透視二次函數常見的五大考點

江陳峰

(江蘇省西亭高級中學)

作為基本初等函數,二次函數既是初中數學知識點,也是中考數學的重要考點.這足以證明二次函數的重要性.高考中對二次函數的考查往往以“三個二次”(二次函數、二次方程和二次不等式)為載體,其綜合性得到加強.那么高考命題中,對二次函數是如何考查的呢?

1 二次函數的圖像與性質的應用

高中的二次函數與初中研究的重點不同,初中研究其圖像及其應用,而高中研究其性質及其應用.

例1函數f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函數,且在(0,＋∞)單調遞增,則f(2－x)＞0 的解集為( ).

A.{x|－2＜x＜2} B.{x|x＞2或x＜－2}

C.{x|0＜x＜4} D.{x|x＞4或x＜0}

解析因為f(x)是偶函數,所以b－2a＝0,則f(x)＝ax2－4a＝a(x－2)(x＋2),又因為f(x)在(0,＋∞)上單調遞增,所以a＞0.由二次函數的性質不難發現,不等式f(2－x)＞0的解集是{x|x＜0或x＞4},故選D.

點評本題將一元二次函數的性質與一元二次不等式綜合在一起,體現了高考對二次函數基礎題考查的要求.

2 與二次函數有關的零點及方程個數

我們知道,一元二次函數至多有兩個零點,而當一元二次函數中含有絕對值符號時,零點就發生了變化.帶絕對值的一元二次函數時常出現在高考中,這類問題具有一定的難度.

例2已知函數f(x)＝|x2＋3x|,x∈R.如果方程f(x)－a|x－1|＝0恰好有4個互不相同的實數根,那么實數a的取值范圍是_________.

解析如圖1所示,將f(x)＝|x2＋3x|和g(x)＝a|x－1|的圖像畫在同一個平面直角坐標系中,于是原問題就轉化為f(x)與g(x)的圖像剛好有4個交點.當直線y＝a(x－1)與拋物線y＝x2＋3x(或直線y＝－a(x－1)與拋物線y＝－x2－3x)相切時,函數f(x)與g(x)的圖像剛好有3 個交點.將y＝a(x－1)代入y＝x2＋3x,整理可得

圖1

x2＋(3－a)x＋a＝0.

由Δ＝(3－a)2－4a＝0,解得a＝1或9.

又當a＝0時,f(x)與g(x)僅有兩個交點,所以0＜a＜1或a＞9.

點評對于零點個數問題一般可以采用數形結合方法求解,一元二次函數也不例外,通過構造一定一動的兩個函數,在動函數的圖像移動中可直接找到答案.

3 二次函數零點(一元二次方程根)的分布

二次函數零點(一元二次方程根)的分布問題,出現在“函數與方程”的章節中.作為一種數學思想,函數與方程是高中數學解題必備的策略,而根的分布問題恰好體現了這個思想,所以這個考點常常出現在函數綜合題中.

例3已知函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b∈R,a≠0).

(1)當a＝1,b＝2 時,若存在實數x1,x2(x1≠x2)滿足|f(xi)|＝2(i＝1,2),試求實數c的取值范圍;

(2)若a＞0,函數f(x)在[－5,－2]上不單調,且該函數圖像與x軸相切,記f(2)＝λ(b－2a),試求實數λ滿足的取值范圍.

解析(1)由題意知方程x2＋2x＋c＝2有兩個不相等的實數根,且x2＋2x＋c＝－2無實數根,于是有所以－1＜c＜3.

(2)因為a＞0,函數f(x)在[－5,－2]上不單調,且該函數圖像與x軸相切,所以

點評本題第(1)問明顯是二次函數的零點分布問題,而第(2)問看似與二次函數的零點分布問題無關,但要求λ的取值范圍,必須先確定的取值范圍,這時需用到f(x)在[－5,－2]上有極值點,這也是一個零點分布問題.

4 含參數的二次函數

討論參數,是高中數學的重要題型,因此含參數的二次函數問題時常出現,難度中等或中等偏上.

例4如果函數y＝的值域是[0,＋∞),那么實數a的取值范圍為( ).

A.(2,＋∞)

B.(－∞,－1)∪(2,＋∞)

C.[－1,2]

D.[0,2]

解析因為函數y＝的值域是[0,＋∞),所以t＝2ax2＋4x＋a－1能取遍[0,＋∞)上的所有實數.

當a＝0時,函數t＝4x－1能取遍[0,＋∞)上的所有實數,只需它的定義域滿足[,＋∞)即可.

當a≠0時,為使t＝2ax2＋4x＋a－1能取遍[0,＋∞)上的所有實數,只需滿足條件

解得0＜a≤2,故0≤a≤2,選D.

點評這里需特別注意定義域是R 與值域為[0,＋∞)的區別,根據值域是[0,＋∞)可知函數t＝2ax2＋4x＋a－1能取遍[0,＋∞)上的所有實數;而定義域為R,等價于2ax2＋4x＋a－1≥0恒成立.這是兩個不同的概念,不可混為一談.

5 與二次函數有關的復合函數

在高考中,為提高二次函數的考查難度與力度,往往將二次函數問題與復合函數相結合,解題時需要弄清楚內函數與外函數之間的關系.

例5已知函數f(x)＝ax2＋2x＋1,若f(f(x))≥0在R上都恒成立,則實數a的取值范圍為________.

點評本題是一個二次函數與復合函數的問題,具有一定的難度,解答時應注意內函數的值域就是外函數的定義域.

總之,高考對二次函數的考查一般不會單獨命題,而是隱藏在函數的綜合題中,在解答這類問題時,需特別注意數學思想的合理運用.

(完)