時間內獲得一個準確可靠的計算結果。

本文認為雙梁連接線上的豎向力迫使上層建筑產生與主船體產生相同曲率的彎曲變形，水平剪力使剖面發生歪斜，上層建筑與主船體產生不同曲率的剪切變形；基于梁理論，對彎曲及剪切變形產生的應力進行了理論推導；考慮雙梁連接線處剪切滯后的原因，使用剪切滯后系數r對上層建筑所受彎矩M1進行修正。

設上層建筑為梁1，主船體為梁2，雙梁模型中和軸位置如圖6 所示。圖中h1、h2為上層建筑和主船體的高度，單位是cm；e1、e2分別為上層建筑和主船體中和軸到主甲板的距離，單位是cm；e0為雙梁模型的中和軸高度，單位是cm。

中拱彎曲下雙梁模型連接線處受力示意如圖7所示。P1、P2為連接線上產生的相互作用的水平剪力，γ1、γ2表示由于剪切力Q1、Q2引起的剪切應變。P1、P2和Q1、Q2的關系如式（6）所示：

當梁的高度遠小于跨度時，梁理論一般會忽略橫向剪切變形的影響，但由于大型郵輪多層上層建筑的結構特點，致使橫向剪切變形的影響變得不可忽略。梁由于剪切變形導致的剖面歪斜如圖8（b）所示，此時橫向剪切力Q所產生的剪切變形會將引起梁的附加撓度，并導致原來垂直于中面的剖面發生歪斜。γ表示由于剪切力Q引起的剪切應變，梁理論一般會忽略橫向剪切變形的影響，γ為0，即截面的轉動等于撓度曲線切線的斜率，從而保證符合平斷面假定，如圖8（a）所示，表示為

式中，dw/dx表示撓度曲線切線的斜率，θ表示由于彎曲變形引起的截面轉動。

定義梁的變形曲率為ξ，考慮剪切變形的影響后，如圖8（b）所示，ξ可表示為

假設雙梁模型在外力作用下變形為純彎曲，模型長度中點剖面受力示意圖如圖9所示。

圖中M為模型所受外力，單位是N·cm；M1、M2分別為上層建筑和主船體彎矩，單位是N·cm；N1、N2分別為彎矩M引起的上層建筑和主船體的軸向力（中和軸處），大小相等，方向相反，單位是N；l為上層建筑長度，單位是cm；L為主船體長度，單位是cm。

梁1（上層建筑）縱向應力表達式為

梁2（主船體）縱向應力表達式為

式中：σ1、σ2分別為上層建筑和主船體的縱向應力，單位是N/cm2；I1、I2分別為上層建筑和主船體對其本身中和軸的剖面慣性矩，單位是cm4；y1、y2分別為上層建筑和主船體剖面位置至本身中和軸的距離，單位是cm；F1、F2分別為上層建筑和主船體的橫剖面面積，單位是cm2。

假定雙梁連接線上的豎向力迫使上層建筑產生與主船體產生相同曲率的撓度變形，這一部分的撓度曲線切線斜率用符號ν″1、ν″2表示。由于水平剪力的作用，使剖面發生歪斜，這一部分的剪切變形用符號γ1、γ2表示，因此梁1和梁2的總變形如式（11）所示：

式中：φ1、φ2分別為上層建筑和主船體彎曲后的總變形；γ1、γ2分別為主船體和上層建筑由剪切變形引起的剪切應變，γ1=-Q/A1G，γ2=Q/A2G。

截面的內力表達式為

雙梁模型中和軸處的軸向力表達式為

式中，h2為主船體高度，單位是cm；εe1、εe2分別為水平剪切力Q引起的上層建筑和主船體在中和軸處的軸向應變，關系如圖9所示。

雙梁模型彎矩平衡方程式為

式中，e=e1+e2。

假設主船體與上層建筑之間相互作用的豎向力P和連線處的垂向變形成正比，比例設為垂向剛性系數K，如式（21）所示：

郵輪上層建筑幾乎與主船體等長，其長度中點距端部較遠，產生的豎向力較小，可忽略不計。因此可假設在長度中點處上層建筑和主船體的撓度變形一致，由此可得在長度中點處==ν″。

假設E=E1=E2，在主船體與上層建筑連線處縱向應力應存在以下關系：

式中，ε01、ε02為主船體和上層建筑連接線處的軸向應變。

聯立上式可得

可求得水平剪切力Q為

至此，水平剪切力Q、剪切應變γ、撓度變形引起的曲率ν″都已得到，進而可以求得主船體和上層建筑所受彎矩M1、M2，由于連接線處剪切滯后的原因，需要對上層建筑所受彎矩M1進行修正。

