試談“猜想”在初中數學教學中的作用

威信縣第一中學 陳 潔

有一部分教師、家長和學生認為數學中的“猜想”是不動腦筋的亂猜、瞎想，總是覺得“猜”就是懶惰的表現，會誤入歧途，不能在數學教學中大肆宣揚.我認為這是一種偏見，是對“猜想”的完全否定.“猜想”就是在已有數學知識和教學事實的基礎上對未知量及其規律作出的似真判斷.合乎情理的“猜想”往往蘊含著創造性思維活動，它有時可以發現真理，有時也可以發現解題的有效途徑.縱觀數學發展史，“猜想”有著極為重要的作用，如哥德巴赫猜想、黎曼猜想……在漫長的歷史進程中，有些“猜想”可能被否決了，但隨之而來的，可能是更多奇妙的發現.

在數學學科中，許多性質定理和判定定理可以說是通過“猜想”得以實現的.在證明一個數學定理之前，我們總是要先猜測這個定理的內容及其證明思路，甚至是一次又一次的不斷嘗試.在幾次示范課中，我鼓勵學生大膽“猜想”，通過“猜想”四個環節（實驗→“猜想”的產生→“猜想”的驗證→正確結論）的層層遞進，激發學生的求知欲，教學效果較好，連學困生也能激起學習數學的興趣.

一、典型案例分析和啟示

案例1：垂徑定理

在講授“垂徑定理”時，如果教師直接寫出這一定理來加以論證，學生會感到太突然.教師不妨先讓學生來“猜想”它的內容.

教師讓學生課前準備一張圓形紙片，在上面任畫一條弦AB，過圓心O作直徑CD使CD⊥AB，垂足為E，這樣就構建了“垂直于弦的直徑”，如圖1.接著，教師請學生把這個圓形紙片沿直徑CD對折，讓他們仔細觀察分析，并提問：“同學們發現了什么？”學生甲回答：“弦AB被直徑CD分成的兩部分重合了.”學生乙回答：“弧AC和弧BC、弧AD和弧BD分別重合.”然后，教師引導學生產生“猜想”：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧.接著，教師又問：“這一‘猜想’對嗎？”然后引導學生對“猜想”進行驗證.

圖1

這樣一節課上下來，教師和學生都覺得非常輕松.學生在“猜想”的過程中，既動手又動腦，積極性較高，教學效果較好.

案例2：三角形內角和定理

“三角形內角和定理”這節課也可以用到“猜想”.學生在小學時就了解了“三角形內角和等于180°”的知識.在初中數學教學中，教師可以大膽地開展一些實驗，讓學生在實驗中獲得感性認識，去觀察、分析、概括出產生的“猜想”，然后再加以驗證.

教師讓學生做一個三角形紙片，把它的三個角用不同方式拼在一起（如圖2甲、乙），讓學生觀察三個角拼在一起好像構成一個平角.由此“猜想”：三角形三個內角之和等于180°.教師再提出疑問:“三角形內角和為什么是180°？”問題的提出激發了學生的求知欲。在拼圖的過程中，學生通過觀察不難發現原因，找到證明的途徑.

圖2

由此可見，實驗不僅產生“猜想”，又為“猜想”的驗證提供了很大的幫助.實踐證明在數學教學中大膽“猜想”，有助于激發學生學習數學的興趣和求知的欲望，從而增強他們學好數學的信心.

案例3：矩形的判定定理

在教學矩形的判定定理“對角線相等的平行四邊形是矩形”時，教師可引導學生通過“矩形的對角線相等”這一性質進行“猜想”：對角線相等的四邊形是矩形.討論時，一位同學認為這個命題是對的，并且畫出圖形給大家看（如圖3）.另一名同學說：“不行，我畫出的圖形不一樣（如圖4）.圖4是等腰梯形，它的兩條對角線也相等，但不是矩形.”通過討論學生最后得出“對角線相等的四邊形是矩形”的結論不成立。教師又引導學生“猜想”：“如果我們把四邊形改成平行四邊形呢？”學生討論了一下找不出反例。接著，教師引導學生來證明這個“猜想”。

圖3

圖4

通過驗證，教師和學生辨別出兩個命題的真假，雖然“對角線相等的四邊形是矩形”這一“猜想”被否決了，但是它可以讓學生更牢固地掌握矩形的判定方法——“對角線相等的平行四邊形是矩形”.

二、“猜想”在數學教學中有不可忽視的作用

1.“猜想”有助于調動學生學習數學的主動性和積極性.通過做實驗產生的“猜想”，是有根由的，不是無緣無故的“瞎猜”.在做實驗的過程中絕大多數學生都主動參與了活動，促進了獨立思考、合作交流、反思質疑的良好學習習慣的形成.

2.“猜想”有助于幫助學生尋求解題的有效途徑，有助于提高學生學習數學的興趣，激發他們的求知欲.很多學生認為數學太難了，枯燥無味.“猜想”可以讓他們在“玩”中“學”，在“學”中“玩”，積極參與學習活動，讓他們感受到學習數學的樂趣，從而激發學習數學的興趣.通過“猜想”的四個環節的層層遞進，教師不僅讓學生尋找到解題的有效途徑，還激發了他們的求知欲望.

3.“猜想”有一個主要的環節，那就是驗證.驗證時，學生需要去分析問題、解決問題，親自驗證“猜想”的正確與否.這就讓學生有了成功的體驗，他們會覺得自己還“行”，從而增強了他們學習數學的信心.

4.“猜想”有助于學生辨析知識，提高他們的識別能力，增強在學習和生活中的判斷能力.在案例3中，雖然有的“猜想”被否決了，但是學生“牢固”地掌握了矩形的判定方法，從另一個角度幫助他們識別對錯，從而提高了他們的識別能力，讓他們體驗成功與失敗，分享發現和成果.

5.“猜想”不但有助于提高學生的邏輯思維能力和空間想象能力，還有助于培養學生的創新意識和創造能力.