地下圓形空洞地質雷達成像機理

韓佳明， 劉明明 ， 牛宇凱， 郭亞南 ， 金超

(西安科技大學大學建筑與土木工程學院， 西安 710054)

隨著中國基礎建設的不斷發展，老城區不斷進行翻新改造，城市地下空洞不論是數量還是位置上都發生了翻天覆地的變化[1]。城市地下空洞導致道路坍塌事故頻發，嚴重影響工程建設和城市的交通安全[2]?；谝陨显?，在城市進行工程施工時，尤其是在地下空洞多而復雜的市區，提前進行空洞的探測和識別是非常必要的[3]。地質雷達作為一種對地下管線、空洞進行探測的重要方法，在探測過程中會常常出現掃描圖像解析不明確的問題，因此對地質雷達掃描圖像進行細化分析就顯得尤為重要。

地質雷達(ground penetrating radar，GPR)，是一種基于電磁波方法的地球物理探測技術，在地下傳播過程中，通過對電磁波回波的研究和分析，就可以獲得地下目標體的幾何形態與空間位置[4-5]。國內外學者對雷達掃描圖像進行了大量研究，張勁松等[6]通過對不同管線進行雷達探測，對比分析各種管線雷達圖像水平跨度變化特征；馮德山等[7]基于可分離小波理論，實現小波系數空間與雷達電磁場之間的轉換，分析雙曲線弧長等變形情況；廉飛宇等[8]在研究地下管徑尺寸問題時，采用支持矢量機GPR圖像中的雙曲線，通過擬合后實現管徑參數的獲?。粡埿竦萚9]采用經過邊緣檢測后通過目標識別算法提取雙曲線特征，提高了雙曲線的完整；張鵬等[10]基于雙曲線模型，對三點定圓管徑計算方法的可靠性進行檢驗，發現管徑計算的準確度與GPR圖像成像效果有關；遲鳳霞等[11]采用有限元法研究邊界條件對探地雷達檢測效果的影響，結果表明波長與病害尺寸相近或更小時，檢測效果更為顯著；Sagnard等[12]、Ahmadi等[13]基于模板匹配技術和LS雙曲線擬合的半自動算法來檢測，定位管線雙曲線算法，該算法具有良好的檢測效果；Li等[14]在雙曲線模型中加入相對角度信息，有效地估算管線的半徑和埋深。

綜上所述，國內外學者分析地質雷達掃描圖像主要是基于雙曲線模型進行研究，對掃描曲線并沒有進行細化分析，而實際探測過程中，掃描曲線并不完全由雙曲線組成，故迫切需要將掃描曲線進行階段劃分?，F通過分析地質雷達天線緊貼地面水平移動過程中電磁波回波接收情況，將掃描圖像細分為三個階段，建立各階段水平距離與回波延時之間的關系，綜合分析了不同半徑的圓形空洞在不同埋深條件下電磁波的傳播規律與圖像的成像機理，最后，結合探測實例驗證了成像機理的準確性與實用性。

1 地下圓形空洞成像全過程

1.1 圓形空洞成像原理

地質雷達的發射天線向地下不斷發射固定中心頻率的電磁波信號，電磁信號遇到介電性質存在差異的界面發生反射，帶有電磁信息的反射波被接收天線接收，這樣的一次發射和接收過程為一道信號。然后地質雷達系統移至相鄰的下一位置發射和接收形成下一道信號。通過主機將接收到的信號放大，數字化后利用成像軟件就可以將無數條發射波信號轉化形成圓形空洞的探測曲線[15-16]。

在實際探測中，地質雷達發射的信號在二維平面中形成一個扇形面，在三維空間中形成一個圓錐體。如圖1所示，當地質雷達在位置1時，由于雷達天線掃描區域是一個扇形面，扇顯示；當地質雷達移動至位置2時，對圓形空洞的探測就屬于垂直探測，對B的探測形成的圓形空洞反射特征曲線就會在剖面圖的B位置顯示；同理，當地質雷達移動至位置3時，對B點探測形成的圓形空洞反射特征曲線就會在剖面圖的C位置顯示[17-18]。

圖1 地質雷達圓形空洞成像原理Fig.1 Imaging principle of circular cavity of geological radar

1.2 圓形空洞成像曲線階段劃分

當雷達緊貼地面形面與圓形空洞相交于B點，從而可以探測到B點的圓形空洞，而在時域記錄中，對B點探測形成的圓形空洞反射特征曲線就會在剖面圖的A位置探測時，假設天線收發同置，電磁波在地下均勻介質中傳播，傳播路徑較為簡單，經過圓形空洞反射回到接收天線。

