利用導數研究復雜不等式問題的方法探究

李 虎

(廣東省中山市第一中學)

本文收集了一學年以來,在歷次考試和作業中,學生出現問題較嚴重或反復問的重難點問題,主要以導數研究復雜的不等式問題為契機展開,分享給將要學習這一塊或高三復習這一塊內容的學生.這一塊內容一直是學生比較害怕的,得分率也比較低,但從最近幾年的高考看,這塊內容的分值占比還比較大,因而需要學生在復習備考中,沉下心來,多梳理總結,發現規律.

1 方法探究

1.1 隱零點法

當導函數的零點無法求解時,可以借助單調性和零點存在性定理確定零點的大致范圍,此時需要注意導函數等于零這一條件的應用,因為它往往起到化簡的作用.

1.2 切線放縮法

切線放縮法即對于一個函數來說,取其某點的切線,如果函數圖像在切線的一側,則可以得到一個不等式,這個不等式即為切線放縮不等式.

1.3 凹凸反轉

凹凸反轉法是指一個函數如果本身沒有最小值(或最大值),但是除以一個比自己增長速度慢(或速度快)的函數后有最小值(或最大值),則其具有凹凸性,常用它證明不等式.

例3已知函數f(x)＝axeax＋(a＋b)x,g(x)＝(1＋x)lnx.

(1)當a＝－b＝1時,證明:f(x)＞g(x)在(0,＋∞)上恒成立;

(2)若?x∈(0,＋∞),都?b∈[－1,0],使f(x)≥g(x)恒成立,求實數a的取值范圍.

證明(1)證法1(切線放縮法) 由于ex＞x＋1,故在x＞0上,xex＞x(x＋1)＞(x＋1)lnx.

1.4 同構式

同構式法是指將結構相同的代數式分離出來,再構造函數利用函數的單調性進行研究.這里經常用到如下兩個恒等式:

下面用同構式法求解例3的第(2)問.

解析因為?b∈[－1,0],使f(x)≥g(x)恒成立,令φ(b)＝axeax＋(a＋b)x,則只需要φ(b)max≥g(x),即axeax＋ax≥(1＋x)lnx在x∈(0,＋∞)上恒成立,整理得

設F(x)＝x(ex＋1),則F′(x)＝ex(x＋1)＋1,又F″(x)＝ex(x＋2),所以當x＞－2時,F″(x)＞0,F′(x)單調遞增;當x＜－2時,F″(x)＜0,F′(x)單調遞減,故當x＝－2時,F′(x)有最小值F′(－2)＝,所以F(x)在R 上單調遞增,式①即F(ax)≥F(lnx),所以ax≥lnx,即

1.5 構造輔助函數

構造輔助函數的關鍵是將各個值中共同的量用變量替換,再利用函數的單調性比較大小.

例4(2021年全國乙卷理12)設a＝2ln1.01,b＝ln1.02,c＝－1,則( ).

A.a＜b＜cB.b＜c＜a

C.b＜a＜cD.c＜a＜b

綜上,b＜c＜a,故選B.

1.6 定義域分段研究

如果導數題目中含有三角函數,因三角函數本身固有的周期性、有界性、單調性,故需對函數的定義域進行分段研究,更好地利用三角函數的性質.

例5已知函數f(x)＝ex＋cosx－2,f′(x)為f(x)的導函數.

(1)當x≥0時,求f′(x)的最小值;

(2)當x≥－時,xex＋xcosx－ax2－2x≥0恒成立,求a的取值范圍.

解析(1)由題得f′(x)＝ex－sinx,f″(x)＝excosx.當x∈[0,π)時,f″(x)為增函數,且f″(x)≥f″(0)＝0;當x∈[π,＋∞)時,f″(x)≥eπ＋1＞0.故當x≥0時,f″(x)≥0,故f′(x)為[0,＋∞)的增函數,即f′(x)的最小值為f′(0)＝1－0＝1.

若a＞1,則由(1)知,h′(x)＝ex－sinx－a在[0,＋∞)上單調遞增,且

h′(0)＝1－a＜0,h′(1＋a)≥e1＋a－1－a＞0,故存在唯一x2∈(0,＋∞),使h(x2)＝0,當x∈(0,x2)時,h(x)單調遞減,h(x)＜h(0)＝0,此時xh(x)＜0,矛盾.

綜上,a≤1.

1.7 變方程為不等式

有些方程的根無法解出時,可以借助代換法,將其整體代換,再結合不等式求其值.

2 小結

導數只是研究函數的一個工具,其主要作用是將研究函數的單調性、極值、最值問題轉化為研究導函數的符號.不等式問題有時會與最值、極值問題綜合考查.這兩年的考題有涉及二階導函數甚至三階導函數,需要學生梳理導數的知識脈絡.條理清晰是解答導數題目的關鍵,學生平時要多總結一些解題技巧和方法,尤其是熟悉新教材的例題和課后題的結論.

(完)