質量比對深海立管二維耦合振動特性影響研究

張文林，桑 松，曹愛霞，劉滕飛

（1.中國海洋大學工程學院，山東 青島 266100；2.青島黃海學院智能制造學院，山東 青島 266427）

0 引 言

在國民經濟總量不斷穩步增長的今天，隨著經濟、社會、科技的高速發展，世界各國和地區對石油和天然氣等重要資源的消耗和需求日益增大，開采范圍也逐漸向深海領域發展，各種海洋石油開發裝備也應運而生。立管作為海洋平臺和海底井口之間的必要通道，承受著浪流、地震等環境載荷和上部浮體運動帶來的沖擊載荷等，尤其當流致渦激導致流體渦泄頻率與立管自振頻率接近時，結構會出現大幅運動的情況，直接威脅著立管的安全運營和使用壽命。目前對于深海立管的研究主要采用實驗分析法和數值模擬方法，其中數值模擬方法又包括CFD 方法、經驗法和尾流振子模型法。Bishop 等（1964）[1]分析總結實驗數據，研究發現作用于立管上的力可以采用一個非線性振子來近似模擬。基于Bishop 的分析思想，Hartlen 等（1970）[2]首先將范德波爾方程充當圓柱橫流向升力系數的控制方程，通過選擇合適的參數，該模型可以模擬當渦泄頻率接近立管固有頻率時出現振幅大幅增加的現象，同時在運動方向與結構的運動響應進行耦合；Facchinetti 等（2004）[3]對細長結構物后方尾流場進行了研究，深入地探討了尾流振子模型的動力耦合特性，分析了三類耦合項（立管加速度、立管位移、立管速度）對系統動力響應的影響，研究結果表明對加速度耦合能夠成功地定量預報立管渦激振動響應以及其他相關特性。

本文利用經典的結構動力學理論分別建立結構雙自由度振動的動力學方程和尾流振子的范德波爾方程，方程中考慮雙自由度振動的耦合情況，構建立管二維振動的控制方程，并以此來預報立管平面雙向渦激振動相關特性。

1 立管雙向耦合振動方程

1.1 振動方程的建立

利用經典的結構動力學理論分別建立了結構雙自由度振動的動力學方程和尾流振子的范德波爾方程，考慮雙自由度振動的耦合情況，構建立管二維振動的控制方程[4]如下：

式中：ms為結構的質量；ma為流體的附加質量，表示無粘流體的慣性作用力；cs為結構粘滯阻尼；cf為流體附加阻尼，表示流體的粘性作用力；X、Y為圓柱質心位置向量；FVX，FVY為旋渦對結構的交變作用力分力；H為流體實驗參數；q為渦場強度；ε為考慮雙向運動耦合因子；ωst為渦泄頻率。

通過將式（1）的尾流振子方程和結構振動方程無量綱化，即使得x=X/D，y=Y/D，D為圓柱直徑，同時令τ=tωst，得到考慮來流方向耦合作用的剛性立管振動方程如下：

1.2 攝動法解析振子響應

考慮到渦激達到穩定后系統方程的解可以近似為簡諧振動，故可將橫流向和順流向的振子運動形式表達為

同時可將振幅和相位寫成

式中，Φ為隨時間變化的相位，ax、ay、aq分別表示順流向瞬時振子振幅、橫流向瞬時振子振幅以及流體振子振幅，ω為振動的圓頻率，?x、?y、?q表示相對應的瞬時相位角。攝動法是求數學物理問題近似解的一種方法，它把非線性系統視為模型的參數或結構作了微小擾動的結果來求解其振動過程。運用攝動法對振動方程進行解析可得a?x，a?y，a?q，??x，??y，??q的表達式為[5]

由于變化率(a?x,a?y,a?q,??x,??y,??q)屬于攝動值，且和ε具有相同的數量級，對穩定后系統進行一個周期的積分，同時假定(ax,ay,aq,?x,?y,?q)在一個周期T內值的大小不變，從而有

