高中數(shù)學(xué)中基本不等式的常見問題及處理策略

郭興甫

(云南省會(huì)澤縣東陸高級(jí)中學(xué)校)

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考、高校自主命題的熱點(diǎn)內(nèi)容,其結(jié)構(gòu)簡潔、形式優(yōu)美.基本不等式主要用于處理與最值相關(guān)問題以及不等關(guān)系的探求和論證.基本不等式常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面向量等相關(guān)知識(shí)相結(jié)合,考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).有時(shí)不能直接利用基本不等式解決問題,需要對條件改造、變形、配湊,因此基本不等式是培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題能力的重要載體.本文就基本不等式常見問題及處理策略進(jìn)行解析,以期對讀者的復(fù)習(xí)有所幫助.

1 直接利用基本不等式求最值

例1(1)(多選題)若a＞0,b＞0,且a＋b＝4,則下列不等式成立的是( ).

綜上,選BD.

(2)若a＞0,b＞0,由基本不等式得

點(diǎn)評(píng)利用基本不等式直接求一個(gè)式子的最值時(shí),要注意“一正、二定、三相等”的原則.即一正是要判斷各項(xiàng)是否為正數(shù);二定是要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最小);三相等是一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立(注意兩點(diǎn),一是等號(hào)成立時(shí)變量是否在定義域內(nèi),二是多次用不等式時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立).以上三點(diǎn)缺一不可.

2 通過配湊系數(shù)后利用基本不等式求最值

例2設(shè)正實(shí)數(shù)a,b滿足ab(a＋b)＝4,則2a＋b的最小值是_________.

解析由正實(shí)數(shù)a,b滿足ab(a＋b)＝4,故利用待定系數(shù)法配湊系數(shù),使用均值不等式,則有

點(diǎn)評(píng)本題初看不易入手,但如果觀察到題設(shè)條件是三個(gè)因式的積的形式,則易聯(lián)想到基本不等式積定和最大的法則,通過配湊積中因式的系數(shù),把和轉(zhuǎn)化為關(guān)于結(jié)論的一個(gè)代數(shù)式,進(jìn)而巧妙地解決問題.同時(shí)也可以對結(jié)論進(jìn)行等價(jià)變形后結(jié)合約束條件進(jìn)行配湊,使之滿足基本不等式的條件.在配湊因式的系數(shù)時(shí),可以通過待定系數(shù)法求出需要的系數(shù).解決本題的關(guān)鍵是審清條件和結(jié)論之間的關(guān)系,把結(jié)論看成整體,利用整體思想和基本不等式的條件配湊系數(shù),易錯(cuò)點(diǎn)是忽視等號(hào)成立的條件.

3 通過消元再利用基本不等式求最值

例3正實(shí)數(shù)x,y滿足xy(x＋y)＝4,則2x＋y的最小值為( ).

點(diǎn)評(píng)本題考查了利用消元法結(jié)合基本不等式求最值的應(yīng)用,用約束條件中的一個(gè)變量表示出另一個(gè)變量,或?qū)⒓s束條件及所求代數(shù)式進(jìn)行變形,使其滿足利用基本不等式的條件,再采用恰當(dāng)方法求最值.同時(shí)要注意變形過程中的等價(jià)性,否則容易出錯(cuò).

4 通過常數(shù)代換利用基本不等式求最值

點(diǎn)評(píng)常數(shù)代換法的基本步驟:一是根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù));二是把確定的定值(常數(shù))變形為“1”;三是把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘(或相除),進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式;四是利用基本不等式求解最值.

5 通過變項(xiàng)法求多變量最值

點(diǎn)評(píng)本題對已知條件和所求最值的代數(shù)式恒等變形之后進(jìn)而應(yīng)用基本不等式求解.使用基本不等式求最值,有時(shí)需要從已知條件、求解目標(biāo)代數(shù)式這兩個(gè)方面進(jìn)行變換,以達(dá)到符合基本不等式條件的目的,同時(shí)需要注意等號(hào)是否成立.

