核心素養視域下的數學整體知識教學
——以“加減乘除是一家”一課為例

蘇州大學實驗學校（215031） 徐斌

自2016年9月正式發布《中國學生發展核心素養》總體框架以來，有關核心素養的意義和實施路徑成為教育領域的關注焦點。2022年發布的《義務教育數學課程標準（2022年版）》將“核心素養”作為數學課程目標，明確指出：“義務教育數學課程應使學生通過數學的學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養。核心素養是在數學學習過程中逐漸形成和發展的，不同學段發展水平不同，是制定課程目標的基本依據。”“數學核心素養具有整體性、一致性和階段性。”同時在課程實施的“教學建議”中進一步提出了“通過合適的主題整合教學內容，幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展核心素養”。

在當下的數學課程改革與實踐中，對一個單元整體知識教學的研究比較多，而對幾個單元甚至不同年級的相關單元知識的整體性教學尚缺乏深入研究和典型課例。事實上，如果學生習得的數學知識和技能總是局限于某一個單元或某一個年級，顯然不利于學生從整體上認識數學和理解數學，也會阻礙學生數學核心素養的形成，因此“總得有人去擦亮星星”。筆者曾在五年級進行了“小數四則運算復習”多單元整體知識教學嘗試，現在又欣喜地看到，安徽省特級教師夏永立大膽嘗試了一節體現整體知識教學的創新研究課“加減乘除是一家”（二年級），提交了一份極具借鑒意義的精彩課例。下面筆者就觀課后的幾點感想與大家分享。

一、關注教學內容的整體組織

教學內容是落實課程教學目標、發展學生數學核心素養的載體。一方面，教師應重視對教學內容的整體分析，了解數學知識的產生與來源、數學知識的結構與關聯、數學知識的價值與意義；另一方面，教師應在教學中引導學生在數學概念、原理、法則之間構建有效的認知鏈接，體會不同教學內容之間的一致性和可遷移性，從而讓學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題。

加、減、乘、除四則運算一直是第一學段數學教學的重點內容，現行教材一般在一年級上冊就開始教學加法和減法的意義及運算，然后在二年級上冊正式教學乘法和除法的意義及運算。關于四則運算的數值范圍，從一年級開始在自然數范圍內螺旋式上升地編排四則運算內容，從三年級開始逐步擴展到分數、小數的四則運算。當學生在二年級學習結束時，如何把四則運算的意義進行整體性關注和一致性教學？夏老師從計數與運算的關系入手，整體設計和組織了該節課的教學內容。

一節課只有40分鐘，要把分散在兩個年級里的多個單元的數學知識進行整體性教學，難度很大，這需要教師對教學內容進行整體組織。夏老師以一根數線（如圖1，小學階段尚未正式引入“數軸”這一概念）貫穿整節課，把加、減、乘、除法的基本含義和內在聯系進行了整體性教學。

圖1

夏老師首先讓學生在數線上移磁扣，體驗加法和減法運算之間的互逆關系。學生通過形象具體的教具移動，利用簡約和直觀的素材，明確了加減法的含義：加法就是繼續往后數的計數策略，減法就是倒著數的計數策略。

在初步溝通了加、減法之間的內在聯系后，夏老師進一步讓學生在數線上操作和理解乘、除法（如圖2、圖3）：

圖2

圖3

在學生分別建立了加法和減法、乘法和除法之間的關系后，夏老師再進一步溝通乘法和加法、除法和減法之間的內在聯系，即“乘法是特殊的加法”“除法是特殊的減法”，由此學生逐步體驗到“加減乘除是一家”。課末的由正數拓展到負數（如圖4），在激發學生的探究欲望的同時也為學生將來的學習埋下伏筆。

圖4

二、關注核心問題的整體引領

數學核心素養的落實離不開核心問題的引領，《義務教育數學課程標準（2022版）》中明確地將“發現問題、提出問題”作為與“分析問題、解決問題”并列的重要目標。一般的數學課堂，學生發現和提出問題的機會并不多，而教師則經常提出眾多駁雜的“問題”。因此通過核心問題引領教學成為有效學習的前提和保證。

眾所周知，問題是數學的心臟。在該課教學中，夏老師既沒有過多地講述與灌輸，也沒有一味地讓學生操作與探索，而是一直讓學生思考三個核心問題：我是誰？家在哪？還去哪？在這些富有哲思的核心問題的引領下，學生厘清了數學知識的內在聯系，實現了認知圖式的自我建構。

有了核心問題的整體引領，還需要通過分解具體問題來促進學生不斷探索與思考四則運算的本質。

（1）在教學加法和減法的含義和相互關系時，分別提問：在數線上，0的“家”在哪？0+1的新“家”又在哪里？它（圓形磁扣）怎樣回到原來的“家”？比較兩次移動的過程，有什么相同和不同的地方？

（2）在溝通加法和乘法的關系時，提問：剛才移動磁扣的時候，都是1格1格地移，還可以怎么移？幾格幾格地移，除了列加法算式還可以用什么運算？有了加法運算為什么還要學習乘法？

