將數(shù)學(xué)知識(shí)“打包”
——“加減乘除是一家”的教學(xué)探索

安徽合肥市西園新村小學(xué)南校（230000） 夏永立

【課前慎思】

二年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了加法、減法、乘法和除法的知識(shí)，知道了四則運(yùn)算的意義，但并不清楚它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。

在四則運(yùn)算中，加法、減法、乘法和除法并不是孤立的，而是有著緊密的聯(lián)系，是從前往后縱向聯(lián)結(jié)的，也是由此及彼橫向聯(lián)結(jié)的，更是由部分和部分、部分和整體內(nèi)部聯(lián)結(jié)的。加法和減法互為逆運(yùn)算；乘法和除法互為逆運(yùn)算；乘法是幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，它是從加法中“孕育”出來的；除法可以看作連續(xù)減去相同數(shù)的減法，它是從“減法”中生長出來的。為了讓學(xué)生知道四則運(yùn)算的本源，找到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的連接點(diǎn)，將腦子中散狀的概念串起來，組成知識(shí)鏈，形成完善的知識(shí)結(jié)構(gòu)，筆者努力尋找數(shù)學(xué)之“根”，讓數(shù)學(xué)知識(shí)生長出更多的“突觸”，從而枝繁葉茂。

基于以上的思考，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)復(fù)習(xí)拓展課，通過整合知識(shí)板塊凸顯知識(shí)的系統(tǒng)化，幫助學(xué)生更好地掌握知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系。教學(xué)中，通過“我是誰？家在哪？還去哪？”三個(gè)“大問題”，幫助學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生對(duì)運(yùn)算概念的“前世”和“今生”了然于心，真正享受數(shù)學(xué)思考的樂趣。通過用一個(gè)圓形磁扣（下文簡(jiǎn)稱“磁扣”）在數(shù)線上不斷進(jìn)行移動(dòng)，使得學(xué)生在多種數(shù)學(xué)活動(dòng)中理解四則運(yùn)算的意義以及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

【課堂實(shí)錄】

一、操作觀察，建立關(guān)系

師：一年級(jí)的時(shí)候我們學(xué)習(xí)了加法和減法，二年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)了乘法和除法。這節(jié)課我們一起來研究它們之間的關(guān)系。

出示數(shù)線圖（如圖1）：

圖1

師：你知道在數(shù)線上，0的“家”在哪嗎？這個(gè)磁扣應(yīng)該放在這條數(shù)線的哪里？（學(xué)生將磁扣放在數(shù)線圖上的0處）

師（板書算式：0+1）：我是誰？（張貼卡片：我是誰？）

生1：0+1。

師：0+1的新“家”在哪里？（張貼卡片：家在哪？）請(qǐng)將磁扣移一移。（學(xué)生操作，將磁扣放在1的位置）

師：磁扣是怎樣移動(dòng)的？

生2：向右移動(dòng)1格。

師：誰能表示這道算式的計(jì)算結(jié)果？

生3：0+1=1。

師：它（磁扣）現(xiàn)在怎樣回到原來的“家”？誰來移一移？（學(xué)生把磁扣從1向左移動(dòng)1格）

師：可以寫出一道怎樣的算式？

生4：1-1=0。

師：比較兩次移動(dòng)的過程，有什么相同和不同的地方？

生5：都是移動(dòng)了1格，但磁扣移動(dòng)的方向是相反的。

師：請(qǐng)說一道加法算式，并說說原來的“家”在哪里，現(xiàn)在怎樣移。如果想回到它原來的“家”，怎樣移？

師：請(qǐng)一位同學(xué)在數(shù)線上移動(dòng)磁扣，別的同學(xué)用算式表示。（學(xué)生把磁扣從2直接拿到5）師：誰能給他好的建議？