主船體沿高度方向的縱向應力分布表達式為

根據式（24）可得主船體與上層建筑相接處主甲板的縱向應力σ02為

式中，y02為主甲板距主船體中和軸的距離，即y02=e2，ε02為主甲板處軸向應變，如圖9所示，主甲板處軸向應變為0。由主船體與上層建筑相接處主甲板的縱向應力σ02反推上層建筑所受彎矩M1為

式中，y01=e1，表示主甲板距上層建筑中和軸的距離，單位是cm。上層建筑沿高度方向的縱向應力分布表達式為

式中，y1'表示所求剖面位置距主甲板距離，單位是cm。

3 郵輪縱向應力計算

本文以一艘典型內河郵輪為研究對象，計算分析該郵輪在中縱彎曲載荷下，船舯剖面沿高度方向分布的剖面縱向應力。該郵輪為雙層底、單殼結構形式，每層甲板之間主要以支柱結構和橫艙壁進行支撐連接。在船舶平行中體首尾處設有上下連續的橫艙壁。全船采用鋼質結構，船體主要尺度參數如表1所示，船體內各層甲板高度如表2所示，上層建筑及主船體參數如表3所示。

表1 郵輪主要尺度參數Tab.1 Main scale parameters of cruise ship

表2 郵輪甲板高度Tab.2 Cruise ship deck height

表3 上層建筑及主船體參數Tab.3 Superstructure and main hull parameters

本文基于一艘典型內河郵輪建立整船理想有限元模型[1]，通過剛性節點對模型兩端進行約束，在船尾端節點處施加位移和扭轉約束，在船首端施加通過英國勞氏規范《Rules and Regulations for the Classification of Naval Ships》（2008）[14]計算得到的彎矩載荷，大小為1.7×108N·m，對整船在中縱彎曲載荷下的結構響應進行計算分析。整船有限元模型如圖11 所示，全船板單元網格大小平均在250×250 mm，板單元及梁單元共計約75萬個。

為了減小端點效應的影響，選取船舯剖面作為研究對象，以彎曲應力為橫坐標，郵輪高度為縱坐標，繪制縱向應力沿高度分布曲線，如圖12所示。

梁理論、修正雙梁理論與FEM計算結果如表4所示。

表4 梁理論、修正雙梁理論與FEM計算結果Tab.4 Calculation results by beam theory,modified two-beam theory and FEM

表中，σS表示梁理論計算縱向應力，σD表示雙梁理論計算縱向應力，σ'D表示修正雙梁理論計算縱向應力，σF表示有限元計算結果。分析如下：

（1）如圖13 所示，在主船體底部，梁理論、雙梁理論及修正雙梁理論計算得到的縱向應力基本一致，但與有限元計算結果相差較大，這是由于在有限元計算中考慮了水壓力的作用，而理論計算中并未考慮水壓力，其次在實際計算中郵輪上層建筑并不能完全參與總縱彎曲，相較于梁理論中上層建筑100%參與總縱彎曲，主船體分擔的載荷較大，因此有限元計算得到的主船體底部縱向應力會大于理論計算結果。

（2）甲板高度在內底板與一層甲板之間，雙梁理論計算縱向應力與有限元計算結果基本吻合；由于上層建筑和主船體的剛度不同，在主甲板處，應力值發生突變；甲板高度高于一層甲板后，雙梁理論計算結果隨高度方向呈線性變化，與有限元計算結果差值不斷變大。

（3）隨著甲板層數的增大，修正雙梁理論與有限元結果差值逐步減小，到第三層甲板時應力重合；而梁理論計算應力隨高度方向呈線性變化，無法模擬上層建筑的真實應力變化。修正雙梁理論計算結果相較于梁理論，更接近真實的縱向應力分布。

4 結 論

本文基于雙梁理論提出了計算郵輪縱向應力沿高度分布的修正方法，在保證計算結果精確性的前提下，簡化了雙梁理論的計算過程，對郵輪縱向應力沿高度分布特性研究具有重要意義。

本文主要研究結論如下：

（1）當梁的高度遠小于跨度時，梁理論一般會忽略橫向剪切變形的影響，但由于大型郵輪擁有多層上層建筑，致使橫向剪切變形的影響變得不可忽略。本文基于梁理論，對彎曲及剪切變形產生的應力進行了理論推導。

（2）運用雙梁理論分析郵輪主船體和上層建筑之間的相互作用，引入剪切滯后系數r對上層建筑所受彎矩進行修正。

（3）以一艘典型內河郵輪為研究對象，采用簡單梁理論、傳統雙梁理論及修正后的雙梁理論計算方法對郵輪船舯剖面進行強度評估，數值計算結果表明，修正后的雙梁理論計算結果與有限元計算結果更為吻合。