圖“說”疑難雜癥 圖“感”建構模型
——數形結合解決問題的教學思考

安徽馬鞍山市山南小學（234000） 俞潔文 唐尾玲

本文關于“圖感”內涵的認定基于三個方面的思考：一是學生關于數與圖（形）之間關系的直覺；二是學生對數和形關系的敏感度及辨別能力；三是學生在運用數形結合中產生的一種對數學的理解。下面將結合人教版教材的教學實例，闡述數形結合在攻克學習疑難點和建構數學模型中發揮的作用。

一、圖“說”抽屜原理——可視化思維還原學生視角

數學廣角作為小學數學的亮點內容，雖然拓寬了學生認識數學的視野，但其教學內容普遍存在容量大、難度大的問題，抽屜原理更是難中之難。蔣承飛老師在一次課堂教學觀摩研討活動中執教了“抽屜原理”一課，全課緊扣“總有”“至少”“蘋果數與抽屜數的關系”三大問題展開探究活動，將數形結合與抽屜原理融合后引導學生進行探究，進而建立模型，有效突破了難點。

【教學片段】關于“總有”的認識

伴隨3D打印彈珠游戲的介紹，課堂在學生喜愛的游戲活動中拉開帷幕。3D打印彈珠游戲的規則：有3個抽屜，給你3顆彈珠，只要有2顆彈珠進入同一個抽屜，就能中獎。

問題1：根據這個規則，你們最不希望出現什么情況？

問題2：有哪些情況能中獎？

問題3：為什么最不希望出現（1，1，1）？

蔣老師打破4顆彈珠、3個抽屜的常規教學方法，課始呈現3顆彈珠進入3個抽屜的情況，引導學生設想沒有2顆彈珠在同一個抽屜里（即最不利的情況），唯有（1，1，1）一種情況，從而完成記錄方法的介紹。這樣，面對4顆彈珠、3個抽屜的情況，學生就能輕松理解“此時第4顆彈珠無論怎么放，總有1個抽屜里有2顆彈珠”，感受到最不利的情況中蘊含平均分的知識。

【教學片段】關于“至少”的認識

教材是直接出示抽屜原理的結論，并呈現兩種思考方法：用枚舉法證明和用假設驗證推理。抽屜原理實際上是解決某種特定結構的數學或生活問題的模型，是一種數學思想方法。唯有讓學生經歷抽屜原理的探究過程，才能更好地發展學生的抽象能力和推理能力。這樣，學生不僅能理解抽屜原理，更能感受歸納演繹的邏輯推理思維。

出示：4顆彈珠進入3個抽屜后分別獲得幸運星的數量如圖1。

圖1

問：玩一次游戲至少能獲得幾顆幸運星？“至少”是什么意思？

4顆彈珠放進3個抽屜只有圖1的幾種情況：當其中1個抽屜最多有2顆彈珠時，就獲得2顆幸運星；當其中1個抽屜最多有3顆彈珠時，就獲得3顆幸運星；當其中1個抽屜最多有4顆彈珠時，就獲得4顆幸運星。至此，學生很容易得出“至少獲得2顆幸運星”這一結論。而借助圖形就能化解“在至多數中找至少數”這一難點，并總結出一個肯定的結論：把4顆彈珠放進3個抽屜里，不管怎么放，總有1個抽屜里至少有2顆彈珠。

抽屜原理教學的一個難點是建立模型，蔣老師將抽屜原理的兩個核心關鍵詞“總有”和“至少”分步展示，“總有”包含了所有的抽屜，“至少”包含了所有的情況，借助圖形將看不見的思維可視化，就能還原學生視角，突破教學難點。

二、圖“說”周期規律——根據間隔天數推算星期幾的新視角

學習“年、月、日”知識后，學生經常會遇到類似“2012年2月1日是星期三，小明3月2日過生日，這一天是星期幾？”的問題。這類問題有多種推算方法，如：運用月歷特點找到與2月1日一樣是星期三的日期有2月8日、15日、22日、29日，往后推，3月1日是星期四，3月2日是星期五。這種方法顯然不適合天數過多的問題。如：利用計算推理，2012年2月有29天，2月1日到3月2日共計31天，頭尾算1次經過30天，（29+2-1）÷7=4（星期）……2（天），2月1日是星期三，余2則往后推2天，是星期五。這種方法會讓學生搞不清楚日期算頭算尾的原理，也許今天記住步驟了，明天可能又忘了。反觀一些循環現象的周期問題，學生并不覺得難，為什么關于日期的循環問題就屢屢出錯？這時教師就可借助圖表幫助學生直觀理解推理的含義。