根據式（6）中的第一式，由各系數正負值可得sinψ＜0，所以相位角-π ＜ψ＜0，同理，由第三式可得0 ＜?＜π。整理可得

上式中當ω值較大或者較小時可以用以下近似表達式代替

從圖1 可以看出起始階段在約化速度較小時無量綱頻率為1，無量綱頻率本質上為立管振動頻率與旋渦脫落頻率之比，即兩者在流場流速較低時相等。當約化速度Ur=3.6 左右時發生鎖振現象，結構振動頻率和立管的固有頻率接近，隨著約化速度的繼續增加無量綱頻率急劇下降到0.73。隨后ω繼續增加，當Ur＞7.9，ω穩定在0.95附近。

當不同約化速度下的無量綱約化頻率確定之后，可以進一步求解結構的雙向無量綱振幅ax和ay以及相位角ψ和φ，公式為

通過數值解析式（10）得到如圖2 所示的橫流向無量綱振幅和順流向無量綱振幅，其中橫向無量綱振幅曲線隨約化速度先增大后減小，出現一次峰值，在Ur∈( 4,8 )范圍內振幅增加較快，峰值達到0.584。順流向振幅曲線出現兩次峰值，第一次峰值為0.044，第二次峰值為0.145，Ur∈( 4.5,7.5 )時幅值增加較快。

同樣，由公式（10）可得到如圖3 和圖4 所示的順流向和橫流向的無量綱相位角Ψx和Ψy及其夾角θ，三者關系為

由圖3 可見，橫流向無量綱相位角隨約化速度的增加逐漸由0°增加到接近180°，在Ur= 4處發生第一次突變，在Ur= 7.5 處左右出現第二次突變，在Ur∈( 4,7.5 )之間增速遠大于兩邊，Ur＞7.5時曲線接近平穩。可以較為明顯地看出順流向無量綱相位角隨流速的增大由-180°變化到0°，在Ur= 2.2處發生突變，相位角由-160°躍升到-20°，當Ur＞4時穩定在0°左右。兩個方向上的相位角相差很大，并且發生突變位置也不相同。

由圖4 可見，在Ur∈( 2,4 )范圍內相位角產生明顯的變化，最小值在35°左右。

2 質量比對渦激振動的影響

2.1 模型驗證

在實際海況中，由于立管的質量比相對不高（一般不超過14），因此僅需關注低質量比的情況。前面推導并建立了雙自由度耦合振動模型，同時推導了耦合模型的近似解，本節將模型方程離散化，應用NewMark-β法求解立管在時域下的振動響應。考慮結構振動的遲滯效應，按流速增加和流速減小兩種情況對振動幅值進行討論，流速間隔為0.05，待系統穩定后提取振幅。以Stappenbel等[6]的實驗數據為參照，驗證本模型的正確性。Stappenbel進行了多組質量比不同和阻尼比相同的實驗，數據如表1所示。本文以質量比為8.79和2.36為例對模型進行數值求解，得到無量綱振幅，并將結果和文獻[7]中的試驗數據進行比對（見圖5）[7]。

表1 Stappenbel試驗工況Tab.1 Conditions of Stappenbel test

從圖5 中可以看出，在橫流向上幅值隨流速先增加后減小，在Ur=6.7 左右振幅急劇增加，產生共振現象，流速超過共振區后振幅急劇減小，隨著質量比的減小立管的振動幅值呈變大趨勢，質量比為8.79 和2.36 的立管的振動峰值由0.66 增加到1.47，Ur∈( 3.5,8.5)范圍內產生頻率鎖定現象，即該區域為鎖振區。在順流向上幅值隨流速先增加后減小，隨著質量比的增加振幅逐漸減小，振動峰值由0.06 增加到0.44，鎖振區為Ur= 4～7.5。橫流向和順流向的立管振幅峰值之比會隨質量比的增加而增大，體現了雙自由度的振動存在較強的耦合性。總體上隨著質量比的減小，因流速變化造成的遲滯現象愈發減弱。本質上講，立管振動的遲滯現象是由于耦合振動方程中耦合參數ε的存在，從而在流速增大和減小情況下振幅曲線產生的不重疊現象，且耦合參數ε隨質量比的減小而減小。本模型預測的鎖頻域較試驗窄但與試驗數據曲線呈相同的變化趨勢，吻合度較高，能夠用來定量地分析立管雙向振動的相關特性。