生6：磁扣應(yīng)該從2移到3，再移到4，最后移到5。

師：磁扣在5的位置，又怎樣回到原來的“家”呢？

生7：從5開始，向左移動(dòng)3格。

師：剛才移動(dòng)磁扣的過程，能用算式表示為2+3=5，5-3=2。

二、自主探究，溝通聯(lián)系

1.溝通加法和減法之間的聯(lián)系

師：在剛才移動(dòng)磁扣的過程中，加法是怎樣移的？減法呢？加法和減法之間有什么聯(lián)系？

生1：加法是向右移動(dòng)，減法是向左移動(dòng)。

生2：加幾就向右移動(dòng)幾格，減幾就是向左移動(dòng)幾格。

2.溝通加法和乘法之間的聯(lián)系

師：剛才移動(dòng)磁扣的時(shí)候，都是一格一格移的，還可以怎么移？

生3：可以2格2格地移，3格3格地移……

師（板書：2+2+2+2=）：我是誰？我原來的“家”在哪里？究竟該怎樣移磁扣呢？先在腦子里想，再在練習(xí)本的數(shù)線圖上將移磁扣的過程畫出來。

出示一位學(xué)生在數(shù)線圖上標(biāo)出移磁扣的過程（如圖2）：

圖2

師：原來的“家”在哪里？現(xiàn)在的“家”在哪里？磁扣是怎么移的？

生4：原來的“家”在0，現(xiàn)在的“家”在8，向右每次移2格，移了4次。

師：那么，可以列一道什么樣的算式？生5：加法算式。2+2+2+2=8。

師：還可以列一道什么樣的算式？

生6：乘法算式。2×4=8。

師：在移動(dòng)磁扣的過程中，加法和乘法有什么不一樣？

生7：加法是往右1格1格地移，而乘法是向右?guī)赘駧赘竦匾频摹?/p>

師：乘法算式是怎么得來的？

生8：乘法算式是由加法算式“長”出來的，當(dāng)相同的加數(shù)很多時(shí)，寫起來不太方便，可以用乘法算式來表示。

3.溝通除法和減法之間的聯(lián)系

師：觀察2+2+2+2=8，現(xiàn)在的“家”在哪里？原來的“家”又在哪里？可以怎么移？

生9：現(xiàn)在的“家”在8，原來的“家”在0，也可以2格2格地移。

出示一位學(xué)生在數(shù)線圖上標(biāo)出移磁扣的過程（如圖3）：

圖3

師：磁扣從8開始，向左2格2格地移，回到原來的“家”。你能想到什么算式？

生10：。

師：還可以用什么算式表示？

生11：8÷2=4。

師：前面已經(jīng)表示了加法和減法、乘法之間的關(guān)系，現(xiàn)在你能用箭頭表示除法和減法的關(guān)系嗎？

（學(xué)生嘗試）

師：剛才移磁扣的過程，可以用減法和除法算式表示，它們之間有什么聯(lián)系？

生12：除法可以看成是從一個(gè)數(shù)里面連續(xù)減去幾個(gè)相同的數(shù)。

4.溝通乘法和除法之間的聯(lián)系

師：結(jié)合剛才移磁扣的過程，觀察比較2×4=8和8÷2=4這兩道算式。乘法和除法有什么聯(lián)系？

生13：乘法是向右?guī)赘駧赘竦匾频模ㄊ窍蜃髱赘駧赘竦匾频摹?/p>

生14：乘法是向右跳動(dòng)磁扣，除法是向左跳動(dòng)磁扣。

三、合作交流，深化認(rèn)識(shí)

師（給學(xué)生每人一張畫有數(shù)線圖的練習(xí)紙，學(xué)生在數(shù)線圖上移磁扣，并把移的過程用箭頭表示出來，再寫出相應(yīng)的算式）：你還想幾格幾格地移？你能先寫一道連加的算式，再根據(jù)這道連加算式寫出乘法、減法和除法算式嗎？

師：你想怎么移磁扣？

生1：從0開始移磁扣，向右3格3格地移，移了3次。

師：你打算怎樣寫算式？

生1：3+3+3=9，3×3=9。

師：它現(xiàn)在又想回到原來的“家”了，可以怎樣移？

生1：從9開始3格3格地左移，移到0的位置。

師：你會(huì)寫算式嗎？

生1：。

師：這些是什么算式？

生2：加法算式、減法算式、乘法算式和除法算式。

生3：我是一格一格地移的，加法算式是1+1+1+1+1+1=6，減法算式是6-1-1-1-1-1-1=0，乘法算式是1×6=6，除法算式是6÷1=6。

生4：我是4格4格地移的，移了2次。加法算式是4+4=8，減法算式是8-4-4=0，乘法算式是2×4=8，除法算式是8÷4=2。

師：它們之間有關(guān)系嗎？

生4：加法和減法之間有關(guān)系，加法和乘法之間有關(guān)系，除法和減法之間有關(guān)系，除法和乘法之間有關(guān)系。

師：請(qǐng)嘗試畫箭頭表示四則運(yùn)算之間的關(guān)系。

（學(xué)生展示畫法：從加法畫一個(gè)箭頭到乘法，表示由加法可以得到乘法；從減法畫一個(gè)箭頭到除法，表示由減法可以得到除法；加法和減法之間畫雙箭頭，表示由加法可以得到減法，由減法也可以得到加法；乘法和除法之間畫雙箭頭，表示由乘法可以得到除法，由除法也可以得到乘法。）

師：它們之間有什么樣的關(guān)系？

生5：它們之間可以互相轉(zhuǎn)化。

師：加減是互逆的，相反的；乘除是互逆的，相反的。但是，乘法又是由加法“生”出來，除法是由減法“生”出來的。它們就像一家人一樣，關(guān)系非常密切。如果把加法比喻成爸爸，乘法就是兒子；如果把減法比喻成媽媽，除法就是女兒。

