求參數取值范圍問題的方法探究

陳曉明

(安徽省寧國中學)

求參數取值范圍的問題經常出現在各級各類考試中,其綜合性較強,主要考查函數的各種性質,考查學生的邏輯思維、運算求解等關鍵能力,考查學生的數學運算、邏輯推理、數學抽象等學科素養.解決問題的方法主要有分類討論法、分離參數法、圖像法、構造函數法等.下面通過具體實例對求解這類試題的方法進行探究.

例1已知函數f(x)＝(ax2－2x＋1)e－x(a∈R,e為自然對數的底數),若函數f(x)在[－1,1]上單調遞減,求a的取值范圍.

令g(x)＝ax2－2(a＋1)x＋3.

當a＝0 時,g(x)＝－2x＋3,在[－1,1]上,g(x)＞0,故f′(x)＜0,函數f(x)在[－1,1]上單調遞減.

當a＞0時,函數g(x)＝ax2－2(a＋1)x＋3,其圖像是開口向上的拋物線,且對稱軸x＝＞1,故g(x)在[－1,1]上單調遞減,當且僅當g(1)＝1－a≥0,即0＜a≤1 時,在[－1,1]上,g(x)≥0,f′(x)≤0,函數f(x)在[－1,1]上單調遞減.

當a＜0時,g(x)＝ax2－2(a＋1)x＋3是開口向下的拋物線,當且僅當即－≤a＜0時,在[－1,1]上,g(x)≥0,f′(x)≤0,函數f(x)在[－1,1]上單調遞減.

綜上,參數a的取值范圍為[－,1].

方法2(分離參數法) 根據題意可知f′(x)＝－e－x(ax2－2ax－2x＋3)≤0在[－1,1]上恒成立,即(x2－2x)a≥2x－3在[－1,1]上恒成立.

點評兩種方法都是將函數的單調性問題轉化為不等式恒成立問題,方法1是對參數進行分類討論,因此最后對參數的范圍求并集;而方法2 是對自變量進行分類討論,因此最后對參數的范圍求交集.

例2已知函數f(x)＝sinωx＋acosωx(ω＞0,a＞0),對任意x1,x2∈R,f(x1)＋f(x2)的最大值為4,若f(x)在(0,π)上恰有兩個極值點,則實數ω的取值范圍是( ).

解析方法1因為對任意x1,x2∈R,f(x1)＋f(x2)的最大值為4,所以f(x)的最大值為2,所以＝2,又a＞0,所以a＝1,故

據不完全統計，2008-2016年有關數學文化的試題共34道(數學文化的標準不同，本文采用南開大學顧沛教授的數學文化廣義內涵，包含數學家、數學史、數學美、數學教育、數學發展中的人文成分、數學與社會的聯系、數學與各種文化的關系等)，在高考數學試題中的分值比重已越來越大，涉及湖北、北京、上海、浙江、江蘇、江西、福建、全國卷等.其中，湖北卷幾乎年均有2-3題左右，全國卷從2015年開始重視，以后每年都有題目出現.為更直接地體會全國各地高考數學新課標文、理試卷中的數學文化試題，按年份列出下表(見表1)，并總結出了數學文化背景試題的一些特征：

圖1

圖2

點評兩種方法都是通過觀察函數圖像判斷參數的取值范圍,方法1是根據原函數的極值點就是導函數的變號零點,從而根據導函數的圖像判斷;方法2是直接根據原函數的圖像判斷.另外,要注意取值范圍的端點值(臨界值)是否可取.

變式1函數f(x)＝2sin(ωx＋)(ω＞0)的圖像在[0,2]上恰有兩個最大值點,則ω的取值范圍為( ).

圖3

點評本題通過構造函數將不等式轉化為“函數值”大小關系,再利用函數的單調性將“函數值”大小關系轉化為“自變量”大小關系(脫掉抽象符號“g”),進一步將恒成立問題轉化為最值問題,從而求出參數的取值范圍.本題是選擇題,也可以利用排除法首先排除A:由已知a＞1,而＜1,所以不可能選A.

例4(2021年全國甲卷理21)已知a＞0且a≠1,函數f(x)＝(x＞0).

(1)當a＝2時,求f(x)的單調區間;

(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個交點,求a的取值范圍.

點評曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個交點→方程有兩個不同的解→構造函數g(x)＝函數g(x)的單調性→gmax(x)＝的取值范圍.關于含有參數的方程根的問題,經常采用分離參數(式)法和構造新函數法,通過研究新函數的單調性確定參數范圍,這是一種解決方程根問題常見的基本方法.由例3與例4知,含有參數的不等式和方程(等式),通過分離參數(式),利用構造函數法解決問題是一種重要方法,應引起我們的重視.

上述實例給出了求參數取值范圍的一些具體的方法.這些方法有時也不是“獨立”的,需要多種方法相互滲透,“聯合”起來解決問題.無論哪種方法,理解數學概念、掌握函數的各種性質、領悟數形結合的數學思想是解決問題的根本.

筆者認為數學解題的最高境界必然是“無招”.無招的背后,必然是尋求以不變應萬變的本質.數學解題中的“無招”,其實質應該是解題的通性通法.通性通法就是解決一類問題的最合理的想法、最基本的思路、最常用的方式、最普遍的操作程序.如果求參數的取值范圍有“絕招”,那應該是立足課堂,抓住典型例題,讓學生真正掌握解決這類問題的通性通法.

通性通法教學不僅有利于學生快速抓住數學知識的本質,形成有效解決問題的策略,而且有利于消除學生對數學學科的畏懼心理,增強學生學好數學的自信心.因此,通性通法教學應引起我們廣大教師的重視,以無招勝有招,才能讓學生笑傲考場.

鏈接練習

1.設a＞b＞c且恒成立,則實數m的取值范圍是________.

2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R),且ac＝.當角B為銳角時,參數p的取值范圍是_________.

3.已知函數f(x)＝sinωxcosωx－sin2ωx(ω＞0),若函數f(x)在(,π)上單調遞減,則實數ω的取值范圍是________.

4.已知f(x)是定義在R 上的奇函數,且f(x＋1)是偶函數.當0≤x≤1時,f(x)＝－log2(x＋1).設g(x)＝|f(x)|＋f(|x|),若關于x的方程g(x)－mx－2＝0有5個不同的實數根,則實數m的取值范圍是_________.

鏈接練習參考答案

(完)