微曲率殼板橫向失穩(wěn)臨界載荷計(jì)算方法

付 曉，梅志遠(yuǎn)，陳國(guó)濤，張 二

（海軍工程大學(xué)艦船與海洋學(xué)院，武漢 430033）

0 引 言

艦船的幾何外形特征較為復(fù)雜，微曲率殼板是其中一類(lèi)常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)。艦船在服役期內(nèi)會(huì)承受各類(lèi)載荷作用，橫向載荷極為常見(jiàn)（如靜水壓力、波浪砰擊等）。尤其在遭遇各類(lèi)惡劣天氣時(shí)，船體殼板出現(xiàn)失穩(wěn)甚至破壞將威脅艦船的航行安全。近年來(lái)，復(fù)合材料在船舶結(jié)構(gòu)中得到了廣泛使用，由于復(fù)合材料與金屬材料力學(xué)性能存在明顯差異，復(fù)合材料殼板的橫向承載穩(wěn)定性也逐漸受到關(guān)注[1-2]。雖然艦船因船體殼板失穩(wěn)導(dǎo)致的事故鮮見(jiàn)報(bào)道，但是海軍工程大學(xué)梅志遠(yuǎn)團(tuán)隊(duì)在針對(duì)大尺寸微曲率復(fù)合材料板架模型開(kāi)展力學(xué)性能試驗(yàn)時(shí)卻發(fā)現(xiàn)了殼板失穩(wěn)的現(xiàn)象。由此可見(jiàn)，微曲率殼板的橫向承載穩(wěn)定性機(jī)理還需深入研究。

由于殼板軸向力的存在，在橫向載荷作用下，微曲率殼板普遍會(huì)出現(xiàn)某一時(shí)刻位移突增但仍可繼續(xù)承載的現(xiàn)象，有學(xué)者將其命名為“跳躍”失穩(wěn)[3]。多數(shù)學(xué)者將此現(xiàn)象歸結(jié)為殼板的屈曲與后屈曲問(wèn)題[4-10]，并對(duì)此進(jìn)行了理論分析與求解[11-15]。在20世紀(jì)70年代，中科院力學(xué)所十二室[5-9]就對(duì)加筋曲板的側(cè)壓穩(wěn)定性問(wèn)題開(kāi)展了較為系統(tǒng)的理論研究，形成了比較完整的分析思路。但由于當(dāng)時(shí)技術(shù)條件的限制，相關(guān)研究缺乏仿真與試驗(yàn)的支撐。計(jì)算機(jī)的發(fā)展以及有限元技術(shù)的普及，為深入研究“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理與影響因素提供了條件。Budiansky和Roth[16]對(duì)淺球殼受突加外壓作用的“失穩(wěn)跳躍”行為進(jìn)行了研究，將系統(tǒng)動(dòng)力穩(wěn)定性準(zhǔn)則與淺球殼的動(dòng)力學(xué)控制方程結(jié)合起來(lái),描述了結(jié)構(gòu)的“跳躍”特性。陳偉等[17]基于ABAQUS有限元軟件研究了雙曲率殼板側(cè)壓穩(wěn)定性屈曲與后屈曲載荷曲線，并對(duì)影響因素進(jìn)行了分析。胡文飛等[18]探討了扁球殼“跳躍”現(xiàn)象的影響因素，發(fā)現(xiàn)殼體厚度和矢高之比是主要因素。雖然借助有限元軟件可以直觀地了解“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象的變化過(guò)程與影響因素[19-28]，但是由于此問(wèn)題理論分析過(guò)程較為繁瑣，復(fù)雜的計(jì)算也使解析解的求解難度驟增，導(dǎo)致數(shù)值分析的準(zhǔn)確性難以得到驗(yàn)證。現(xiàn)階段，針對(duì)微曲率結(jié)構(gòu)失穩(wěn)問(wèn)題可供借鑒的資料較為匱乏，相關(guān)文獻(xiàn)一般多討論殼板或加筋板受軸向壓力時(shí)的失穩(wěn)問(wèn)題，對(duì)于橫向載荷作用下殼板穩(wěn)定性問(wèn)題的研究也多停留在“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象仿真分析層面，缺乏理論支撐。因此，建立可適用于工程實(shí)際的微曲率殼板理論分析模型，探討微曲率殼板的“跳躍”失穩(wěn)機(jī)理，有利于掌握其橫向承載規(guī)律，避免結(jié)構(gòu)安全問(wèn)題的發(fā)生。

