基于統計分析閾值的航段油耗分段線性估計模型

劉志， 陳靜杰

(中國民航大學電子信息與自動化學院， 天津 300300)

航空器碳排放量核查的實質是對飛機油耗的估計。航程是影響飛機油耗的重要因素，兩者間呈現復雜的非線性特征，不僅表現在全航程下的航班油耗呈顯著非線性，而且對于單一航段下的航班油耗同樣也呈現出非線性特征，其原因是由于諸如業載的不同以及運行的大氣環境等其他因素的影響。該非線性復雜特征為合理、準確判斷航空運輸過程碳排放量進而有效控碳帶來了諸多困難。如何發展一種既考慮上述因素而又不必在判斷方法或判斷模型中顯性形式參數出現，從而使模型簡化，進而利于碳排放量核查，這樣的解決方案值得探索。

從航司與航班層面分別闡述對于碳排放與油耗估計的研究現狀。從航司方面，Wang等[1]基于全球松弛度的度量模型和全球Malmquist-Luenberger生產率指數調查了碳排放的靜態和動態效率；Cui等[2]根據全球航司的實際數據，運用BP(back propagation)神經網絡對數據進行預測，構建一個DEA(data envelopment analysis)模型來計算減排分配比例。上述方法是從航司層面探討碳減排問題，未涉及對航班排放的考察，無法從運輸過程全要素中探討運行碳排放減緩的行為，缺少對航班碳排放集合的微觀刻畫。

從航班層面，Zhang等[3]通過擬合QAR(quick access recorder)數據的實際飛行數據提取啟動參數之間的關系，針對起飛爬升階段提出一種燃油消耗模型；熊歡等[4]公開了一種小樣本訓練數據條件下的飛機巡航燃油耗量測量方法；劉家學等[5]提出一種基于DBN(deep belief network)模型的飛機下降階段油耗估計方法；陳靜杰等[6]提出一種重構樣本下飛機油耗增強自適應差分進化相關向量機的預測方法，并構建飛機油耗預測模型；Huang等[7]通過對機載飛行數據記錄器和自動相關監視廣播的飛行數據建模，探索了一種估算飛機燃油消耗的新策略；胡楊[8]建立一種基于分位數回歸的航線油量預測模型；文獻[9]提出了一種獨特的方法量化其節油性，并提供了在試飛前無需建模就可以評估燃油的新方法；姚若霖等[10]分析各飛行階段飛行小時與油耗特征，建立飛機油耗區間估計，并根據航線飛行小時的季節性特征，提出一種基于飛行小時的航線油耗預測方法。上述方法多針對航段內航班各階段油耗的非線性展開討論，幾乎未涉及討論油耗影響因素對油耗量具體表現的非線性復雜特征。

為此，現構建一種基于統計分析閾值的運輸過程航段油耗分段線性估計模型。在飛機運輸過程航段油耗高階多項式表達的基礎上，以全航程航段油耗核證重要性指標為統計分析閾值來設定多項式表達線性化分段的依據，構建起航段油耗分段線性估計模型，使得該模型兼顧科學計算準確性與核證實操合理性。

1 航程油耗的非線性統計與合理性分析

1.1 航段油耗非線性統計分析

1.1.1 全航程航段油耗非線性統計分析

圖1為某機型各航程(以航段距離表示，即下文的航段)航班油耗量分布圖。航段較短的情況下，航班油耗量增加得相對緩慢；航段較長的情況下，航班油耗量增加得則極為劇烈。由此可得出，全航程航段的航班油耗量呈現為先緩慢增加后逐漸遞增的趨勢，即全航程航段油耗呈現顯著非線性特征。

圖1中的每一個點代表一架航班的航班油耗量，且每架航班的油耗量均不相同，體現出不同航段航班油耗量的不連續性。根據圖像所呈現出的整體特征，采用分段線性來描述不連續區域的方式是可行的，做該處理后，分段點前后的油耗估計則可轉變為在一定區間內的連續油耗估計，該區間的限制條件為

圖1 某機型各航班油耗量分布Fig.1 Fuel consumption distribution of each flight of a certain aircraft type

(1)

式(1)中：P′(x)表示多項式函數的導數值；P(x)表示的是多項式的函數值;δ表示滿足不等式成立的微小量。式(1)表示的是分段點前后某個區間內導數和區間端點油耗量差值的限制性條件，其中，選擇δ1的取值范圍為[0.001，0.005]，δ2的取值范圍為[100，150]。另外，該限制條件的取值范圍可根據實際情況進行調整。

1.1.2 單一航段油耗非線性統計分析

為說明單一航段油耗的特征，現給出某一航段油耗的航班油耗量示意圖，如圖2所示?？芍?，每架航班對應的航班油耗量不同，產生這一現象的可能原因有飛機的飛行姿態、側風的影響、大氣溫度以及繞飛的情況等。由此可見，單一航段油耗也具有非線性特征。

