函數視域下比較指數值與對數值大小問題的策略研究

2022-10-26 06:29:46李波馮菲

高中數理化 2022年19期

李波馮菲

(四川省南充高級中學)

指數值與對數值比較大小的問題涉及函數與方程、不等式、導數等知識,常用的方法有作差、作商、中間變量、構造函數、不等式放縮等,綜合性強、涉及面廣、解法靈活,能較好地考查學生數學核心素養,因此該類題受到命題者的青睞.如表1所示,筆者通過分析2018—2022年有關指數值與對數值大小比較高考真題,發現該題型主要出現在選擇題壓軸題中,以函數為載體,考查函數的性質、零點、求導法則、導數的幾何意義、極值點偏移等,但構造函數的方法靈活多變,學生不易入手.為此,筆者查閱了大量資料,整理出構造函數比較指數值與對數值大小問題的基本策略,現整理成文分享給各位讀者,如有不妥之處,還望批評指正.

表1

1 觀察結構,直接同構或作差(商)構造函數

綜上,①②正確,③錯誤,故選C.

說明“a∨b”表示比較a與b的大小.

點評若比較大小的兩個式子結構相似(或相同)、例如同底、同冪,則可以直接構造函數,利用函數的單調性比較大小.

2 配湊數值,構造同一變量函數

例3(2022年新高考Ⅰ卷7)設a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln0.9,則( ).

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.a＜c＜b

點評破解此題的關鍵是觀察與審題,發現數值共性,巧妙構造函數,并結合題目中數值的特征確定函數的定義域,以便判斷導函數的符號,靈活運用函數單調性與導數的關系、函數零點的分布等知識來比較大小,解答的過程中也可能用到不等式進行放縮.

3 借助常見不等式,放縮與構造函數

綜上,②③正確,①錯誤,故選C.

點評利用常見的不等式放縮,誤差可能會放大,也更容易比較大小,常見的不等式有ex＞x＋1,ln(x＋1)＜x,lnx＞1－,sinx＜x＜tanx (x∈(0,)).

4 運用指數與對數性質構造同底、同冪函數

例5(2020年全國Ⅰ卷理12)若2a＋log2a＝4b＋2log4b,則( ).

則f(x)在(0,＋∞)上單調遞增,又f(a)＜f(2b),所以a＜2b,故選B.

例6(2017年全國Ⅰ卷理11)設x,y,z為正數,且2x＝3y＝5z,則( ).

A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z

例7設a＝0.50.2,b＝log0.20.5,c＝log0.50.2,則a,b,c的大小關系為( ).

A.a＞b＞cB.c＞b＞a

C.c＞a＞bD.b＞c＞a

綜上,c＞a＞b,故選C.

點評通過指數與對數的基本性質運算化簡,將數轉化為同底、同冪,再利用函數的單調性比較大小,可能會用到的公式有ars＝(ar)s,logab·logba＝1,logambn＝,m＝logaam＝alogam(a＞0且a≠1),學生需要熟練掌握并能靈活運用這些公式,使用換底公式時,首先考慮常用對數與自然對數.

5 利用導數的運算法則,構造函數

例8已知函數y＝f(x)的圖像關于y軸對稱,且x∈(－∞,0),f(x)＋xf′(x)＜0成立,a＝20.2·f(20.2),b＝logπ3f(logπ3),c＝log39f(log39),則a,b,c的大小關系為( ).

A.b＞a＞cB.c＞a＞b

C.c＞b＞aD.a＞c＞b

解析由導數的運算法則知,構造函數F(x)＝xf(x),因為y＝f(x)的圖像關于y軸對稱,所以函數y＝f(x)為偶函數,易知F(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－F(x),即F(x)為奇函數.又當x∈(－∞,0)時,F′(x)＜0,所以F(x)在(－∞,0),(0,＋∞)上單調遞減.因為log39＞20.2＞logπ3,所以F(log39)＜F(20.2)＜F(logπ3),即c＜a＜b,故選A.

點評以導數的運算法則為背景,考查綜合類題目,主要涉及求導的乘法法則

并結合函數的單調性與奇偶性等知識進行考查,同時也考查了分類討論、數形結合、函數與方程思想.

6 變量分類與變形,構造函數再出發

例9已知a,b∈(1,＋∞),且2(a＋b)＝e2a＋2lnb＋1,e為自然對數的底數,則( ).

A.1＜b＜aB.a＜b＜a

C.2a＜b＜eaD.ea＜b＜e2a

解析由2(a＋b)＝e2a＋2lnb＋1,知e2a－2a－1＝2(b－lnb－1),令f(x)＝x－lnx－1(x＞0),則f′(x)＝,易知f(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,＋∞)上單調遞增.又e2a－2a－1＝2(blnb－1),所以f(e2a)＝2f(b)＞f(b),結合a,b∈(1,＋∞),知b＜e2a,則