本文根據(jù)鐵木辛柯曲梁理論，推導(dǎo)了單向微曲率殼板的臨界失穩(wěn)載荷公式，并基于Riks弧長(zhǎng)法對(duì)典型模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，獲取其臨界失穩(wěn)載荷，以期為微曲率殼板的橫向承載穩(wěn)定性預(yù)報(bào)提供參考。

1 微曲率殼板“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象

微曲率板架廣泛存在于艦船結(jié)構(gòu)中，艦艇航行時(shí)，其主要承受靜水壓力、流擊載荷以及波浪砰擊載荷作用，需要具備較高的強(qiáng)度與足夠的穩(wěn)定性。本文在對(duì)船體微曲率板架模型進(jìn)行力學(xué)性能試驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)殼板在承受外壓時(shí)出現(xiàn)了大面積凹曲的現(xiàn)象。然而，出現(xiàn)大面積凹曲后，結(jié)構(gòu)并未破壞，仍能繼續(xù)承載，即認(rèn)為殼板發(fā)生了“跳躍”失穩(wěn)。試驗(yàn)所用玻璃鋼殼板模型如圖1所示，試驗(yàn)所得“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象如圖2所示。

2 微曲率殼板橫向承載穩(wěn)定性理論模型

對(duì)于薄板而言，當(dāng)板的撓度與板厚為同一量級(jí)時(shí)，在推導(dǎo)板的微分方程時(shí)就必須考慮附加在中面內(nèi)的薄膜應(yīng)力，幾何關(guān)系不再滿足線性假設(shè)，板的小撓度彎曲理論以及克希霍夫—勒夫假設(shè)均不再成立[29]。微曲率殼板的理論求解方法過(guò)程復(fù)雜，應(yīng)用于指導(dǎo)工程設(shè)計(jì)存在一定困難。參考曲拱結(jié)構(gòu)中的矢跨比概念[30]，本文定義殼板最高點(diǎn)與最低點(diǎn)豎直方向距離與跨距的比值為矢跨比，矢跨比小于0.05 的殼板可視為微曲率殼板。在幾何特征方面，雖然該結(jié)構(gòu)擁有一定的曲率，但是曲率較小，與平板較為相似；在變形特征方面，由于微曲率殼板存在的軸向力，其承受橫向載荷時(shí)，容易出現(xiàn)“跳躍”失穩(wěn)等問(wèn)題，又與曲板變形相似。由船舶結(jié)構(gòu)力學(xué)可知，求解薄板柱面彎曲問(wèn)題時(shí)，常采用板條梁的方法，將二維板模型退化為一維梁模型進(jìn)行分析。針對(duì)本文研究的單向微曲率殼板結(jié)構(gòu)，選取單位寬度板條梁模型（板厚為t），進(jìn)而分析結(jié)構(gòu)在承受橫向均布載荷下的穩(wěn)定性問(wèn)題。

以鐵木辛柯為代表的部分學(xué)者完成了曲線梁變形的理論推導(dǎo)，認(rèn)為可以使用承受軸向力以及橫向載荷聯(lián)合作用時(shí)的直梁模型求解微曲率曲梁（桿）橫向承載問(wèn)題[31]，其示意圖如圖3所示。

對(duì)于上述簡(jiǎn)支梁模型，根據(jù)文獻(xiàn)[31]求解，首先應(yīng)判斷其是否失穩(wěn)，即比較軸向力T與結(jié)構(gòu)歐拉臨界失穩(wěn)載荷Se的大小關(guān)系。臨界失穩(wěn)載荷TE可表示為式中：E表示材料彈性模量；I表示結(jié)構(gòu)抗彎慣性矩；n表示結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)半波數(shù)，結(jié)合工程實(shí)際與試驗(yàn)數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在本文研究背景下的微曲率殼板失穩(wěn)變形特征可近似為3個(gè)半波，因此n暫時(shí)取3。