如圖2所示，圓形空洞中心在雷達探測線上的投影點為x0，t0為x0處對應的圓形空洞回波延時，其他雷達探測水平位置為xi，對應的圓形空洞回波延時為ti，圓形空洞半徑為r，發射天線電磁波的波束角為2θ，假設介質是均勻的，因此波速v是常數。

圖2 地質雷達圓形空洞掃描曲線階段劃分Fig.2 Phase division of circular cavity scanning curve of geological radar

根據圖2可知，圓形空洞地質雷達掃描圖像是以圓形空洞圓心豎直方向為對稱軸的軸對稱圖形，將地質雷達緊貼地面掃描圓形空洞形成的關于水平距離與回波延時之間關系的曲線劃分為以下三個階段。

(1)第一階段從地質雷達發射信號在二維平面中形成的最大扇形面與圓形空洞剛接觸時的A點到最大扇形面半徑與圓形空洞的圓心在同一條直線的B點。

(2)第二階段從地質雷達發射信號在二維平面中形成的最大扇形面半徑與圓形空洞的圓心在同一條直線的B點到對稱軸右側最大扇形面半徑與圓形空洞的圓心在同一條直線的C點。

(3)第三階段從對稱軸右側最大扇形面半徑與圓形空洞的圓心在同一條直線的C點到對稱軸右側最大扇形面與圓形空洞剛接觸時的D點。

1.3 圓形空洞成像曲線方程

1.3.1 圓形空洞成像第一階段曲線方程

圓形空洞掃描曲線的第一階段如圖3所示。

圖3 地質雷達圓形空洞第一階段曲線形成原理圖Fig.3 The first stage curve formation principle diagram of circular cavity of geological radar

對于圓形空洞中的直角三角形根據勾股定理，有

(x-zisinθ)2+[zicosθ-(r+z0)]2=r2

(1)

式(1)中：x為雷達運行至與圓形空洞圓心垂直位置時的水平距離；zi為雷達運行過程中，掃描線與圓形空洞接觸時的距離；z0為雷達和圓形空洞圓心垂直時，掃描線與圓形空洞接觸的距離。

把z0=vt0/2，zi=vti/2代入式(1)可得第一階段曲線方程，即

[x-(vt/2)sinθ]2+[(vt/2)cosθ-(r+vt0/2)]2=r2

(2)

由式(2)可知，第一階段是以水平距離x為自變量，回波延時t為因變量的一般曲線方程。

1.3.2 圓形空洞成像第二階段曲線方程

圓形空洞掃描曲線的第二階段如圖4所示。

根據三角形勾股定理，有

(zi+r)2-x2=(z0+r)2

(3)

圖4 地質雷達圓形空洞第二階段曲線形成原理圖Fig.4 The second stage curve formation principle diagram of circular cavity in geological radar

把z0=vt0/2，zi=vti/2代入式(3)可得第二階段曲線方程，得

(4)

由式(4)可知，第二階段是以水平距離x為自變量，回波延時t為因變量的對稱中心坐標為(0,-2r/v)的雙曲線方程。其中雙曲線實半軸長a=t0+2r/v，虛半軸長b=(vt0/2)+r。

1.3.3 圓形空洞成像第三階段曲線方程

圓形空洞掃描曲線的第三階段如圖5所示。由于掃描曲線是以圓形空洞圓心豎直方向為對稱軸的軸對稱圖像，第三階段與第一階段的曲線對稱分布，所以第三階段曲線方程同為式(2)曲線方程。

圖5 地質雷達圓形空洞第三階段曲線形成原理圖Fig.5 The third stage curve formation principle diagram of circular cavity in geological radar

1.4 圓形空洞

由于地質雷達掃描曲線為軸對稱圖像，所以只需分析圓形空洞掃描曲線的第一階段與第二階段對稱軸左側即可。

第一階段由于雷達掃描圖是以雷達天線水平移動距離為橫軸，且向右為正，以電磁波回波延時為縱軸，且向下為正。對式(2)中x進行求導，可得

(5)

(6)

根據式(5)可知t′x<0，根據式(6)可知t″x>0，所以第一階段雷達掃描圖像在雷達掃描圖所處坐標系中為單調遞減的凹函數。

第二階段對式(4)中x進行求導，可得

(7)

(8)

同理在雷達掃描圖所處坐標系中，在對稱軸左側根據式(7)可知t′x<0，根據式(8)可知t″x>0，所以第二階段雷達掃描圖像對稱軸左側為單調遞減的凹函數。

綜上所述，當目標體為圓形空洞且雷達緊貼地面工作時，地質雷達在以水平位置與回波延時建立的坐標系中，圓形空洞雷達掃描圖像呈現對稱性的特征，將雷達掃描圖像細分為三個階段。其中第一階段為單調遞減的連續凹函數，第二階段對稱軸左側為單調遞減的連續凹曲線，第二階段對稱軸右側為單調遞增的連續凹函數，第三階段為單調遞增的連續凹曲線。而且由于雷達天線在掃描過程中，對稱軸左側電磁波在圓形空洞上的接觸區域逐漸增加至不變，雷達掃描圖的曲線厚度會呈現出不斷增大至穩定的趨勢。同理，對稱軸右側電磁波在圓形空洞上的接觸區域由不變至逐漸減少，雷達掃描圖的曲線厚度會呈現穩定至不斷減小的趨勢。

