由一道模考題淺議求二元最值的多種解答策略

王海闊 杜海洋

(1.四川省成都市龍泉驛區教育科學研究院 2.四川省成都經濟技術開發區實驗中學校)

在高三復習中,我們經常遇到含有兩個參變量的代數式求值或值域問題,難度頗大,技巧性較強.筆者發現大部分學生找不到這類問題具體的解答思路,尤其挖掘不出不同題型間的內在聯系與區別.本文結合一道經典問題談談求解二元代數式最值問題的幾種常用方法,以期幫助讀者更好地理解和掌握解決此類問題的方法及各種方法之間的聯系和區別.

1 試題呈現

題目已知正數x,y滿足x＋4y＝x2y3,則的最小值為________.

2 試題解答

據統計,此題得分率極低.大部分學生認為此題可轉化為基本不等式求最值.式子含有雙變量,與以往所遇到的基本不等式試題結構也沒有明顯區別,主要是變量次數不一致,導致式子結構變形過程轉化難度增大.作為壓軸小題,筆者認為此題保持短小精悍風格,堪稱經典,這樣的試題能給人以啟迪,散發著其獨特的魅力.研究考題本應成為教師教學研究的常規工作,下面筆者從不同的角度解答這道檢測題.

解法1 (二元化一元+均值不等式)

點評對于二元問題,能利用消元法處理的不妨試試消元,將其轉化為一元函數問題,退一步講可以采用求導進行求值,所以遇到這類題根本不用懼怕.此消元策略屬于這類問題的通法,即當所求最值的代數式中的變量比較多時,通常考慮利用已知條件消去部分變量后,湊出“和為常數”或“積為常數”,最后利用基本不等式求最值.常見這類題含二次型較多,部分題的前提條件是關于一元二次方程型,可以利用求根公式進行求解.

解法2 (二元化一元+判別式)

點評將所求代數式賦值,這樣目標代數式就變成方程組的形式,再將其與已知等式相結合進行消元化為一元二次方程,根據方程有根,利用判別式的取值范圍求出最值,這體現了代數式與方程轉化與化歸策略.

解法3 (二元化一元+基本不等式)

同解法2可得16y4－k2y2＋1＝0,參變分離得

點評此解法利用參變分離,將所求參數用已知變量的函數表示,再結合式子結構特點采用基本不等式或導數進行求解.

解法4 (化齊次+基本不等式)

點評此解法利用條件與目標式子的結構特征,將目標式子的指數向條件靠攏,即齊次化策略,再利用已知條件進行整體替換.尤其對于多變量這類題,一般可用整體代換消參求解,平時做題要多領悟總結.

解法5 (拼湊法+基本不等式)

因為

點評利用基本不等式求最值的關鍵是將相關代數式進行適當的變形,通過添項、拆項等方法湊成“和為定值”或“積為定值”的形式,然后利用基本不等式求解最值.拼湊法的實質是對代數式進行靈活變形,拼系數、湊常數是關鍵.

解法6 (積換元+基本不等式)

點評當出現或可以化為形如由兩個字母如x,y組成的對稱式時,我們就可以將代數式用基本對稱式x＋y,xy表示出來,即稱x＋y,xy為輔助元,這種方法稱為和(積)換元.運用和(積)換元法可化簡求值、因式分解解方程(組),還可以證明命題,解答某些壓軸題和某些數學競賽題.

解法7 (倒數換元+基本不等式)

點評倒數法是換元法的一種,先將題中的倒數用整式的字母代替,再將其轉化成整式方程并求出整式的解,主要在分式結構中可轉化為整式,此解法也稱雙換元法,即根據多項式的特征用兩個字母(元)分別代換原多項式的代數式.

解法8 (局部、整體換元+根與系數的關系)

點評本解法本質上與解法2一樣,無非是要實現多次換元,利用換元法得到關于a的方程a2－t2a＋16＝0有兩個正實根,再利用根與系數的關系求解.

3 變式訓練

變式已知正數a,b,且ab－a－2b＝0,求＋b2的最小值_________.

解法1 (基本不等式+二次函數)

解法2 (消元策略+基本不等式)

當且僅當t＝1時,等號成立.

解法3 (三角換元+基本不等式)

解法4 (商換元+基本不等式)

求二元代數式的最值或值域問題,不應僅限于基本不等式,有時可從方程判別式、導數等思路入手.由于此類題型結構一般短小精悍,解答靈活多變,變形思維要求較高,所以在平時的學習或復習過程中,學生要先運用已有知識及方法嘗試性地解決問題,再在教師的引導下歸納總結,這樣對問題的理解才能逐步深入,進而抓住問題本質,只有這樣才能在考試中找到合理的解題途徑,提高解題效率.同時平常多進行一題多解訓練,有利于調動自己的學習積極性,培養發散性思維,有利于鍛煉思維的靈活性,靈活地選擇解題切入點.更重要的是解題后要做到一題多思、多變,對多種解法進行反思,提煉共性,區分個性,揭示不同解法之間的關聯.善于總結試題規律,能做到一題多解、多思、多變,高考數學備考就會收獲多多.

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鏈接練習參考答案

(完)