例談直線的標準式參數方程在解題中的應用

崔 禹 李曉玲

(山東省桓臺第一中學)

一般地,直線l的標準式參數方程為(t為參數),其中α為直線l的傾斜角,且α∈[0,π),直線l必過定點M0(x0,y0).

在直線l的標準式參數方程中,|t|表示直線上的動點M到定點M0的距離.

若直線l與曲線C相交于M1,M2兩點,設點M1,M2對應的參數分別為t1,t2,則有如下結論成立:1)弦長|M1M2|＝|t1－t2|;2)若定點M0(x0,y0)為弦M1M2的中點,則t1＋t2＝0;3)若弦M1M2的中點為M,則點M對應的參數tM＝

1 求線段中點的坐標與線段長之和

點評一般地,遇到直線與曲線交于兩點,往往需要先得到關于“t”的一元二次方程,再考慮利用根與系數的關系以及參數t的幾何意義解題.

2 直線與圓相交,求線段長之和的取值范圍

例2已知l是過定點P(4,2)且傾斜角為α的直線,圓C:x2＋y2－4x＝0.若直線l與圓C相交于不同的兩點M,N,求|PM|＋|PN|的取值范圍.

解析依據題意,可得直線l的參數方程為(t為參數),代入圓C的方程整理可得關于t的一元二次方程,即

根據題設可知Δ＝16(sinα＋cosα)2－16＞0,化簡得sinαcosα＞0.

從而t1＋t2＝－4(sinα＋cosα)＜0,又因為t1t2＝4＞0,所以t1＜0,t2＜0.

注意到點P(4,2)在直線l上,因此根據參數t的幾何意義得

點評本題側重考查直線與圓知識的綜合運用,具有一定的難度,解題過程需關注兩點:一是準確分析兩個參數t1,t2與零的大小關系;二是根據Δ＞0分析傾斜角α的取值范圍.

3 直線與拋物線相交,求弦長

例 3已知直線l的參數方程為(t為參數),求直線l被拋物線C:y2＝4x截得的線段AB的長.

點評本題極易出錯,特別提醒——只有當t前的系數滿足“平方和為1”時,直線的參數方程才是標準式參數方程.

4 直線與拋物線相交,求參數的值

于是,將式①和式②代入化簡可得實數a＝1.

點評本題具有一定的綜合性,求解過程需要關注兩點:一是將|MN|是|PM|與|PN|的等比中項轉化為|t1－t2|2＝|t1|·|t2|;二是靈活運用根與系數的關系及方程思想.

5 求焦半徑倒數之和的值

點評運用“直線參數t的幾何意義”這一解題方法時,往往需要考慮根與系數的關系才能較為順利地進行化簡、運算.運用根與系數的關系解題時,應熟練以下代數變形:

總而言之,遇到涉及與線段長度有關的求值或求解取值范圍問題時,如果能夠靈活運用直線的標準式參數方程,那么往往能化難為易,獲得一個簡捷、明了的解答過程.而解題的關鍵是必須明確直線的標準式參數方程中參數的幾何意義;否則,較難順利找到具體的解題思路,解題過程極易出錯.

(完)