例談基本不等式在高考中的應用

謝文龍

(云南省下關第一中學)

基本不等式的應用是近幾年高考考查的熱點,基本不等式主要用于判斷數值的大小、求解取值范圍以及最值,這類問題題型較多,重點考查學生利用所學知識解決問題的能力.

1 利用基本不等式比較大小

綜上,a＞b＞c,故選A.

點評本題主要考查了學生利用基本不等式比較大小,考查學生分析問題和解決問題能力,解題的關鍵在于基本不等式的應用.

變式已知a＝log75,b＝log97,c＝1.110.1,則a,b,c的大小為( ).

A.c＜a＜bB.a＜b＜c

C.b＜a＜cD.c＜b＜a

解析先分析得到c＞1,0＜a＜1,0＜b＜1,再利用作差法結合基本不等式判斷a,b的大小.c＝1.110.1＞1.110＝1,a＝log75＜log77＝1,

2 利用基本不等式求范圍

例2(2022 年新高考Ⅱ卷12,多選題)若實數x,y滿足x2＋y2－xy＝1,則( ).

A.x＋y≤1 B.x＋y≥－2

C.x2＋y2≤2 D.x2＋y2≥1

解析因為,而x2＋y2－xy＝1可變形為(x＋y)2－1＝3xy≤3)2,解得－2≤x＋y≤2,當且僅當x＝y＝－1 時,x＋y＝－2,當且僅當x＝y＝1時,x＋y＝2,所以A 錯誤,B正確.

對x2＋y2－xy＝1變形可得

所以C正確,D 錯誤.

綜上,選BC.

點評本題考查了利用基本不等式求范圍,考查學生對于基本不等式和重要不等式的應用以及轉化能力.

變式1若a＞0,b＞0,且a＋b＝2,則下列不等式恒成立的是( ).

綜上,選D.

變式2(多選題)已知a,b∈(0,1),且a＋b＝1,則( ).

A.a2＋b2≥

B.lna＋lnb≤－2ln2

C.lnalnb≥(ln2)2

D.a＋lnb＜0

解析利用基本不等式可判斷選項A;利用基本不等式結合對數函數的單調性可判斷選項B;利用特殊值法可判斷選項C;構造函數f(x)＝1－x＋lnx,利用函數f(x)在(0,1)上的單調性可判斷選項D.

對于選項A,因為1＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2),所以a2＋b2≥,當且僅當a＝b＝時,等號成立,故A 正確.

對于選項D,令f(x)＝1－x＋lnx(0＜x＜1),則f′(x)＝＞0,所以f(x)在(0,1)上為增函數,因為0＜b＜1,則f(b)＝1－b＋lnb＝a＋lnb＜f(1)＝0,故D 正確.

綜上,選ABD.

3 利用基本不等式求最值

例3(2022年全國甲卷理16)已知△ABC中,點D在邊BC上,∠ADB＝120°,AD＝2,CD＝2BD.當取得最小值時,BD＝_________.

例4(2022年新高考Ⅰ卷18)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

變式3在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC＝120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD＝1,則4a＋c的最小值為________.

當且僅當c＝2a＝3時,等號成立,則4a＋c的最小值為9.

(完)