基于問題視角，提升思維素養(yǎng)
——以“雞兔同籠”問題為例

仲軼宏 江蘇省蘇州市吳江中學(xué)

計算思維是信息科技學(xué)科核心素養(yǎng)之一，計算思維教育已成為信息科技課程改革的趨勢。因此，筆者嘗試在教學(xué)中借助古代經(jīng)典數(shù)學(xué)的問題情境，讓學(xué)生真實(shí)參與到計算機(jī)解決問題的過程中，體驗(yàn)以“問題”為載體的思維過程，即發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程，實(shí)現(xiàn)思維的發(fā)散與碰撞，培養(yǎng)學(xué)生思維。

● 創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力

良好的情境可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氣氛，增強(qiáng)學(xué)生的求知欲。教師播放《雞兔同籠》動畫視頻，視頻中的“雞兔同籠”問題被寫在《孫子算經(jīng)》中，引導(dǎo)學(xué)生還原《孫子算經(jīng)》上的雞兔同籠數(shù)學(xué)題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”本環(huán)節(jié)從直觀情境感悟?qū)嶋H問題，抽象提煉出隱含的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生的探究興趣。在情境中喚醒學(xué)生的知識儲備、活動經(jīng)驗(yàn)和探究興趣，這樣的情境有助于學(xué)生深入探究。

● 設(shè)計算法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力

算法是對特定問題求解的描述，是一系列問題的清晰指令。教師圍繞“雞兔同籠”問題，對學(xué)生進(jìn)行異質(zhì)分組，以小組為單位，思考解決問題的方法。各小組展開頭腦風(fēng)暴，有的利用假設(shè)法、列舉法等求解，有的設(shè)變量利用方程式快速求解，有的借助電子表格軟件列舉求解，還有的編寫程序求解……最終歸納總結(jié)出人工計算、借助電子表格軟件工具和編程計算三種方式。教師借此拋出課堂任務(wù)一：如何利用WPS電子表格來解決“雞兔同籠”問題？

“上有三十五頭”，即雞和兔的總數(shù)為35，那么列表的時候把雞和兔可能的組合都列出來（雞1，兔34；雞2，兔33……雞33，兔2；雞34，兔1），分別利用WPS表格中的公式計算兔腳總數(shù)、雞腳總數(shù)和雞兔腳總數(shù)，利用公式復(fù)制便可以快速列出所有組合，如圖1所示。然后利用數(shù)據(jù)篩選功能，根據(jù)自定義條件（雞兔腳總數(shù)=94），便可以快速找出符合要求的雞兔組合。

圖1 雞兔同籠WPS列表法

本環(huán)節(jié)學(xué)生通過小組討論，把問題抽象出來，通過自然語言描述，形成了多種解題思路，鍛煉了分析問題的能力，體驗(yàn)了人工算術(shù)運(yùn)算與借助WPS表格實(shí)現(xiàn)計算機(jī)領(lǐng)域的計算的差異。算法就是解決問題的方法和步驟，自然語言背后承載著人類的符號化思維方式，但語言符號不夠直觀，有沒有更加直觀、形象的算法表述方式呢？

● 畫圖編程，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

流程圖是使用圖形表示算法思路的一種方法，也是進(jìn)行計算機(jī)編程的重要步驟。相比自然語言，流程圖更形象、直觀，容易理解，它將各種輸入、處理、判斷、輸出進(jìn)行了有效關(guān)聯(lián)，通過流程圖，把獨(dú)立存在的個體組成了一個新的整體結(jié)構(gòu)。畫程軟件為繪制流程圖提供了便利，并且可以將流程圖生成相應(yīng)的Python程序，進(jìn)行調(diào)試運(yùn)行。借此教師拋出第二個課堂任務(wù)：利用畫程軟件，修改完善“雞兔同籠”問題的流程圖，并體驗(yàn)調(diào)試運(yùn)行程序，如圖2和圖3所示。

圖2 雞兔同籠流程圖

圖3 雞兔同籠程序代碼

通過流程圖描述，讓學(xué)生對算法進(jìn)行思辨，形成完整的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，這樣不但簡化了算法抽象，還提升了解決問題的能力，使學(xué)生會一種，通一類，實(shí)現(xiàn)舉一反三。從流程圖到程序代碼，這個過程是對前面發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題能力的提升，是將解決問題過程實(shí)戰(zhàn)化。它既是思維挑戰(zhàn)，也是思維成果的展現(xiàn)，且重在思維的訓(xùn)練，而非代碼本身，使學(xué)生的結(jié)構(gòu)化思維能力和邏輯思維能力得到提升。另外，從人工計算轉(zhuǎn)變?yōu)橛嬎銠C(jī)編程，通過小組團(tuán)隊(duì)協(xié)作，增進(jìn)了學(xué)生對算法思想的理解。也就是說，從問題抽象到數(shù)學(xué)建模，從算法設(shè)計到流程圖，從程序代碼編寫到調(diào)試優(yōu)化，這一過程使學(xué)生能夠更好地體驗(yàn)和區(qū)分計算機(jī)解決問題與人工計算的差異。