（3）在溝通除法和減法的關系時，提問：磁扣從8開始，向左2格2格地移，回到原來的家（0），你能想到什么算式？除法的含義是什么？你能用箭頭表示除法和減法的關系嗎？

（4）在教學乘法和除法的含義和相互關系時，提問：進行乘法和除法計算時，在數線上移磁扣有什么相同和不同的地方？乘法和除法有什么聯系？

（5）在學生理解四種運算的含義以及運算之間的聯系后，通過核心問題引發學生深度思考：加、減、乘、除四種運算之間有著怎樣的關系？

在上述核心問題的引領下，學生把曾經零散習得的四則運算知識進行了系統整理，不僅對加、減、乘、除法各自的含義有了更加清晰的認識，還認識到了加法運算是所有運算的源頭和基礎，四則運算之間具有整體性，運算的本質是計數，計數與計算之間具有內在一致性。可見，有了核心問題的引領，學生的學習就有了目標和方向，知識的理解和掌握就有了結構化的特征。

三、關注深度學習的整體建構

從廣義知識分類的角度來看，該課所學習的知識屬于“有組織的整體知識”（吳紅耘、皮連生主編《學與教的心理學》一書，華東師范大學出版社2020年版，第112頁），即指“圍繞某個主題或者按照一定的關系組織起來的一整塊的知識”。該課是對加、減、乘、除四則運算的系統整理與提升，不是單一的命題或事實，而是屬于典型的“一整塊”知識。這類知識學習的重點目標是理解。用奧蘇伯爾的同化理論解釋，理解的本質是原有的適當觀念同化新的知識，影響這類知識學習的最重要條件是原有知識及其組織的特征。

從心理學角度看，促進有組織的整體知識學習的重要外部條件是提高學習材料的“可懂度”，即通過有效的策略加工，把抽象的數學知識形象化，以順應兒童的年齡特征和認知規律，也就是把“學術形態的數學”轉化為“教育形態的數學”，把“冰冷的美麗”轉化為“火熱的思考”。夏老師精心設計了促進學生深度學習的教學策略，主要有以下三種：

一是采用直觀游戲活動。游戲是孩子的天性，興趣是最好的老師。在全課教學中，夏老師充分發揮了游戲化、活動化教學的優勢，只用了一個看上去不起眼的磁扣，引導學生在數線上不斷操作，進而在有趣的數學活動中理解四則運算的意義以及它們之間的內在聯系。夏老師還注意變換游戲活動的形式，除了有教師的直觀示范，也有個別學生的操作演示，還有全體學生的獨立操作與合作交流，以及游戲活動前后的猜測、驗證、對比、評價。這樣的活動教學，相當于給了學生一把智慧的鑰匙，讓學生打開數學學習之門，真正享受數學思考的樂趣。

二是采用數形結合方式。數學家華羅庚指出“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”。要讓二年級學生深入理解四則運算的含義，除了借助直觀的操作活動，還離不開數形結合的方式。夏老師通過直觀操作，幫助學生建立起磁扣移動的格子數、方向與計數、運算之間的內在聯系，促進學生由動作圖式過渡到具體運算圖式，進而發展為抽象運算。以此利用簡約的教學素材幫助學生實現深度的數學理解，從而促進學生數學思維的發展。

三是采用符號標志技術。所謂符號標志技術，是指在學習材料中加入未增加實際內容的標志或詞語，以強調材料的概念結構和組織的技術。本課學習的知識是典型的“有組織的整體知識”，因此特別需要通過這種凸顯學習材料結構和關系的技術來促進學生深度理解。夏老師全課除了采用動態的磁扣移動幫助學生在頭腦中形成動態表象，還通過半抽象半直觀的數線圖幫助學生在計數中理解計算，又利用板書的不同顏色、線條和符號標記等，圖文并茂地突出內容要點，使學生能夠選擇適當的信息，清楚四則運算之間的結構性和整體性聯系，進而把零散的運算概念建構成清晰的認知結構，體會不同運算之間遵循的共同規律，感悟不同運算的內在一致性。

四、關注教學板書的整體設計

我國本輪基礎教育課程改革已經進行了20年有余，無論是教育理念的更新還是教學方式的創新，始終方興未艾。然而改革過程中我們也發現，很多教師重視了教學方式的變革，重視了教學手段的更新，重視了教學內容的重組，重視了學習過程的體驗，重視了學習結果的評價，但是對板書設計的重視遠遠不夠，有時甚至整堂課不板書一個字，或者只是電子虛擬的課件式板書一閃而過，使得學生一堂課學下來并不能把握知識重點，更形成不了認知體系，制約了學生數學思維的發展和數學素養的形成。因此，教師應該充分認識到課堂板書的重要價值。

筆者欣喜地看到夏老師在這節課中十分注重板書的設計與教學（如圖5）。

圖5

上述板書設計具有結構性和整體性：既有直觀的數線以及可以移動的磁扣，也有具體的運算算式及得數；既有四則運算的典型舉例，也有四則運算之間的內在聯系；既有抽象的數字和符號，也有形象的線條與箭頭；既有學習的知識內容，也有學習的問題提出。這樣的板書，在有痕的提示中引領學生尋找知識之間的連接點，將碎片化的知識連成線、結成網、筑成塊；在無痕的提升中促進學生建立起結構化思維，形成了完整的認知結構。

筆者認為，板書是一節課的整體思路與框架，是課堂教學的運行線索與結構，也是教師教學智慧的寶貴結晶和創造，值得教師進行更多的研究與實踐。在此，讓我們重溫《義務教育數學課程標準（2011版）》“教學建議”中對板書的定位：“在應用現代信息技術的同時，教師還應注重課堂教學的板書設計。必要的板書有利于實現學生的思維與教學過程同步，有助于學生更好地把握教學內容的脈絡。”