根據(jù)文獻(xiàn)[31]可計(jì)算圖3所示梁的最大撓度為

由式（1）～（3）可知：當(dāng)梁所承受的軸向力T與歐拉臨界失穩(wěn)載荷Se相比很小時(shí)，γ的值很小，式（2）中第二個(gè)因子數(shù)值接近于1，說(shuō)明在此時(shí)軸向力對(duì)撓度的影響可以忽略；當(dāng)軸向力T與歐拉臨界載荷接近時(shí)，γ值接近π/2，則式（2）中第二個(gè)因子無(wú)限增大，導(dǎo)致梁的撓度急劇增加。

軸向力對(duì)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)至關(guān)重要，在研究此問(wèn)題過(guò)程中，在鐵木辛柯微曲梁推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，假設(shè)結(jié)構(gòu)的軸向力達(dá)到歐拉臨界載荷時(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn)。因此，以承受軸向壓力的薄板板條梁模型為對(duì)象，通過(guò)求解該板條梁的大撓度復(fù)雜彎曲問(wèn)題，反推當(dāng)梁軸向力達(dá)到臨界失穩(wěn)載荷時(shí)結(jié)構(gòu)所承受的均布載荷q，該載荷即為結(jié)構(gòu)臨界失穩(wěn)載荷qcr，其推導(dǎo)過(guò)程如下：

針對(duì)微曲梁，首先求解其撓曲線方程，微曲梁的撓曲線方程通過(guò)級(jí)數(shù)法表示，微曲梁初始長(zhǎng)度如圖4所示。

本文僅取式（4）中第1項(xiàng)表示微曲梁的撓曲線，已知微曲梁的曲率半徑R、跨距l(xiāng)，即可由下式求得系數(shù)a1。

微曲梁初始狀態(tài)下梁的長(zhǎng)度為

則其初始長(zhǎng)度較直梁的伸長(zhǎng)量為

然后以直梁模型代替微曲梁模型，進(jìn)行理論推導(dǎo)。取圖5所示板條梁微段dx，其變形后長(zhǎng)度為ds，則有

根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)板的柱面大撓度彎曲理論，將式（8）中w'展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)后，可求得整個(gè)板條梁變形后的伸長(zhǎng)量為

則微曲梁的整體伸長(zhǎng)量為

繼而由應(yīng)變的定義可得

同時(shí)，板的柱面彎曲求解過(guò)程中參數(shù)u與軸向力T之間存在如下關(guān)系式：

式中，D表示板的彎曲剛度，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)中復(fù)雜彎曲梁的微分方程，可推導(dǎo)出軸向壓力作用下的簡(jiǎn)支直梁復(fù)雜彎曲撓曲線方程為

考慮到微曲梁初始曲率的影響，則簡(jiǎn)支狀態(tài)下微曲梁復(fù)雜彎曲的撓曲線方程可表示為

則有

又令w0(x)=q·g(x)，則可得

根據(jù)假設(shè)，已知失穩(wěn)時(shí)，軸向力達(dá)到失穩(wěn)臨界載荷，因此，T=TE，將式（11）～（16）聯(lián)立，即可得到失穩(wěn)時(shí)均布載荷q的表達(dá)式，再由式（12）解得u，最后臨界失穩(wěn)載荷qcr可由式（17）計(jì)算。

對(duì)于ICP-AES分析，可調(diào)節(jié)的儀器參數(shù)主要有射頻發(fā)生功率、工作氣體流量(包括冷卻氣、輔助氣、霧化氣)、蠕動(dòng)泵轉(zhuǎn)速、觀測(cè)方式等。其中射頻發(fā)生功率、霧化氣流量和輔助氣流量是影響分析線信號(hào)的關(guān)鍵因素[19-20]。

式（17）用于計(jì)算單向微曲率殼板的臨界失穩(wěn)載荷，可對(duì)微曲率殼板的極限承載能力進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)而對(duì)結(jié)構(gòu)安全進(jìn)行評(píng)估。

