2022年清華大學強基計劃測試數學第13題的解答與推廣

吳 康

(華南師范大學)

題目(2022年清華大學強基計劃測試數學第13題)已知ax＋by＝1,ax2＋by2＝2,ax3＋by3＝7,ax4＋by4＝18,則ax5＋by5＝_________.

據學生回憶,2020年清華大學強基計劃測試數學試題共20道選擇題,2021年情況類似.本題也是學生回憶版,真實情況待定.如果懂得廣義二階冪和式的遞推性質,可在3分鐘內解決.以下給出解答與推廣.

點評本題有多種推廣方法,以下自編問題均為填空題,難度中等,計算量適中至稍大,可供類似考題參考.

點評從前兩個方程消去S1,再將第三個方程代入,可得關于u的一元二次方程.本題是已知Sn(n＝0,2,3,4)的值,求S5,因所知Sn的下標n的值不連貫,少了n＝1,導致符合本題要求的解有2個.

將n＝0,1,2代入,可得關于u,v,S2的三元二次方程組

點評前兩個方程消去S0,得u2＝uS2＋v,與后兩個方程可消去S2,再消去v,化簡可得(u－1)2(u2＋2u－9)＝0.本題是已知Sn(n＝－1,1,3,4)的值,求S0S2S5,因所知Sn的下標n的值有兩處不連貫,少了n＝0,2,導致符合本題要求的解有3個.其實應認為本題有4個解,其中2個解相同,有1個解就是著名的斐波那契數列.

點評求解本題用到了廣義三階冪和式的遞推性質.此類型可繼續推廣.

點評求解本題用到變系數廣義冪和式的遞推性質,也可直接求解題設方程,得(a,b,x)＝(3,－4,1)或(－,－5),稍繁.

變式9設(a＋b)x＋cy＝0,(2a＋b)x2＋cy2＝－1,(3a＋b)x3＋cy3＝2,(4a＋b)x4＋cy4＝18,(5a＋b)x5＋cy5＝70,(6a＋b)x6＋cy6＝214,則(7a＋b)x7＋cy7＝________.則S7＝uS6－vS5＋wS4＝5×214－8×70＋4×18＝582.

點評求解本題用到變系數廣義冪和式的遞推性質,若直接求解題設方程,將會相當煩瑣.

在不超過4階的情形,還有f(t)為(t－x)(t－1),(t－x)2(t－1),(t－x)4,(t－x)2(t－y)(t－1)和(t－x)(t－y)(t－z)(t－u)這幾類的冪和式問題,留給對命制數學問題感興趣的讀者.以下問題針對三角函數的特殊形式命制,其背景仍為廣義冪和式.

點評本題直接通過解方程求b和θ的值,則計算量較大.

等的數列{Sn},已知若干項求其他項的題目,留給感興趣的讀者.

(完)