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一變：從橫排到豎列的演變。常規循環問題通常是橫向排列的，從橫排到豎列循環出現的規律相同，表述形式有變化，都是以“星期三、星期四、星期五、星期六、星期日、星期一、星期二”為一個周期不斷重復出現（如圖2）。

圖2

二變：增加日期與星期幾相對應（如圖3）。對于問題“如果1日是星期三，15日是星期幾？”，就可利用“日期按自然數遞進排列但不具備循環規律，星期具備7天一循環變化”的規律，當日期依附于7天一循環便同步產生了規律。根據這個規律來推算，15÷7=2（星期）……1（天），15日是第3個星期的第1天，即星期三。

圖3

三變：呈現生活中的月歷（如圖4）。對于問題“2012年2月1日是星期三，小明3月2日過生日，這一天是星期幾？”，觀察月歷，每個循環從星期三開始，按照“星期三、星期四、星期五、星期六、星期日、星期一、星期二”的規律循環，2012年2月有29天，2月1日到3月2日共計31天，把31天 放 入7天一組的循環中，列式（29+2）÷7=4（星期）……3（天），所以剩余3天是第五個循環的第三天，即星期五。

圖4

上述推理過程，均先借助圖表尋找“星期幾—星期幾”為一個7天的循環，再找出從頭至尾的日期一共多少天，放入循環中推算經過n個循環余下幾天，余下天數在第n+1個循環中重新排列，余下幾天就排在第幾。只要學生心中有一張圖表，解決此類問題就不那么困難了。

三、圖“說”奇數偶數——由圖形表征奇偶數特征培養直覺思維

對于五年級下冊第二單元的“和的奇偶性有什么規律？如何證明？”問題，教材要求運用舉例、借助幾何直觀的圖示、說理等方法解決，從而引導學生認識兩數之和的奇偶性的規律。學生通常會選用舉例的方法，但是舉例不能窮盡，而用字母說理涉及高難度的字母化簡，因此借助直觀的圖示探究規律是比較合適的方法。

【教學片段】圖形表征奇偶數

“秒殺比眼力”第一組：1個小正方形表示1，快速判斷下面組合圖形中（如圖5）的小正方形個數是奇數還是偶數。

圖5

觀察發現，偶數個小正方形拼成的形狀是長方形或正方形，奇數個小正方形可以排成一行，排成兩行總會多出1個小正方形。

圖6

在這兩組“秒殺比眼力”題目中，學生體驗到用什么樣的圖形可以表示奇偶數，以及如何用一個圖形表示任意一個偶數或奇數。

用圖形展現奇數與偶數的特征，充分將數與形結合起來培養學生的直覺思維，學生獲得了簡約而不簡單的體驗。

四、圖“說”“蝴蝶模型”——化繁為簡中提升數形關系的敏感度

五年級的多邊形面積的計算，涉及組合圖形面積和圖形拼組后的陰影面積計算。如圖7，正方形ABCD的邊長是8厘米，正方形GCEF的邊長是6厘米，求圖中陰影部分的面積。

圖7

學生的解答：

圖8-1的解答思路清晰：用大小兩個正方形面積之和減去三個三角形的面積，得出正確的結論。圖8-2的解答非常巧妙：連接AC得到梯形ACEG，以EG為底，陰影面積恰好等于三角形CEG的面積，也就是小正方形面積的一半。兩種不同的解法反映不同的思維層次，如何讓更多的學生掌握如圖8-2的解答方法？教師可以對學生進行以下訓練。

圖8-1

圖8-2

在圖9的梯形中，面積相等的三角形有哪幾組？學生喜歡稱三角形AOD與三角形BOC為一對蝴蝶的翅膀，即“蝴蝶模型”。通過圖形變式讓學生體會等底等高的三角形面積相等，并推斷出梯形中的“蝴蝶模型”左右兩邊的面積相等。將數與形結合建構模型，疑難問題變得簡單，學生獲得了成功的體驗。

圖9

綜上，教師要在教學中培養學生的“圖感”——在數學情境中“以圖表意、以圖表數、以數釋圖”的感知與理解能力，通過建立“圖感”助力學生理解現實生活中數與形的意義，理解或表述具體情境中的數量關系，建構數學模型，讓學習深度發生。