強基計劃中的復數問題
——以清華、北大的校測筆試試題為例

2022-10-26 06:29:34唐浩哲

高中數理化 2022年19期

唐浩哲

(北京市十一學校)

強基計劃目標是選拔有志于服務國家重大戰略需求且綜合素質優秀或基礎學科拔尖的學生,選拔依據主要是考生高考成績和高校的校測成績.在大學里,復數是復變函數課程的基礎,也是電磁學、量子力學等理工科課程的重要工具,因此復數成為了各高校強基校測筆試的熱門考點.從近3年清華和北大兩所高校校測筆試試題來看,復數問題主要涉及復數的代數形式、三角形式、單位根等內容,又與函數、方程、不等式、向量等相結合.

點評本題考查了復數的三角形式和乘除運算,比較靈活.也可以用特殊值法求解:令z1＝1,解得z2＝1±2i,則

例2(2020 年清華大學)復數z滿足|3z－7i|＝3,令z1＝,則|z1|的( ).

點評求解本題的關鍵在于先對z1進行化簡,避開煩瑣的計算,再利用復數的幾何意義求解.

例3(2020 年清華大學)已知f(z)＝z10＋,則( ).

A.f(z)＝0存在實數解

B.f(z)＝0共有20個不同的復數解

C.f(z)＝0的復數解的模長都等于1

D.f(z)＝0存在模長大于1的復數解

綜上,f(z)＝0 共有20 個虛根,且模長均為1,選BC.

點評本題用到了實系數方程的虛根是成對共軛出現的這一性質,再配合根與系數的關系求出方程①的共軛虛根的模長.

點評本題雖然涉及復數,但實際考查代數變形和根與系數的關系.通過變形和換元,巧妙地將待求式子轉化為一個新方程的所有根之和,再使用根與系數的關系求解.若把原式直接通分再用根與系數的關系代入計算,也可求出答案,但計算量比較大.

例5(2021年清華大學)設a,b是非零復數,z1,z2是方程x2＋ax＋b＝0 的兩個復根,且|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|,則( ).

A.存在正實數λ,使得z2＝λz1

B.b是正實數

C.存在實數μ≥4,使得a2＝μb

D.存在正實數ν,使得a＝νz1

解析由|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|,可知z1,z2在復平面上對應的向量同方向,則z2＝λz1(λ＞0),A 正確;a＝－(z1＋z2)＝－(1＋λ)z1,D 錯誤;b＝z1z2＝,B 錯誤;μ＝＋2≥4,C正確.

綜上,選AC.

點評求解本題的關鍵在于結合復數的幾何意義理解條件|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|.

例6(2021年清華大學)設n是正整數,模長為1的復數z滿足zn＋z＋1＝0,則( ).

A.|z＋1|＝1 B.z的實數部分為－

C.n－2是3的倍數 D.滿足條件的z是唯一的

解析依題意,zn,z,1在復平面內對應的3個模長為1的向量可以首尾相連成封閉的三角形,結合幾何作圖可知

故A,B正確,D 錯誤;無論是哪種情況,都有zn＝z2,因此n－2是3的倍數,C正確.

綜上,選ABC.

點評本題考查了復數的單位根,對于這一類問題,一定要尋求整體變形和代換,并利用好對稱性,而不能陷入零碎的計算之中.

例8(2021年北京大學)設f(x)＝x2＋2x＋2,定義f(1)(x)＝f(x),對n≥1,定義f(n＋1)(x)＝f(f(n)(x)),則方程f(2021)(x)＝0 所有復根的平均值為( ).

A.－1 B.－2

C.－2022 D.前三個答案都不對

解析設f(2020)(x)＝0 的所有復根為t1,t2,…,tm,由f(2021)(x)＝f(f(2020)(x)),可知f(2021)(x)＝0 的所有復根由m個方程f(x)＝tk(k＝1,2,…,m)的復根所構成.注意到對任意的k＝1,2,…,m,f(x)＝tk都有兩個復根,且這兩個復根的平均值均為－1,所以方程f(2021)(x)＝0所有復根的平均值為－1,故選A.

點評本題也可以先從求f(x)＝0和f(f(x))＝0的復根的平均值這一簡單的情況入手,形成初步的猜想和解題思路,再探討一般情況.

例9(2022年清華大學)在復平面上,復數z1在連接點1＋i和1＋ai(a∈R)的線段上,復數z2在以原點為圓心,半徑為1的圓上.若點z1＋z2的可能位置所組成的圖形面積為4＋π,則a的值為( ).

A.－1 B.1

C.3 D.5

解析當a＞1時,z1＋z2在復平面所對應的區域是以(1,1)為圓心,1為半徑的圓周向上平移a－1個單位時掃過的區域.該區域可看成是上半圓、下半圓以及中間的一個矩形,即＋2(a－1)＋＝4＋π,解得a＝3.當a＜1時,同理可得a＝－1.

綜上,選AC.

點評求解本題的難點在于對z1＋z2的幾何意義的認識.

例10(2022年清華大學)復數z滿足|z|＝1,則|(z－2)(z＋1)2|的最大值為( ).