關于一個重要不等式鏈的幾點注釋

劉 云

(江蘇省泰興中學)

不等式是高中數學的重要基礎知識,其中有一個需熟練掌握的重要不等式鏈

現給出其代數證明、幾何解釋以及相關練習,旨在從“數”與“形”以及應用角度,幫助讀者進一步加深、拓寬對重要不等式鏈的準確理解與到位認識.

注:a＞0,b＞0 是重要不等式鏈成立的前提條件,其中是a,b的調和平均數,是a,b的幾何平均數是a,b的算術平均數是a,b的平方平均數,而且a＝b是其中每一個不等式取等號的充要條件.

1 重要不等式鏈的代數證明

2 重要不等式鏈的幾何解釋

如圖1所示,點D,F均在圓O上,點C在圓O的直徑AB上,AC＝a,CB＝b,并且DC⊥AB,FO⊥AB,連接DA,DO,DB,FC,經過點C作OD的垂線,垂足為E.根據圖1 可知,圓O的半徑r＝

圖1

(1)因為Rt△ADB斜邊上的高為DC,所以由射影定理得DC2＝AC·CB＝ab,即DC＝.又易知DO≥DC,所以可得不等式,當且僅當C,O兩點重合,即a＝b時不等式取等號.

3 重要不等式鏈的相關練習

例1若a＞0,b＞0,則稱為a,b的調和平均數.如 圖2 所 示,O為 線段AB的中點,以AB為直徑作半圓,點C在線段AB上,且AC＝a,CB＝b.點D在圓弧上,作DC⊥AB,垂足為C.連接OD,AD,BD,過點C作OD的垂線,垂足為E.那么可知:圖中線段OD的長度是a,b的算術平均數,線段_________的長度是a,b的幾何平均數,線段________的長度是a,b的調和平均數.

圖2

解析因為DC是Rt△ADB斜邊上的高,所以根據射影定理得CD2＝AC·CB,所以CD＝,即線段CD的長度為a,b的幾何平均數.

于是,可 知OE＝從而DE＝OD－OE＝,即DE的長度為a,b的調和平均數.

例2甲、乙兩位采購員同去一家糧食銷售公司買了兩次糧食,兩次糧食的價格不同,兩位采購員的購糧方式也不同.其中,甲每次購買1000kg,乙每次購糧用去1000元錢,誰的購糧方式更合算?

點評通過本題的層層求解,可知以真實生活問題為素材,通過細致分析可獲得一個重要不等式——如果a＞0,b＞0,a≠b,那么不等式成立.

(完)