借誤導悟 提升能力
——以直線的傾斜角和斜率及直線的方程為例

馬 驥

(甘肅省莊浪縣教育局)

本文就人教版教材數學《必修二》“3.1直線的傾斜角與斜率”與“3.2直線的方程”中有關常見解題誤區加以歸類解析,旨在幫助讀者真正厘清錯誤的根源,提高對有關基本知識點的到位理解與深刻認識,有利于“借誤導悟”,進一步提高解題思維能力.

1 未考慮“直線的斜率是否存在”

例1已知直線l經過點P(－1,2),且直線l的傾斜角為θ,求直線l的方程.

錯解1依題意,直線l的斜率k＝tanθ,又直線l經過點P(－1,2),所以由點斜式得所求直線l的方程為y－2＝(x＋1)tanθ,即

錯解2設直線l的方程為y＝kx＋b,因為直線l經過點P(－1,2),所以2＝－k＋b.又直線l的斜率k＝tanθ,所以2＝－tanθ＋b,解得b＝2＋tanθ,故所求直線l的方程為y＝xtanθ＋2＋tanθ,即

辨析先認真學習以下三個知識點:1)只有當直線的傾斜角θ≠時,直線的斜率才存在,且斜率滿足k＝tanθ;2)只有當直線的斜率存在時,直線的點斜式方程y－y0＝k(x－x0)才成立;3)只有當直線的斜率存在時,直線的斜截式方程y＝kx＋b才成立.

下面再來看本題,因為直線l的傾斜角θ與的大小關系不確定,故需要討論.據此可知,上述錯解1和2的根源均是誤以為θ≠,直線的斜率必存在.

正解當直線l的傾斜角θ≠時,同錯解1和2均可求得直線l的方程為xtanθ－y＋2＋tanθ＝0.當直線l的傾斜角θ＝時,結合圖形易得直線l的方程為x＝－1.

綜上,直線l的方程為xtanθ－y＋2＋tanθ＝0或x＝－1.

點評涉及直線斜率的問題,一定要注意分析直線的斜率是否存在.若不確定直線的斜率是否存在,則應按一般情形(斜率存在)和特殊情形(斜率不存在)加以討論.

2 未考慮“直線傾斜角的取值范圍”

例2已知直線l過點A(8,6),且直線l的傾斜角是直線3x－4y－2＝0的傾斜角的一半,則直線l的方程是________.

錯解設直線l的傾斜角為α,則直線3x－4y－2＝0的傾斜角為2α,且tan2α＝,即,解得tanα＝或－3,所以直線l的斜率為或－3.

又因為直線l過點A(8,6),故由點斜式可得直線l的方程為y－6＝(x－8)或y－6＝－3(x－8),即x－3y＋10＝0或3x＋y－30＝0.

辨析我們知道任意一條直線都有傾斜角,且傾斜角的取值范圍是[0,π).再看上述錯解中,因為2α是直線3x－4y－2＝0的傾斜角,所以2α∈[0,π),即).據此可知tanα＝－3不適合題意,應舍去.故錯解的根源是沒有根據直線傾斜角的取值范圍進行合理取舍.

點評一般地,解題過程中涉及直線的傾斜角時,應充分關注直線傾斜角的取值范圍在解題中的靈活運用,否則,極易產生錯誤,且不易覺察.

3 對“直線方程的截距式”理解不到位

例3一條直線過點(5,2),且在x軸、y軸上的截距互為相反數,則這條直線的方程是( ).

A.2x－5y＝0

B.x－y－3＝0

C.x－y－3＝0或2x－5y＝0

D.x－y－3＝0或5x－2y＝0

錯解依題意可設所求直線方程為＝1,把點(5,2)的坐標代入直線方程解得a＝3,則所求直線方程為x－y－3＝0,故選B.

辨析先認真學習直線方程的截距式——在x軸、y軸上的截距分別為a,b(ab≠0)的直線方程為＝1.注意:這里有一個約束條件ab≠0,即直線在兩坐標軸上的截距均非零.由此即知,只有當截距均非零時,上述錯解才是正確的.

正解當截距均為零時,直線經過坐標原點,易知直線方程為2x－5y＝0;當截距均非零時,同上述錯解知直線方程為x－y－3＝0.

綜上,所求直線方程為2x－5y＝0或x－y－3＝0,故選C.

點評只有當直線在兩坐標軸上的截距均非零時,才能利用直線的截距式方程解題;若直線在兩坐標軸上的截距相等(或互為相反數),則應按特殊情形(截距均為零,此時直線經過坐標原點)和一般情形(截距均非零)加以討論.常用結論:一般地,經過平面內某點(不在坐標軸上),且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程可設為y＝kx(k待定)或xy－a＝0(a待定).

4 未考慮“直線方程中y 前系數是否為零”

例4若直線x＋ay－a＝0與直線ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直,則實數a的值是( ).

A.2 B.－3或1

C.1或0 D.2或0

錯解因為直線x＋ay－a＝0的斜率為－,直線ax－(2a－3)y－1＝0的斜率為,所以由直線互相垂直得－＝－1,解得a＝2,故選A.

辨析我們知道,直線方程的一般式為Ax＋By＋C＝0,其中A,B不同時為零,顯然y的系數與零的關系不確定.于是,當B≠0時,直線的斜率存在,且為－;當B＝0時,直線的斜率不存在.從而,易知錯解的根源在于誤以為y的系數一定不為零.

正解當a≠0且a≠時,同錯解知a＝2;當a＝0時,直線方程分別為x＝0和3y－1＝0,顯然此時直線互相垂直,符合題意;當a＝時,直線方程分別為2x＋3y－3＝0和3x－2＝0,顯然此時直線不垂直,從而不符合題意.

綜上,實數a＝2或a＝0,故選D.

點評靈活運用規律“設直線l1:a1x＋b1y＋c1＝0,直線l2:a2x＋b2y＋c2＝0,則l1⊥l2等價于法向量(a1,b1)與(a2,b2)垂直,亦等價于a1a2＋b1b2＝0”,可快速來解本題,即根據題意知,aa(2a－3)＝0,解得a＝0或2,故選D.

總之,關注“3.1直線的傾斜角與斜率”與“3.2直線的方程”有關常見解題易錯點的探究,有利于在解題實踐的基礎上,強化對所學知識的理解與認識;有利于幫助學生逐步積累解題經驗,避免一些常見錯誤的產生,增強明辨是非的能力;有利于逐步提高分析、解決此類問題的技能技巧,進而提升解題能力.

(完)