函數視角下2022年高考試題中的比較大小問題

谷紅霞

(北京工業大學附屬中學)

在數學中,比較大小的過程本質上是確定兩個對象的不等關系.這類問題能考查學生的數學運算、數學抽象、直觀想象等數學核心素養,應用“函數、方程與不等式”的基礎知識解決問題的能力.除利用不等式的基本性質或基本不等式比較大小外,常用的方法還有特殊值法、作差(商)法、介值法、函數法.與此同時,近年來高考試題呈現出在高等數學視角下命題的趨勢,這要求學生能靈活應用基礎知識解決問題,也引導教師在復習備考中要深入淺出.

1 在知識體系中分析高考命題的角度

從高等數學的視角看函數,最為簡樸的可以說是多項式函數,要研究一般函數在某點鄰域的局部性質,可以用多項式函數局部逼近它,從而把此函數在某點的局部性質,歸于這個多項式函數的局部性質去研討.泰勒定理幫助函數實現了“局部多項式化”.

人教A 版普通高中數學教科書《必修第一冊》第五章三角函數的復習參考題第26題中,提到了英國數學家泰勒發現的公式.如果用高中數學學習者的眼光看高等數學中的泰勒展開式,就是用常數與冪函數進行加減乘除運算表示分式函數、指數函數、對數函數、三角函數.而略去展開式中三次方及以上的項,一側就出現了更為熟知的二次函數,便可以得到如下不等關系.

如果將不等式兩側各看作一個函數,再給定一個自變量的取值,就是兩個函數對應函數值的比較,一個個比較大小的題目就出現了,如:

從函數圖像上看,如果每個不等式中涉及的兩個函數,在某點附近二者的圖像幾乎要“貼”在一起了,難分彼此,那么用“圖像法”比較兩個量的大小就非常困難.

例如,利用圖1比較y＝與y＝1＋x＋x2在x＝0.1處的函數值的大小;利用圖2比較y＝ex與y＝1＋x＋在x＝0.2處的函數值的大小;利用圖3比較y＝cosx與y＝1－在x＝處的函數值的大小;利用圖4比較y＝ln(1＋x)與y＝x－在x＝0.1處的函數值的大小.這時就需要調整思路,從不同的角度構造新函數,利用導數確定函數的單調性,通過函數的單調性比較大小.

圖1

圖2

圖3

圖4

2 體會應用基礎知識解高考真題的過程

不等式與函數的結合不僅是知識的結合,更是知識與方法的交會.通過構造函數利用函數的單調性比較大小,不僅能夠迅速找到解決問題的途徑,而且能夠使繁雜的研究對象變得簡單.這樣可以很好地考查高中函數與導數的知識,而構造函數則較好地考查了數學抽象素養,解決問題的過程則考查了數學運算素養與推理論證能力.

2.1 比較結構細思量,同構異量用函數

例1(2022 年全國甲卷文12)已知9m＝10,a＝10m－11,b＝8m－9,則( ).

A.a＞0＞bB.a＞b＞0

C.b＞a＞0 D.b＞0＞a

解析觀察a與b的結構,容易想到函數f(x)＝xm－(x＋1),根據9m＝10 等價變形得到m＝log910＞1.由于a＝f(10),b＝f(8),所以只需用導數確定函數f(x)＝xm－(x＋1)在(7,＋∞)上的單調性.f′(x)＝mxm－1－1＞0(m＞1)在x∈(7,＋∞)上恒成立,所以原函數f(x)在(7,＋∞)上單調遞增,f(8)＜f(9)＜f(10).又f(9)＝9m－10＝0,所以a＞0＞b,故選A.

2.2 結構不同再觀察,同量異構用函數

例2(2022年新高考Ⅰ卷7)設a＝0.1e0.1,b＝,c＝－ln0.9,則( ).

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.a＜c＜b

解析顯然a,b,c在結構上不具有共性,觀察其對應的數字,聯想到0.9＝1－0.1,可以將其中的數字化異為同.故

下面比較b,c的大小,利用函數G(x)＝ln(1－x)在(0,1)上單調遞增,得到G(0.1)＞G(0)＝0,即b＞c.

此時必須比較a與c的大小,可設H(x)＝xex＋ln(1－x),則

當0＜x＜0.1 時,m′(x)＜0,函數m(x)＝ex(x2－1)＋1單調遞減.又m(0)＝0,所以m(x)＜0,H′(x)＞0,則H(x)單調遞增,H(0.1)＞H(0)＝0,即0.1e0.1＞－ln0.9,所以a＞c.

綜上,選C.

2.3 常見函數心中系,量變形變有聯系

3 從解題實踐中提煉的方法

3.1 理解學生,總結經驗

要鼓勵學生積極探討解題思路,給予學生試錯的機會.如解例3 時有學生先考慮b＝cos,c＝4sin,構造函數f(x)＝cosx－4sinx,想利用f(x)在(0,)上單調遞減進行比較.由可得,但,所以這個函數不利于比較大小.也有學生令a＝＝1－4×()3,設函數g(x)＝cosx－(1－4x3),考慮利用g(x)的單調性求解,但g′(x)＝－sinx＋12x2,不容易判斷導函數的正負.這些想法的產生是自然的,值得肯定.但從另一方面看,這個構造函數的思考過程過于片面,顯然對知識間聯系的認識不夠.

3.2 用好教材,一題多解

在高三復習時,利用教材中的題目,從不同的角度分析問題,打破原有學習過程中知識模塊間的壁壘,可以啟發學生創造性地應用知識解決問題.教材中有指數函數、對數函數比較大小的例題和習題,可以借助不同題目,體會用函數的單調性比較大小的優越性.如題目“比較log23,log34,log45 的大小”,可以通過結構上的相似性讓學生嘗試構造函數.將三個量分別等價變形為,則只需研究函數y＝在[2,＋∞)上的單調性.易知y＝在[2,＋∞)上是減函數,于是得到如果說一題多解可以打開思路,讓人豁然開朗,那么不同時期講解同一道題就意在突出不同的知識與方法,則耐人尋味.

3.3 關注思維,教之以法

解題應著眼于思考,正如約翰·杜威在《How We Think》的開篇中談到的:思維的緣由是遇到了某種困惑或懷疑.思維需要引導以實現價值;思維需要經常調節以避免輕信;思維需要通過調節使推理成為證明.

首先,保有好奇心.通過觀察弄清問題或困難是什么;從局部、凌亂的信息出發,聯想、分析、推測,直至了解整體的情況.讓好奇心成為整個過程的源動力.

其次,經常聯想.在解題中,要思索,尤其是推測、聯想出可能的解決方法.而聯想有快有慢、有寬有窄、有深有淺,沒有好壞之分,久而久之便有了“方向感”.

最后,有條理性地表達和總結.在解題后,不僅做到有條理地表達清楚,還要總結成敗經驗.此時仍要進行觀察,吸取教訓,吃一塹長一智.結合已有經驗中的不足,將最初看起來相互分離的條件連接到一起,這個過程好似各自歸位卻又渾然一體.

(完)