對質量比m*=2.36，阻尼比ξ=0.006，不同流速下剛性立管的平面運動軌跡繪圖，如圖6所示。

從圖中可以看出，隨著流速的增加，橫流向和順流向的振幅均先增大后減小。在Ur=4～6時，軌跡類似數字‘8’，從而表明橫流向的振幅遠大于順流向的振幅，且橫流向的振動頻率是順流向的一半。當流速大于7 時，振幅大幅度減小，流速大于12 之后立管運動軌跡基本保持不變，流速Ur=7～10 范圍內運動軌跡呈月牙形。

2.2 不同質量比的立管雙向振幅

如表2 所示，選用質量比為1.83～11.05，阻尼比同為0.006 的立管參數，實際海況中立管大多為低質量比立管，考慮到流體的遲滯作用對流速增加和減小的影響，運用數值方法求解耦合振動方程得到橫流向和順流向振幅隨約化速度的變化曲線，見圖7和圖8。

表2 不同質量比工況參數Tab.2 Operating parameters with different mass ratios

從圖7 中可以觀察到，隨著質量比的減小，共振區域逐漸增大，即立管在更大的范圍內產生“鎖振”現象，振動頻率等于旋渦脫落頻率。隨著質量比的減小，峰值由0.492增加到1.533，并且峰值增加的速率也逐漸減小。流速Ur＞11時，振幅區域呈開口狀，且低質量比振幅遠大于高質量比的振幅，兩者不在同一個數量級。振動的遲滯現象會隨著質量比的減小而越發不明顯，由圖中可以看出，遲滯現象會使得在相同流體參數和結構參數情況下，流速增加的振幅大于流速減小的振幅，這一現象產生的原因是耦合模型非線性方程中流體耦合參數ε會隨著質量比的變化而發生變化。

從圖8可以看出，在順流向上遲滯現象不明顯，流速增加和流速減小兩種情況下的振幅曲線基本重合。無量綱振幅隨質量比的減小而增大，和橫流向振幅的變化趨勢大致相同，但順流向的振幅和峰值均遠小于橫流向的振幅和峰值，均出現了兩次峰值的現象，且各種質量比情況下出現第一次峰值和第二次峰值的約化速度區間大致不變，Ur=2.6 左右出現第一次峰值，Ur=6.2 左右出現第二次峰值。隨著質量比的減小，第一次峰值與第二次峰值的差距逐漸增大，當質量比m*＜8.71時，第一次峰值大于第二次峰值；當質量比m*＞8.71時，第一次峰值小于第二次峰值。

根據以上橫流向和順流向的振幅曲線可得，適當增加立管的質量比有助于減小各種流速下的立管振動響應幅值，同時應合理設計立管的結構參數和材料參數，避免立管的固有頻率落入共振區域，產生“鎖振（lock-in）”現象，這會引起立管大幅度劇烈振動，產生疲勞損傷，進而遭到破壞。

2.3 立管質心運動軌跡隨質量比的變化

根據2.2 節結論，質量比對順流向無量綱振幅和橫流向振幅均有影響，并且會改變鎖頻域和振幅曲線首尾端形狀。在時域下求解雙自由度立管耦合振動方程，待系統穩定后提取一個周期內各時刻立管質心的位移，即可求得質心的運動軌跡。如圖9所示，設定阻尼比ξ=0.008保持不變，將不同質量比的質心運動軌跡曲線在豎直方向上繪制于一個圖中，可得到不同約化速度下質量比對立管運動軌跡的影響。

