策略得當,大小比較
——求解大小比較問題的技巧方法

劉文娥

(山東省青島西海岸新區第三高級中學)

函數值或參數值的大小比較問題是高考的熱點,問題以各種形式創新設置,要求學生合理判斷相應的大小關系.此類問題考查的主干知識是冪、指數、對數函數的變形與運算,以及冪函數、指數函數或對數函數的圖像與性質的合理應用等,并結合函數與方程、函數與導數、不等式等其他相關知識,綜合考查學生的基礎知識與基本能力,倍受各方關注.本文對近年高考數學真題進行分析,歸納函數值或參數值大小比較問題的常見方法與基本策略,形成知識網絡體系,以期引領與指導數學學習與復習備考.

1 放縮法

例1(2022年全國甲卷文12)已知9m＝10,a＝10m－11,b＝8m－9,則( ).

A.a＞0＞bB.a＞b＞0

C.b＞a＞0 D.b＞0＞a

分析先對指數式與對數式進行互化,再利用對數函數的單調性確定參數m的取值范圍,進而根據代數式的結構特征,利用指數函數的單調性,以及指數冪的性質合理放縮處理,最終通過確定兩代數式的正負取值情況達到比較大小的目的.

解由9m＝10,可得m＝log910＞log99＝1,而

可得a＞0＞b,故選A.

點評利用放縮法處理大小比較問題的關鍵是先對代數式進行恒等變形與轉化,再借助不等式的基本性質、函數的單調性合理放縮、快速判斷.

2 利用不等式結論

例2(2022年新高考Ⅰ卷7)設a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln0.9,則( ).

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.a＜c＜b

分析利用切線不等式(ex≥x＋1,當且僅當x＝0時,等號成立;lnx≤x－1,當且僅當x＝1時,等號成立)、重要不等式(當x＞1時,恒有lnx＜)成立)等相應的“二級結論”進行分析和判斷.

綜上,c＜a＜b,故選C.

點評利用此方法進行大小比較時,經常借助一些涉及指數與對數、三角函數等方面的不等式結論,以及不等式的基本性質加以求解,體現了函數與不等式等知識之間的綜合應用.

3 特殊值法

例3(2020年全國Ⅰ卷理12)若2a＋log2a＝4b＋2log4b,則( ).

A.a＞2bB.a＜2bC.a＞b2D.a＜b2

分析分別將b＝1與a＝4代入題中所給等式,根據等式確定另一參數的取值范圍,進而結合題目中給出的相應選項加以合理排除,最終得出所求問題答案.

解由2a＋log2a＝4b＋2log4b,令b＝1,可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝4,可知a∈(1,2),由此可排除選項A,D.令a＝4,可得4b＋2log4b＝2a＋log2a＝18,可知b∈(2,3),由此可以排除選項C.

綜上,選B.

點評特殊值法在破解選擇題中有一定的用武之地,簡單易操作,當然在一些大小比較的問題中也有一席之地,巧妙選取特殊值需要一定的技巧.但利用特殊值法解題具有一定的局限性,要多嘗試選取特殊值進行驗證.

4 中間值法

例4(2015 年山東卷文2)設a＝0.60.6,b＝0.61.5,c＝1.50.6,則a,b,c的大小關系是( ).

A.a＜b＜c

B.a＜c＜b

C.b＜a＜c

D.b＜c＜a

分析求解本題可先利用不等式、函數的基本性質估算出對應參數a,b,c所對應關系式的變化范圍,再選取中間值進行比較,最終給出正確判斷.

解 由于0＜b＝0.61.5＜0.60.6＝a＜0.60＝1,c＝1.50.6＞1.50＝1,所以b＜a＜c,故選C.

點評估算法契合《考試說明》中“能根據要求對數據進行估計,并能進行近似計算”的基本精神.特別地,對于大小比較問題,只要合理估算,借助中間值(常見的如0,1等)進行比較,不用直接求出各對應代數式的精確值,可以減化運算,優化解題過程.

5 泰勒展開式法

例5(2022年全國甲卷理12)已知a＝,b＝cos,c＝4sin,則( ).

A.c＞b＞a

B.b＞a＞c

C.a＞b＞c

D.a＞c＞b

分析根據高等數學中的余弦函數、正弦函數的泰勒展開式進行合理放縮,最終確定三者的大小關系.

解根據泰勒展開式

綜上,c＞b＞a,故選A.

點評泰勒展開式是高等數學中的相關內容,是高中數學知識的拓展與課外提升部分,是高中數學競賽中的相關知識點.借助泰勒展開式法進行大小比較,有時能出奇制勝.但此類方法不是高中數學教學和學習的主要內容,只是作為高中數學知識的拓展,給競賽或學有余力的學生一些知識拓展.

函數值或參數值的大小比較問題,形式多樣,但離不開基本的知識點,合理總結破解此類問題的通性通法,掌握基本的破解技巧與策略,進一步落實基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗這“四基”,全面承載函數與方程思想、化歸與轉化思想、特殊與一般思想,培養抽象概括、推理論證、運算求解能力,提升數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養.

(完)