3 基于Riks弧長(zhǎng)法的微曲率殼板橫向承載穩(wěn)定性數(shù)值分析

3.1 改進(jìn)弧長(zhǎng)法

曲殼在凸殼面承受分布?jí)狠d時(shí)，初始階段容易在曲殼頂部出現(xiàn)反向凹曲的變形特征，此后，隨著橫向壓載荷的增加，凹曲邊界將持續(xù)穩(wěn)定地?cái)U(kuò)展[32]。研究此問(wèn)題必須考慮幾何大變形的影響，平衡方程和幾何關(guān)系均存在非線性關(guān)系，應(yīng)變的表達(dá)式中包括位移的二次項(xiàng)[33]。因此，對(duì)于均布載荷下微曲率殼板的變形問(wèn)題，本文采用非線性方法對(duì)其求解。

目前，一般使用弧長(zhǎng)法[34-42]對(duì)曲殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性分 析，該 方 法 由Wempner 和Risk 提 出，后 經(jīng)Roma 和Crisfield 等人改進(jìn)，形成了改進(jìn)的弧長(zhǎng)法。改進(jìn)弧長(zhǎng)法是一種穩(wěn)定高效的結(jié)構(gòu)非線性分析方法，對(duì)于結(jié)構(gòu)的非線性前屈曲以及后屈曲的路徑跟蹤較為有效，改進(jìn)弧長(zhǎng)法是通過(guò)約束方程進(jìn)行迭代求解收斂點(diǎn)來(lái)進(jìn)行非線性靜力學(xué)求解。圖6為改進(jìn)弧長(zhǎng)法的迭代過(guò)程[43]。

3.2 微曲率殼板數(shù)值分析模型

本節(jié)基于Riks 弧長(zhǎng)法，選取典型微曲率殼板對(duì)其開(kāi)展數(shù)值仿真，以驗(yàn)證理論計(jì)算模型的準(zhǔn)確性。為不失一般性，結(jié)合船舶結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)微曲率殼板實(shí)際情況，建立單曲率矩形殼板模型。對(duì)各類(lèi)殼板開(kāi)展數(shù)值計(jì)算，其中曲率半徑分別為4000 mm、6000 mm、8000 mm、10 000 mm，跨距為1000 mm，長(zhǎng)寬比分別為1、1.5、2、3，探討不同曲率與長(zhǎng)寬比矩形曲殼板的橫向承載穩(wěn)定性規(guī)律，圖7所示為長(zhǎng)寬比1.5，曲率半徑為6000 mm時(shí)的殼板承載示意圖。

數(shù)值模型采用實(shí)體單元建模，材料為碳纖維（T700/350），參數(shù)為：E1=58.7 GPa，G12=3.32 GPa，ρ=1.46 g·cm-3，υ=0.045；鋪層方式為0°/90°正交鋪層，殼板的厚度為16 mm，表面施加200 kPa 均布載荷，邊界條件為簡(jiǎn)支約束。

模型的網(wǎng)格劃分如圖8 所示，采用四邊形SC8R 單元，網(wǎng)格密度為20 mm，殼板厚度方向采用數(shù)值積分法來(lái)求解剛度矩陣，板殼的面內(nèi)采用減縮積分。模型采用Riks弧長(zhǎng)法進(jìn)行求解，可防止在載荷施加時(shí)殼板屈曲過(guò)程中出現(xiàn)短時(shí)間內(nèi)變形過(guò)大的現(xiàn)象，導(dǎo)致計(jì)算不收斂。

在非線性分析過(guò)程中，可通過(guò)繪制殼板的載荷比例因子（LPF）曲線，并通過(guò)第一次出現(xiàn)的峰值點(diǎn)位置計(jì)算殼板臨界失穩(wěn)載荷，不同曲率半徑殼板的LPF曲線如圖9所示。