從圖9可以看出，在不同流速下，質量比的增加會引起順流向和橫流向無量綱振幅的減小，且大致形狀發生變化。隨著流速的增加，兩個方向上的振幅均先劇烈增加然后減小，當Ur＜5.5時，振幅較小，質量比對振幅的影響不明顯，即該狀態下振幅對質量比不敏感。當5.5 ＜Ur＜6.5 左右，軌跡形狀大致呈‘8’字形，順流向振動頻率是橫流向頻率的2倍。在Ur=7.5時橫流向振幅達到最大值1.47，該流速下質量比對振幅的影響非常顯著，呈階梯型變化，橫流向振幅由1.47減小到0.13。當Ur≥8.5時，各質量比的運動軌跡呈現月牙形，立管兩個自由度上的振動存在相位差，Ur=9.5 時順流向振幅達到最大值且月牙形更加明顯，在質量比的影響下振幅由0.42 減小到0.052，橫流向振幅減小。當Ur＞9.5 時振幅隨著流速的增加而急劇減小，軌跡形狀由月牙形過渡到‘8’字形，質量比的影響減弱。綜合以上圖像分析可得，質量比對兩個方向上的振幅均有較大的影響，同時順流向的振動對整體的影響需要考慮，計算時不可忽略，并且不同流速下影響的強弱不同，振幅急劇增加的區域為鎖頻域，在鎖頻區域質量比的影響最大，根據本算例的分析，鎖頻區域為5.5 ＜Ur＜9.5。

2.4 雙自由度振動的耦合

黃智勇等[8]采用SSTk-ω湍流模型求解RANS 方程，深入研究了低質量比剛性立管在分別限制一個方向振動的情況，研究表明順流向振動與橫流向振動有較強的耦合性，雙自由度的耦合振動等產生更大的橫向無量綱振幅，順流向對振動系統的影響不可忽視，橫向振動頻率為順流向振動頻率的一半，且振幅差距一個數量級，數值模擬結果與Jauvtis等[9]的實驗探究吻合度較高。

本節主要通過求解非線性的模型方程，研究在不同阻尼比的情況下不同質量比的立管橫流向振幅和順流向振幅之比，定義雙向無量綱振幅比為ay/ax,通過進一步分析整理前面的計算結果，繪制雙向無量綱振幅比曲線，如圖10所示。

觀察圖10可知，阻尼比ξ＜0.046時雙向無量綱振幅比變化趨勢大致相同，ξ＞0.15時雙向無量綱振幅比變化趨勢相同。在整個約化速度范圍內，各質量比的曲線均先減小到達谷值然后急劇增加到達峰值，隨后逐漸減小，最終趨于平衡穩定狀態。在不同阻尼比下，曲線均在流速Ur=2.2～2.4附近取得最小值，在流速Ur=7.5～8附近取得最大值，在低流速區域振幅比較小，且出現小于1的值，表明在低流速區域順流向振幅ax比重較大，橫流向振幅占主導地位，如果忽視順流向的作用將產生較大誤差。在Ur＞4.5的區域雙向無量綱振幅比較大，表明在該流速區域橫流向振幅占主導地位。Ur＞8時雙向振幅比接近平穩，表明該階段橫流向振幅和順流向振幅表現出強耦合性，順流向的作用不可忽略。

3 結 論

本文利用經典的結構動力學理論分別建立了結構雙自由度振動的動力學方程和尾流振子的范德波爾方程，方程中考慮了雙自由度振動的耦合情況，構建立管二維振動的控制方程，采用攝動法解析振子響應，得出了雙向振動的振幅和相位表達式。探討了質量比對立管雙向振動的影響規律以及對質心運動軌跡的影響，計算結果表明：

（1）耦合參數ε的存在會影響流速增大和流速減小時的振幅，且耦合參數會隨質量比的減小而減小。

（2）質量比對順流向無量綱振幅和橫流向振幅均有影響，并且會改變鎖頻域和振幅曲線首尾端形狀。適當增加立管的質量比有助于減小各種流速下的立管振動響應幅值。

（3）考慮雙向耦合因子對立管雙向運動和質心運動軌跡會產生一定的影響，橫流向振幅和順流向振幅表現出強耦合性，順流向的作用不可忽略。