2 圓形空洞埋深與半徑對雷達掃描曲線的影響分析

2.1 圓形空洞雷達掃描曲線影響參數分析

地質雷達掃描天線發射信號形成的扇形面與圓形空洞剛接觸時，如圖6所示。

根據直角三角形ΔABC，則有

x=(r/sinθ+r+z0)tanθ

(9)

式(9)中：x為雷達掃描曲線對稱軸左側水平最大距離。把z0=vt0/2代入式(9)可得掃描曲線的水平距離最大范圍為

xmax=2(r/sinθ+r+vt0/2)tanθ

(10)

曲線第二階段水平距離如圖7所示。

根據直角三角形ΔAOB，有

x=(v0t/2+r)tanθ

(11)

圖6 掃描曲線最大水平距離示意圖Fig.6 Diagram of maximum horizontal distance of scanning curve

圖7 掃描曲線第二階段水平距離示意圖Fig.7 Horizontal distance diagram for the second phase of scanning curve

式(11)中：x為雷達掃描曲線第二階段對稱軸左側水平距離。根據式(10)和式(11)可知，雷達掃描曲線三個階段的水平距離分別為

(12)

由式(12)可知，雷達掃描曲線第一、三階段水平距離與圓形空洞的半徑有關，第二階段水平距離與圓形空洞的半徑和垂直探測時回波延時t0有關。

2.2 圓形空洞埋深對成像的影響分析

圓形空洞的深度位置信息具有重要的意義，圓形空洞隨著深度的增加或者減小，地質雷達探測成像特征必然發生一些形態上的變化，通過對成像形態的具體變化進一步分析，以研究地質雷達針對不同深度的圓形空洞雷達圖像的差異。

隨著地下圓形空洞埋深的增大，代表雷達電磁波傳到圓形空洞表面的時間增多，根據式(4)可知，雙曲線頂點坐標為(0，t0)，雙曲線頂點曲率為k=a/b2=4/[v(vt0+2r)]，其中a為雙曲線實半軸長，b為虛半軸長，隨著圓形空洞埋深的增大，頂點坐標中t0不斷變大，說明曲線的頂點位置不斷變深，頂點曲率公式中分子不變，分母增大，頂點曲率數值不斷減小，說明曲線頂點的尖銳程度不斷變小。根據式(6)和式(8)可知，隨著圓形空洞埋深的增大，|t″x|公式中分子變小，分母變大，雷達掃描曲線的三個階段|t″x|都不斷減小，說明曲線的彎曲程度逐漸變小。根據式(10)可知，曲線的最大水平距離隨埋深的增大而增大。根據式(12)可知，第一，第三階段水平距離與埋深、時間無關，水平距離保持不變，第二階段水平距離隨埋深的增大而增大。

因此整體對比可以得出如下結論：隨著圓形空洞埋深增大，曲線的曲率減小，曲線圖像趨于緩和，水平方向距離逐漸增大，曲線的特征體現出了張開弧度增大的趨勢。

2.3 圓形空洞半徑對成像的影響分析

圓形空洞的半徑大小同樣具有重要的意義，圓形空洞隨著半徑的增加或者減小，地質雷達探測成像特征必然發生一些形態上的變化，通過對成像形態的具體變化進一步分析，以研究地質雷達針對不同半徑的圓形空洞雷達圖像的差異。

隨著地下圓形空洞半徑的增大，式(1)～式(12)中r變大。根據式(4)可知，隨著圓形空洞半徑的增大，頂點坐標中t0保持不變，說明曲線的頂點位置不變，頂點曲率公式中分子不變，分母增大，頂點曲率數值不斷減小，說明曲線頂點的尖銳程度不斷變小。根據式(6)和式(8)可知，隨著圓形空洞埋深的增大，|t″x|公式中分子變小，分母變大，雷達掃描圖的三個階段|t″x|值都不斷減小，說明曲線的彎曲程度逐漸變小。根據式(10)可知，曲線的最大水平距離隨半徑的增大而增大。根據式(12)可知，三個階段的水平距離都隨半徑的增大而增大。