四、拓展延伸，遷移學(xué)法

師：剛才我們把磁扣從0向右移，還可以怎樣移？

生1：向左移。

師：從0開始，向左移1格，請(qǐng)同學(xué)們大膽猜測(cè)，可以用哪一道算式表示？

生2：0-1。

師：0-1等于多少？

（許多學(xué)生說“-1”）

師：你們都知道負(fù)數(shù)了，那在哪里見到過-1？生3：在電梯里，-1是地下一層。

師：0-2的新“家”在哪里？誰能移磁扣來表示？生4：將磁扣從0向左移2格。

師：這個(gè)數(shù)是誰呢？我們把0-2的結(jié)果暫時(shí)用□來表示（如圖4）。

圖4

師：0-3的“家”又在哪里？

生5：將磁扣從0開始移動(dòng)，向左移3格。

師：這次我們用△來表示0-3的結(jié)果（如圖4）。

師：你覺得是0-2的結(jié)果大，還是0-3的結(jié)果大？

生6：數(shù)線圖上的點(diǎn)越往左邊，數(shù)越來越小；數(shù)線圖上的點(diǎn)越往右邊，數(shù)越來越大。

師：其實(shí)數(shù)線圖上還隱藏著很多的奧秘，等待你們以后去發(fā)現(xiàn)。

五、回顧反思，形成結(jié)構(gòu)

師：這節(jié)課有新的收獲嗎？（學(xué)生回答略）

師：很多數(shù)學(xué)知識(shí)其實(shí)都不是彼此孤立的，是有聯(lián)系的，將它們串起來，就會(huì)形成新的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

【課后反思】

這是一節(jié)單元復(fù)習(xí)拓展課，是筆者基于對(duì)教材的理解，創(chuàng)編的一個(gè)課例，以表達(dá)對(duì)“大單元”教學(xué)的一些思考。

一、素材少

四則運(yùn)算的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？加法就是計(jì)數(shù)單位的累加，減法就是計(jì)數(shù)單位的遞減，乘法是由加法“生長”出來的，除法是由減法“生長”出來的。

在這節(jié)課中，筆者利用一條數(shù)線和一個(gè)圓形磁扣，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)線上移動(dòng)磁扣，從而感受加、減、乘、除之間的內(nèi)在聯(lián)系。簡(jiǎn)約和直觀的素材，為學(xué)生后續(xù)的探究學(xué)習(xí)搭建了“腳手架”。

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)能幫助學(xué)生明確知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，將零散的數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來，建立完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)中理解知識(shí)，就可以形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、空間大

這節(jié)課，采用“我是誰？家在哪？還去哪？”三個(gè)數(shù)學(xué)核心問題，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，讓學(xué)生的思維不斷延伸。“我是誰”是讓學(xué)生觀察一道算式，進(jìn)行思考。“家在哪？”是引導(dǎo)學(xué)生思考原來的“家”在哪里，新的“家”又在哪里，怎樣在數(shù)線上移動(dòng)磁扣才能夠找到新的“家”：可以1格1格地移，也可以幾格幾格地移；可以從左往右移，也可以從右往左移。最后，“還去哪？”實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)方法的遷移。也就是要不斷開闊學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的視野，為中學(xué)學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減法做好有效鋪墊。

放手讓學(xué)生獨(dú)立操作和合作交流，給予學(xué)生自主學(xué)習(xí)的時(shí)間和空間。筆者先讓學(xué)生自己寫一道連加算式，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維“由這道連加算式，我們可以想到哪些算式？”，然后讓學(xué)生自由地在自己的練習(xí)紙上畫線表示磁扣移動(dòng)的過程。這種開放式的練習(xí)，就給了學(xué)生很大的思考空間，而不是讓學(xué)生局限于某一道算式。學(xué)生通過交流辨析，對(duì)四則運(yùn)算關(guān)系的理解會(huì)更加深刻。

在以往的教學(xué)中，筆者都是自己畫箭頭，這種教學(xué)雖然很順暢，但是沒有給學(xué)生一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)。在這節(jié)課中，筆者嘗試讓學(xué)生畫箭頭，學(xué)生在畫箭頭的過程中有對(duì)話、有交流，認(rèn)識(shí)會(huì)更加深刻。

學(xué)生在動(dòng)手操作、畫圖表征和交流分享的過程中，將碎片化的知識(shí)連成線、結(jié)成網(wǎng)、筑成塊，建立了整體的結(jié)構(gòu)化思維，形成了完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

三、思考深

從一道簡(jiǎn)單的加法算式“0+1”開始，通過“原來的‘家’在哪里？”“怎樣移動(dòng)磁扣就可以找到新的‘家’？”“新的‘家’在哪里？”等問題，引導(dǎo)學(xué)生比較加法與減法的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)乘法與除法之間的關(guān)系，勾連出加、減、乘、除四則運(yùn)算之間的關(guān)系。

這節(jié)課不僅是讓學(xué)生理解加、減、乘、除之間的關(guān)系，還通過在數(shù)線上的磁扣可以向0的左邊移動(dòng)引出負(fù)數(shù)。低年級(jí)學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)有一定的生活經(jīng)驗(yàn)，所以這樣的學(xué)法遷移，不是超綱，而是一種系統(tǒng)化的學(xué)習(xí)，真正實(shí)現(xiàn)了為遷移而教。

本節(jié)課呈現(xiàn)了加、減、乘、除之間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和概括能力。在本節(jié)課中，學(xué)生掌握了探究知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的方法，積累了豐富的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，就能利用這些經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行大膽的“創(chuàng)新”，構(gòu)建新的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)。