● 優(yōu)化算法，提升學(xué)生的計算思維

實(shí)現(xiàn)了程序代碼，并不一定是優(yōu)秀的算法設(shè)計。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和算法設(shè)計，是程序編寫的前提。通過上述程序的調(diào)試運(yùn)行不難發(fā)現(xiàn)，任意輸入head和leg的值，其實(shí)可能是無解的，程序最后無法給出兔和雞的值，但卻沒有任何提示。這是因?yàn)樵谠O(shè)計算法的時候不嚴(yán)謹(jǐn)，考慮不周全。為了更好地優(yōu)化算法，教師可以提醒學(xué)生設(shè)置一個初始值變量，如answer=False，在for循環(huán)的結(jié)構(gòu)中添加if語句做判斷，即：當(dāng)條件為真時，通過break跳出循環(huán)結(jié)構(gòu)；當(dāng)判斷answer為真時，輸出ji和tu的數(shù)量，否則輸出“此題無解，請重新輸入”。借此拋出第三個課堂任務(wù)：優(yōu)化“雞兔同籠”程序代碼，并完善程序輸出。

判斷算法優(yōu)劣的關(guān)鍵是算法效率。在本題中，教師采用了嵌套的雙重for循環(huán)結(jié)構(gòu)，其實(shí)其運(yùn)行效率會較低，可以再次優(yōu)化算法，通過兔子和雞之間的數(shù)量關(guān)系，把雙循環(huán)變成單循環(huán)（如圖4），以減少循環(huán)運(yùn)行的次數(shù)，提高算法效率。優(yōu)化算法的過程，不僅考驗(yàn)學(xué)生的發(fā)散性思維，還考驗(yàn)學(xué)生算法設(shè)計思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，同時學(xué)生在優(yōu)化算法的過程中不斷碰撞出思維的火花，有助于養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，提升計算思維。

● 拓展遷移，落實(shí)學(xué)生的思維素養(yǎng)

“拓”意為開辟，“展”取張開、放開之意；遷移則為離開原來的所在地而另換地點(diǎn)。設(shè)計這個環(huán)節(jié)是將課堂中學(xué)到的知識轉(zhuǎn)化為一種能力，開拓學(xué)生視野，活躍學(xué)生思維，以解決新的問題。雞兔同籠問題雖然能很好地利用人工計算—WPS表格—編程三種方式解決問題，但學(xué)生難免有疑惑：花兩分鐘用方程式就能解決的問題，為什么要花更多的時間去用WPS列表法，或者學(xué)習(xí)Python編程解決呢？這不符合實(shí)際解決問題的需要。借此設(shè)計第四個（拓展）課堂任務(wù)：請選擇合適的方法求解“百雞百錢”問題。

人工計算：這是一個用方程式無法解決的問題，因?yàn)橛腥齻€變量，但卻只能列兩個方程式，顯然是無法求解的。WPS表格方式：利用WPS列表法，設(shè)計好字段和列舉方式，是可以實(shí)現(xiàn)的，但比較復(fù)雜耗時，需要先對問題進(jìn)行分析，規(guī)劃設(shè)計好相應(yīng)字段，才有利于問題求解。那么如何設(shè)計WPS表格字段呢？

題中共有6個變量字段即公雞、母雞、小雞各自的價格和數(shù)量和2個常量字段即總數(shù)量和總價。全部列舉顯然會使表格非常復(fù)雜。通過引導(dǎo)、分析和優(yōu)化，選取公雞數(shù)量、母雞數(shù)量、小雞數(shù)量（100-公雞數(shù)量-母雞數(shù)量）和總價（公雞數(shù)量*5+母雞數(shù)量*3+小雞數(shù)量*1/3）四個字段即可，把三個價格字段直接納入總價公式中。那么，怎么列舉呢？首先要考慮公雞、母雞、小雞可能的最大范圍。總價為100，公雞單價為5，那么最大的公雞數(shù)量是20，同理母雞數(shù)量為33。在列表的時候，可以依次固定公雞數(shù)量為1，列舉母雞數(shù)量范圍（1～33），公式計算小雞數(shù)量和總價，依次類推……直到公雞數(shù)量到20，如圖5所示。最后利用數(shù)據(jù)自定義篩選（總價=100），便可以快速求出符合的購買組合。

圖5 百雞百錢WPS列表法

Python編程：編程的思路和WPS列表法類似，即在一定范圍內(nèi)，逐個列舉并判斷其是否符合條件，若符合則輸出，這種由循環(huán)和判斷結(jié)構(gòu)組成的程序，其本質(zhì)是枚舉法，也稱窮舉法。把公雞、母雞和小雞分別定義成cock、hen和chick，循環(huán)結(jié)構(gòu)中公雞cock的范圍(1～20)、母雞hen的范圍(1～33)、小雞的范圍chick=100-cock-hen，設(shè)置雙重for循環(huán)，內(nèi)嵌一個if條件判斷語句（cock*5+hen*3+chick/3==100），利用print語句輸出符合要求的公雞、母雞和小雞的數(shù)量組合即可，如圖6所示。

圖6 百雞百錢程序代碼

從“雞兔同籠”問題拓展到“百雞百錢”問題，在兩者的對比體驗(yàn)過程中，讓學(xué)生思維得以升華，既有同一個問題不同求解方法的縱向?qū)Ρ龋钟胁煌瑔栴}相同求解方法的橫向?qū)Ρ龋玫伢w驗(yàn)了在解決復(fù)雜問題時，計算機(jī)編程更具優(yōu)勢，也解答了學(xué)生心中的疑惑。所以，在教學(xué)中，教師要基于問題視角，著眼于發(fā)現(xiàn)問題，精于看不見的算法設(shè)計思想，善于利用計算機(jī)編程解決問題，讓學(xué)生在具體問題情境的體驗(yàn)、探究、解決、運(yùn)用中實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階。