6 多次利用基本不等式求最值

點(diǎn)評(píng)在求解最值或證明不等式時(shí),如果多次使用基本不等式,要根據(jù)各次不等式中等號(hào)成立的條件是否一致確定最后等號(hào)是否成立,即等號(hào)成立的條件要同時(shí)滿足,否則容易產(chǎn)生錯(cuò)誤.

7 利用基本不等式判斷不等式是否成立

例7(多選題)已知a＞0,b＞0,且a＋b＝1,則下列說法中正確的有( ).

綜上,選BCD.

點(diǎn)評(píng)利用基本不等式判斷不等式正確性的基本策略是從已知不等式及問題的條件出發(fā),借助基本不等式及性質(zhì)的相關(guān)定理,經(jīng)過逐步推理,將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,其特征是根據(jù)已知條件逐步推出未知.特別地,要注意不等式串(a＞0,b＞0)的靈活應(yīng)用.

8 利用基本不等式證明不等式問題

點(diǎn)評(píng)利用基本不等式證明不等式時(shí),常常利用不等式的可加性.累加法是證明不等式的一種常用方法,對于不能直接使用基本不等式進(jìn)行證明的問題,可重新拆分、組合,也可利用由基本不等式可加性直接得到的形如a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca,a＋b＋等結(jié)論.

9 利用基本不等式解決實(shí)際問題

例9(1)現(xiàn)在需要制作一個(gè)長和寬分別為am和bm 的矩形大裱框,要求其長和寬使用不同的材質(zhì),長和寬材質(zhì)的單價(jià)分別為10 元·m－1和20 元·m－1,在總制作費(fèi)用不超過100元的條件下,可裱框相片的最大面積為( ).

(2)某污水處理廠為使處理后的污水達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn),需加入某種藥劑,加入該藥劑后,藥劑的濃度Cmg·m－3隨時(shí)間th 的變化關(guān)系可近似地用函數(shù)C(t)＝(t＞0)刻畫.由此可以判斷,若使被處理的污水中該藥劑的濃度達(dá)到最大值,需經(jīng)過( ).

A.3h B.4h C.5h D.6h

(3)某單位為節(jié)約成本,進(jìn)行技術(shù)更新,將細(xì)顆粒物進(jìn)行處理.已知該單位每月的處理量最少300t,最多600t,月處理成本y元與月處理量xt之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝－100x＋80000,則每噸細(xì)顆粒物的平均處理成本最低為( ).

A.100元 B.200元

C.300元 D.400元

解析(1)由已知得20a＋40b≤100,所以a＋2b≤5,所以

(3)由題意得每噸細(xì)顆粒物的平均處理成本為

點(diǎn)評(píng)利用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí),應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息,理解題意,明確其中的數(shù)量關(guān)系,并引入變量,依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,然后用基本不等式求解;設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù);在求所列函數(shù)的最值時(shí),若用基本不等式時(shí)等號(hào)無法取到,則可利用函數(shù)單調(diào)性求解.解題時(shí)要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.

對于基本不等式的復(fù)習(xí),應(yīng)掌握基本知識(shí)和基本方法的應(yīng)用,掌握基本概念及其性質(zhì)的聯(lián)系,熟悉基本不等式串關(guān)系的應(yīng)用,重視與其他知識(shí)的整合交會(huì)滲透,挖掘基本不等式的本質(zhì),掌握基本不等式應(yīng)用的常見問題,注重基本不等式成立的條件及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在基本不等式中的應(yīng)用.同時(shí)要注重抓住基本不等式問題的核心,感悟問題本質(zhì),熟悉常考題型,善于正用、逆用、變形應(yīng)用公式,配湊構(gòu)建定值,創(chuàng)造使用基本不等式的條件,進(jìn)而解決問題.

(完)