應(yīng)用柯西不等式的幾個(gè)技巧

肖 芳

(山東省棗莊市第一中學(xué))

當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an＝0或bi＝kai(k為常數(shù))時(shí),等號(hào)成立,這就是柯西不等式的一般形式.在解題中,關(guān)于柯西不等式的運(yùn)用并非“直截了當(dāng)”,往往需要運(yùn)用一些方法與技巧,下面一起來看個(gè)究竟.

1 巧拆常數(shù)

柯西不等式的右側(cè)是兩個(gè)因式的乘積形式,于是我們可以將所求等式乘1,然后將1根據(jù)實(shí)際拆分成幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和.

例1已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足a＋b＋c＋d＝3,a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5,試求a的最值.

點(diǎn)評(píng)巧拆常數(shù)必須從實(shí)際出發(fā),本題借助柯西不等式將等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式,在這個(gè)過程中,柯西不等式發(fā)揮了化等式為不等式的作用.

2 重新排序

柯西不等式有著嚴(yán)格的次序特征,有些不等式問題需先調(diào)整有關(guān)項(xiàng)的位置,才能直接利用柯西不等式“對(duì)號(hào)入座”.

例2a,b為非負(fù)數(shù),a＋b＝1,x1,x2∈R*,求證:(ax1＋bx2)(bx1＋ax2)≥x1x2.

點(diǎn)評(píng)本題證明過程十分簡(jiǎn)明,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)約之美,這源于柯西不等式的靈活應(yīng)用.本題也可用作差法來證明,但過程比較煩瑣.

3 改變結(jié)構(gòu)

為充分利用柯西不等式,并感受它給解題帶來的便捷,需對(duì)某些表達(dá)式對(duì)照柯西不等式進(jìn)行“結(jié)構(gòu)改造”,為柯西不等式的應(yīng)用鋪平道路.

點(diǎn)評(píng)求無理函數(shù)的值域是數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn),尤其是含雙根號(hào)的無理函數(shù).而本題通過改變?cè)瘮?shù)的結(jié)構(gòu),靈活應(yīng)用柯西不等式進(jìn)行處理.

4 適當(dāng)添項(xiàng)

對(duì)于某些不等式的證明問題,看似不具備柯西不等式的特征,但可以通過適當(dāng)添項(xiàng)加以改造,再利用柯西不等式,從而使證明過程一氣呵成.

例4a,b,c∈R*,求證:

點(diǎn)評(píng)本題的證明過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題中的創(chuàng)新思維.適當(dāng)添項(xiàng),其實(shí)是一種構(gòu)造思想.

5 利用等號(hào)成立的條件

關(guān)于柯西不等式的應(yīng)用,不僅應(yīng)關(guān)注其本身,也應(yīng)關(guān)注其等號(hào)成立的條件,有時(shí)問題的解決恰恰是利用了這個(gè)條件.

點(diǎn)評(píng)本題之所以想到采用柯西不等式,原因在于已知等式的左側(cè)具有柯西不等式的形式,而且在應(yīng)用過程中正好把a(bǔ),b消去,將不等式變成等式,只需關(guān)注等號(hào)成立的條件.這體現(xiàn)了柯西不等式的應(yīng)用具有很大的靈活性.

6 引進(jìn)待定參數(shù)

在解決某些特殊問題時(shí),為了運(yùn)用柯西不等式,我們往往會(huì)引進(jìn)一些待定參數(shù),它的值由題設(shè)或不等式等號(hào)成立的充要條件來確定.

點(diǎn)評(píng)本題具有一定的難度,難點(diǎn)之一是對(duì)所求不等式進(jìn)行等價(jià)變形,難點(diǎn)之二是通過引進(jìn)參數(shù),將欲求的表達(dá)式變形,進(jìn)而利用柯西不等式和等號(hào)成立的條件,求出參數(shù)的取值范圍,從而求出欲求表達(dá)式的范圍.

從以上6個(gè)例題不難看出,柯西不等式雖然用途十分廣泛,但它的應(yīng)用具有很大的靈活性.只有從問題實(shí)際出發(fā),并對(duì)所求表達(dá)式適當(dāng)變形,才可與柯西不等式“無縫對(duì)接”,同時(shí)應(yīng)關(guān)注等號(hào)成立的條件,因?yàn)檫@也許是恒等式證明的一條途徑.

(完)