因此整體對比可以得出如下結論：隨著圓形空洞半徑增大，曲線的曲率減小，曲線圖像趨于緩和，水平方向距離逐漸增大，曲線的特征體現出了張開弧度增大的趨勢。

3 探測實例

地質雷達探測工程位于西安市區某工地區域，為避免地下空洞對周圍環境和施工安全造成不良影響，根據任務要求及工程特點，本次地下空洞現場實際探測工作采用Geophysical Survey Systems, Inc.美國勞雷地質雷達，使用了其3207A型探測天線，天線的頻率采400 MHz。

以下是測區范圍內經過GSSI美國勞雷地質雷達在現場探測的不同圓形空洞的雷達掃描圖，結合上文提到的掃描圖像分析原理與方法，對不同圓形空洞進行對比分析。

圖8～圖10為測區中半徑為400 mm圓形空洞的實測和理論掃描圖像，對比可知實測與理論掃描曲線一致。由于3個圓形空洞處于相同的均勻黃土介質中，黃土的相對介電常數為6，波速v=c/εr，其中c為電磁波在真空中的傳播速度，εr為介質的相對介電常數，說明波速v相同，而1號圓形空洞掃描曲線頂點處于2 ns處，2號圓形空洞掃描曲線頂點處于16 ns處，3號圓形空洞掃描曲線頂點處于32 ns處，所以3個圓形空洞的埋深逐漸增大。不同埋深圓形空洞掃描圖像各影響因素統計如表1所示。

圖8 1號圓形空洞地質雷達實測與理論掃描圖Fig.8 Field measurement and theoretical scanning map of No. 1 circular cavity geological radar

圖9 2號圓形空洞地質雷達實測與理論掃描圖Fig.9 Field measurement and theoretical scanning map of No. 2 circular cavity geological radar

圖10 3號圓形空洞地質雷達實測與理論掃描圖Fig.10 Field measurement and theoretical scanning map of No. 3 circular cavity geological radar

表1 不同埋深圓形空洞影響因素統計表Table 1 Statistic of influencing factors of circular cavity with different depth

對比分析可知，相同半徑的圓形空洞隨著埋深增大，圓形空洞掃描曲線彎曲程度逐漸變小，曲線頂點的尖銳程度也逐漸變小，曲線圖像趨于緩和，水平方向距離逐漸增大，曲線的特征體現出張開弧度增大的趨勢，實際情況吻合理論及檢測結果。

圖9～圖12分別為測區中半徑400、600 mm和800 mm圓形空洞的實測和理論掃描圖像，對比可知實測與理論掃描曲線一致。由于圓形空洞處于相同的黃土介質中，而且掃描曲線頂點都處于16 ns處，所以三個圓形空洞的埋深相同。不同半徑圓形空洞掃描圖像各影響因素統計表，如表2所示。

對比分析可知，相同埋深的圓形空洞隨著半徑增大，圓形空洞掃描曲線彎曲程度逐漸變小，曲線頂點的尖銳程度也逐漸變小，曲線圖像趨于緩和，水平方向距離逐漸增大，曲線的特征體現出張開弧度增大的趨勢，實際情況吻合理論及檢測結果。

圖11 4號圓形空洞地質雷達實測與理論掃描圖Fig.11 Field measurement and theoretical scanning map of No. 4 circular cavity geological radar

圖12 5號圓形空洞地質雷達實測與理論掃描圖Fig.12 Field measurement and theoretical scanning map of No. 5 circular cavity geological radar

表2 不同半徑圓形空洞影響因素統計表Table 2 Statistic of influencing factors of circular cavity with different radius

4 結論

基于地質雷達波的傳播規律研究地下圓形空洞的成像機理。對不同埋深、不同半徑圓形空洞的成像規律進行了分析與歸納。具體結論如下：

(1)雷達掃描圖像在以水平移動方向與回波延時建立的坐標系中呈現對稱性特征，將掃描圖像劃分為三個階段，圖像在對稱軸左側的第一階段為單調遞減的連續凹函數，第二階段對稱軸左側為單調遞減的連續凹曲線，曲線厚度呈現不斷增大至穩定的趨勢。同理可得，第二階段對稱軸右側為單調遞增的連續凹函數，第三階段為單調遞增的連續凹曲線，曲線厚度呈現穩定至不斷減小的趨勢。

(2)考慮圓形空洞深度逐漸變化的情形下，圓形空洞地質雷達掃描曲線的變化趨勢。隨著圓形空洞深度的增大，曲線曲率減小，曲線圖像趨于緩和，曲線水平方向距離增大，曲線的特征體現出張開弧度增大的趨勢。

(3)考慮圓形空洞半徑逐漸變化的情形下，圓形空洞地質雷達掃描曲線的變化趨勢。隨著圓形空洞半徑的增大，曲線曲率減小，曲線圖像趨于緩和，曲線水平方向距離增大，曲線的特征體現出張開弧度增大的趨勢。