巧選視角切入,妙用方法證明
——2022年高考數(shù)學(xué)全國甲卷第23題

高生軍

(黑龍江省大慶市東風(fēng)中學(xué))

不等式證明是數(shù)學(xué)問題中的重難點,其證明過程無固定的模式,證明的技巧性強,推理過程復(fù)雜,證明方法又多種多樣.本文結(jié)合一道高考真題,發(fā)散思維,多方法切入,展示常規(guī)證明方法.

1 真題呈現(xiàn)

題目(2022年全國甲卷理23)已知a,b,c均為正數(shù),且a2＋b2＋4c2＝3,證明:

(1)a＋b＋2c≤3;

(2)若b＝2c,則

分析此題涉及二元與三元不等式證明,是不等式應(yīng)用中具有一定典型性的一類問題.此題的求解關(guān)鍵是巧妙利用條件a2＋b2＋4c2＝3,第(2)問還可以直接利用第(1)問的結(jié)論與條件b＝2c,通過合理轉(zhuǎn)化與變形,進而利用不等式的性質(zhì)、重要不等式等分析,特別要注意對應(yīng)重要不等式的限制與條件.

2 真題破解

(1)方法1 (作差比較法)

由于a,b,c均為正數(shù),且a2＋b2＋4c2＝3,而

則(a＋b＋2c)2≤3(a2＋b2＋4c2)＝3×3＝9,即a＋b＋2c≤3,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2c＝1時,等號成立,所以a＋b＋2c≤3.

點評根據(jù)題目條件中的關(guān)系式與所證關(guān)系式之間的聯(lián)系,借助作差比較法求解.作差比較法簡單易懂,關(guān)鍵是系數(shù)的合理配湊、代數(shù)式的重新組合與完全平方公式的應(yīng)用等.

方法2 (基本不等式法)

由于a,b,c均為正數(shù),且a2＋b2＋4c2＝3,所以

當(dāng)且僅當(dāng)a2＝1,b2＝1 且4c2＝1,即a＝b＝2c＝1時,等號成立,解得a＋b＋2c≤3.

點評根據(jù)題目條件中的關(guān)系式,合理配湊常數(shù),結(jié)合所證關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征進行組合,借助基本不等式進行放縮處理,再通過求解不等式來達到證明的目的.運用基本不等式法求解或證明問題,關(guān)鍵是對比條件與結(jié)論之間的聯(lián)系正確配湊系數(shù).

方法3 (柯西不等式法)

由于a,b,c均為正數(shù),且a2＋b2＋4c2＝3,根據(jù)柯西不等式可得(12＋12＋12)[a2＋b2＋(2c)2]≥(a＋b＋2c)2,則(a＋b＋2c)2≤3×3＝9,即a＋b＋2c≤3,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2c＝1時,等號成立,所以

點評由于題目條件中的關(guān)系式與所證關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征符合柯西不等式的應(yīng)用條件,因此合理配湊相關(guān)的系數(shù),利用柯西不等式加以轉(zhuǎn)化,結(jié)合不等式的性質(zhì)進行求解.柯西不等式是解決含多變元平方關(guān)系式的最值問題比較常用的一種技巧.

方法4 (三角換元法)

點評對題目條件中的關(guān)系式進行兩次三角換元處理,再利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變形與輔助角公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)確定代數(shù)式的最值問題,這是解決問題常用的一種技巧.三角換元法可以將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式,巧妙借助三角函數(shù)的相關(guān)知識來確定最值、取值范圍,從而求解不等式的證明等問題.

(2)方法1 (基本不等式法)

由于a,b,c均為正數(shù),且b＝2c,由(1)知a＋b＋2c＝a＋4c≤3,即0＜a＋4c≤3,根據(jù)基本不等式可得

點評借助前面證明的不等式對所證分式不等式進行放縮處理,配湊出兩個和式的乘積,再利用基本不等式法進一步放縮,進而巧妙證明對應(yīng)的不等式.基本不等式法是處理雙變元代數(shù)式的最值、取值范圍或不等式成立問題常用的一種技巧.

方法2 (均值不等式法)

由于a,b,c均為正數(shù),且a2＋b2＋4c2＝3,b＝2c,則a2＋8c2＝3,根據(jù)均值不等式可得

點評對已知條件消元處理,借助組合與配湊技巧將不等式配湊成三元均值不等式的形式,進而利用三元均值不等式求解.涉及三元及其以上的均值不等式法應(yīng)用,關(guān)鍵是正確的組合與合理的配湊.

方法3 (權(quán)方和不等式法)

點評先對不等式進行合理的系數(shù)配湊與轉(zhuǎn)化,再利用權(quán)方和不等式進行求解.權(quán)方和不等式是解決含分式關(guān)系式的最值問題比較常用的方法,求解的關(guān)鍵是對不等式的形式和系數(shù)進行配湊與轉(zhuǎn)化.

方法4 (三角換元法)

點評先進行三角換元處理,再利用權(quán)方和不等式加以合理放縮,通過等號成立的條件確定對應(yīng)的三角函數(shù)值,進而證明對應(yīng)的不等式.利用三角換元法解題時,有時直接利用三角恒等變換或三角函數(shù)的相關(guān)知識,有時要結(jié)合重要不等式合理放縮.

3 小結(jié)

求解不等式問題,關(guān)鍵是熟練掌握基本的常規(guī)證明方法,在此基礎(chǔ)上可以合理選用一些技巧方法.只有深刻理解與掌握不等式的實質(zhì),熟練掌握一些重要不等式以及常用的證明方法(如作差或作商比較法、三角換元法等),才能靈活應(yīng)用,發(fā)散思維.

(完)