非常規不等式的解法探究

田素偉

(上海市泥城中學)

不等式是高中數學考查的重點內容,也是高考必考的內容,對于常規的各類不等式的基本解法,這里不再重復.而有很多數學知識以不等式為載體,考查最值、不等關系以及恒成立等問題.這類不等式問題構思新穎、條件隱蔽、技巧性強、解法靈活.那么如何正確解答這類問題? 下面以具體的題目來探究一些非常規不等式的解法.

1 含偶次方根的無理不等式

點評本題極容易忽視偶次方根的被開方數是非負數這一隱含條件,所以在解題時要充分考慮題中的限制條件.

2 構造函數解不等式

當x1＞x2時,f(x1)－f(x2)＜x1－x2,即f(x1)－x1＜f(x2)－x2;當x1＜x2時,f(x1)－f(x2)＞x1－x2,即f(x1)－x1＞f(x2)－x2.

設g(x)＝f(x)－x,則g(x1)＝f(x1)－x1,g(x2)＝f(x2)－x2.當x1＞x2時,g(x1)＜g(x2);當x1＜x2時,g(x1)＞g(x2),所以g(x)＝f(x)－x在定義域R上單調遞減.又因為y＝f(x)是定義域為R 的奇函數,所以f(0)＝0,所以g(0)＝f(0)－0＝0.

由f(m)＞m,得f(m)－m＞0,又g(m)＝f(m)－m,g(0)＝0,所以g(m)＞g(0),而g(x)在R 上單調遞減,所以m＜0.

綜上,不等式f(m)＞m的解集為{m|m＜0}.

點評根據題意可構造函數g(x)＝f(x)－x,利用單調函數的定義可以判斷函數g(x)＝f(x)－x在定義域R 上單調遞減,由g(0)＝0,則f(m)＞m等價于g(m)＞g(0),再根據函數的單調性脫去“f”.

3 利用反函數的性質解不等式

點評根據反函數的性質,本題可轉化為當x＞3時,求函數f(x)＝(x＞0)的值域,這樣可以不用求反函數的解析式,只需解不等式即可,簡化運算.本題考查反函數的概念與性質、函數的單調性以及函數值域的求法.

4 利用函數的單調性解不等式

例4若定義在區間[－3,3]上的函數f(x)＝,求f(x＋1)＋f(2x－1)＞0的解集.

點評先判斷函數在定義域上的奇偶性和單調性,再根據函數的單調性和奇偶性將函數不等式轉化為關于自變量的不等式,注意不要忽略函數的定義域.

例5已知定義在R上的函數y＝f(x＋1)是偶函數,且在(0,＋∞)上單調遞增,求滿足f(2x)＞f(x＋2)的x的取值范圍.

解析因為y＝f(x＋1)是偶函數,所以f(－x＋1)＝f(x＋1),故函數y＝f(x)的圖像關于直線x＝1對稱.

因為函數f(x＋1)在(0,＋∞)上單調遞增,所以函數f(x)在(1,＋∞)上單調遞增.

又由f(2x)＞f(x＋2),得|2x－1|＞|x＋2－1|,即|2x－1|＞|x＋1|,兩邊平方并化簡得x2＞2x,解得x＞2或x＜0.

綜上,x的取值范圍為(－∞,0)∪(2,＋∞).

點評本題利用函數的性質,確定函數f(x)關于直線x＝1對稱,且在(1,＋∞)上單調遞增,結合函數對稱性和單調性去“f”再解不等式.

5 利用向量構造不等式

因為|m|＝1,|n|＝|a|,所以

f(x)＝m·n＝|m|·|n|cosθ≤|m|·|n|≤|a|.

又因為fmax(x)＝2,所以|a|＝2,解得a＝±2,故實數a的值為2或－2.

點評本題考查根據函數最值求解參數的值,解題關鍵是能夠利用化歸轉化思想,將函數表示為向量數量積的形式,進而根據m·n≤|m|·|n|構造不等式確定參數的取值范圍.

6 與正整數n 有關的不等式

點評對于含(－1)n的不等式要分為n為奇數和n為偶數兩種情況討論,在利用單調性、最值和極限思想解題時,需要注意在正整數中奇數的最小值是1,而偶數的最小值是2.

7 利用函數圖像數形結合解不等式

例8(2020年北京卷6)已知函數f(x)＝2xx－1,則不等式f(x)＞0的解集是( ).

A.(－1,1) B.(－∞,－1)∪(1,＋∞)

C.(0,1) D.(－∞,0)∪(1,＋∞)

解析f(x)＞0等價于2x＞x＋1,在同一平面直角坐標系中作出y＝2x和y＝x＋1的圖像,如圖1所示.兩個函數圖像的交點坐標為(0,1),(1,2),不等式2x＞x＋1的解是函數y＝2x的圖像位于函數y＝x＋1的圖像上方的部分所對應的x的取值范圍.觀察圖像可知:不等式2x＞x＋1的解為x＜0或x＞1,所以不等式f(x)＞0的解集為(－∞,0)∪(1,＋∞),故選D.

圖1

點評在同一平面直角坐標系中作出函數y＝2x和y＝x＋1的圖像,觀察圖像可得結果,對于超越不等式常利用函數圖像求解集.

8 與取整函數有關的不等式

例9對于實數x,設[x]表示不超過x的最大整數,則不等式[x]2－3[x]－10≤0的解集是_________.

解析因為[x]2－3[x]－10≤0,所以－2≤[x]≤5,故－2≤x＜6,從而所求不等式的解集是{x|－2≤x＜6}.

點評根據不等式先解析出[x],進而根據[x]的定義即可得到答案,這里要注意不等式的端點的取值.

9 與分段函數有關的不等式

綜上,m的取值范圍是(－1,0)∪(1,＋∞).

點評本題考查對數不等式的求解問題,解題關鍵是能夠寫出函數f(m)和f(－m)的解析式,再利用對數函數的性質求解,考查了分類討論的數學思想.

(完)