圖10 是跨距為1000 mm，長(zhǎng)寬比分別為1、1.5、2、3的平板LPF 曲線。由圖可知，長(zhǎng)寬比越大，單位時(shí)間內(nèi)承受載荷越大，曲線斜率越大。與圖9所示不同曲率殼板的LPF 曲線對(duì)比可知，曲率對(duì)“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象影響較明顯，長(zhǎng)寬比一定時(shí)，曲率半徑越小，“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象越容易發(fā)生，對(duì)應(yīng)的臨界失穩(wěn)載荷越大。然而，在曲率半徑一定時(shí)，長(zhǎng)寬比對(duì)“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象的影響較小。但是，矩形殼板與正方形殼板的LPF 曲線仍存在一定的差異。此外，結(jié)合圖9 和圖10 可知，殼板長(zhǎng)寬比越小，“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象越不容易出現(xiàn)，同一曲率半徑不同長(zhǎng)寬比殼板對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)載荷差別不大。

3.3 數(shù)值與理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

根據(jù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果可知，微曲率殼板的“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象與殼板曲率密切相關(guān)，在本文研究背景下，在殼板曲率半徑超過(guò)6000 mm后該現(xiàn)象較難出現(xiàn)。為驗(yàn)證理論計(jì)算模型，本文選取曲率半徑分別為4000 mm、4500 mm、5000 mm、6000 mm 的不同長(zhǎng)寬比微曲率殼板，將3.2 節(jié)數(shù)值計(jì)算中模型的相關(guān)要素代入理論計(jì)算模型中，通過(guò)式（17）計(jì)算微曲率殼板的臨界失穩(wěn)載荷，與表2中數(shù)值計(jì)算所得臨界失穩(wěn)載荷進(jìn)行比較，并對(duì)理論解與數(shù)值解存在的差異進(jìn)行誤差分析，數(shù)值計(jì)算結(jié)果與理論計(jì)算結(jié)果如表2所示。

由表2可知，數(shù)值解與理論解存在誤差，且隨著曲率半徑的增加，誤差會(huì)小幅上升，這是由于曲率半徑增加后，殼板的變形特征向平板趨近，因此導(dǎo)致誤差出現(xiàn)一定程度累積。隨著矩形微曲率殼板長(zhǎng)寬比的增加，臨界失穩(wěn)載荷值會(huì)小幅降低，正方形殼板較難出現(xiàn)“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象，半徑越大，殼板越難出現(xiàn)該現(xiàn)象。綜上所述，可以認(rèn)為本文提出的殼板臨界失穩(wěn)載荷計(jì)算方法針對(duì)曲率半徑在4000～6000 mm范圍內(nèi)的單向微曲率殼板具有較高的準(zhǔn)確性。

4 結(jié) 論

本文基于鐵木辛柯曲梁理論與薄板大撓度彎曲理論，提出了單向微曲率殼板的橫向承載穩(wěn)定性理論計(jì)算模型，對(duì)臨界失穩(wěn)載荷進(jìn)行了預(yù)報(bào)，通過(guò)理論與仿真對(duì)比分析，得到以下結(jié)論：

（1）微曲率殼板在橫向承載時(shí)會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定性問(wèn)題，本文通過(guò)理論分析與數(shù)值仿真計(jì)算，發(fā)現(xiàn)單向微曲率殼板的“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象主要與曲率半徑相關(guān)。半徑越小，“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象的臨界失穩(wěn)載荷越高；隨著殼板曲率半徑的增加，殼板承載特征越接近平板，“跳躍”失穩(wěn)現(xiàn)象越不容易出現(xiàn)；在殼板曲率半徑相同的情況下，矩形殼板的長(zhǎng)寬比對(duì)臨界失穩(wěn)載荷影響不明顯。

（2）通過(guò)單曲率柱面大撓度彎曲薄板的板條梁模型可以求解微曲率殼板橫向承載問(wèn)題，假設(shè)以軸向力接近歐拉失穩(wěn)臨界載荷作為判斷“跳躍”失穩(wěn)的發(fā)生條件，求解過(guò)程中需考慮軸向力作用以及微曲率殼板初始曲率的影響。

（3）由殼板臨界失穩(wěn)載荷的理論計(jì)算結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比可知，本文提出的臨界失穩(wěn)載荷計(jì)算方法具有較高的準(zhǔn)確性，能夠較好地預(yù)測(cè)微曲率殼板的橫向承載穩(wěn)定性。