航班油耗量不僅在總體上呈現出顯著的非線性特征，同時，對于單一航段而言，航班油耗量也呈現出非線性特征。綜上所述，航程油耗具有復雜的非線性特征。

圖2 北京—長春航班油耗量Fig.2 Fuel consumption of Beijing—Changchun flight

1.2 航段油耗的碳核查合理性分析

圖3為航班油耗與航程的散點圖。當航程不同時，對航班油耗量的影響也不同。圖中能夠看出以下兩種特征：一方面，飛機在飛不同的航程時，所消耗的燃油量明顯不同，燃油消耗量的大小隨航程的增加而增加；另一方面，飛機在飛相同的航程時，所消耗的燃油量同樣也呈現出顯著的差異，這一情況尤其體現在飛機飛長航程時。

當航程超過4 000 km時，所表現出來的最大燃油消耗量與最小燃油消耗量的差值為10～20 t，其數據分散程度的統計指標數據如表1所示。

圖3 航班油耗和航程分布Fig.3 Distribution of flight fuel consumption and range

表1 全航程油耗數據分散程度統計量指標Table 1 Statistical index of dispersion degree of fuel consumption data in the whole voyage

在1.1節中已說明航程油耗間具有復雜的非線性特征，而圖3表示的是航班油耗與航程的具體分布，航程油耗數據不連續，且某些航段不存在油耗數據，也從另一個角度反映了航程油耗數據的復雜非線性。圖3中在某些航段內沒有航班油耗數據，是因為在這些航段內航路沒有開通，若在這些區域內做油耗估計，那么將會削弱油耗估計的合理性。因此，可將這些區域作為航程油耗估計的限制條件。

2 非線性的線性化

2.1 航段油耗分布性態分析

判斷數據序列的分布性態可用偏度與峰度來評價。其中，偏度是用來幫助判斷數據序列的分布規律性的指標，而峰度則是一個用于衡量分布平坦性的度量指標。

現以從北京到廣州這一條航段為例，說明該航段的分布性態，其各項指標結果如表2所示，分布性態曲線如圖4所示。

從表2中看到從北京到廣州這一航段上航班油耗量的均值、中位數與眾數均不相同，說明數據序列的分布不對稱；從峰度與偏度的值可以看出，峰度大于0，偏度也大于0，其分布曲線性態屬于右偏尖頂峰，這一性態體現在圖4中。由此得出北京—廣州這一航段上的油耗分布為偏態分布。而在偏態情況下，選擇中位數來代表從北京到廣州這一航段的航班油耗量。其余航段的航班油耗量均可按照上述方式做篩選。

此時，經過分布性態分析后各航段航班油耗如圖5所示。根據相鄰航段的航班油耗波動程度，削弱全航程航段油耗的非線性，用分段線性來代替非線性是可行的。

表2 北京—廣州航段油耗各指標結果Table 2 Fuel consumption index results of Beijing-Guangzhou Segment

圖4 北京—廣州航段油耗分布性態圖示Fig.4 Fuel consumption distribution behavior diagram of Beijing—Guangzhou segment

圖5 各航段航班油耗量Fig.5 Fuel consumption of each flight segment

2.2 油耗的非線性估計

在1.1節中已說明航程與油耗間存在非線性關 系，而在所有數據擬合的方法當中，最小二乘法擬合是已被證明的應用最為普遍的方法。因此，采用多項式擬合的方法對航程油耗進行非線性估計。其非線性表達式為

(2)

式(2)中：ak為多項式的系數；(xi,yi)為航程與航班油耗組成的點；第二個式子表示使得(xi,yi)到Pn(x)(即多項式擬合函數)的距離和達到最小。

由式(2)可知，該式子為a0,a1,…,an的多元函數，因此高階多項式擬合就可以轉化為求解I=I(a0,a1,…,an)的極值問題。

依據多元函數求解極值的原理，關于a0,a1,…,an的線性方程組，可以用矩陣描述為

(3)

觀察方程組(3)的系數矩陣，很明顯，系數矩陣屬于對稱正定矩陣，因此，可以得到唯一的系數矩陣，即多項式表達是唯一的。經過多項式擬合后，可得到對應的非線性估計模型，即油耗的非線性估計。

2.3 非線性的分段線性化

為降低非線性估計模型的復雜性，將非線性進行分段線性化。求其多項式函數的導數公式為

(4)

尋找其統計分析閾值為

(5)

多項式導數差的絕對值表示的是多項式函數的變化率，當該變化率達到限制條件時，說明多項式函數在某一區間內存在分段點；于此同時，當多項式函數差的絕對值達到限制條件時，可縮短分段點所在的區間，并逐漸逼近分段點，再結合1.2節中提到的在沒有油耗數據的區域內進行估計會削弱油耗估計的合理性，要求逼近的分段點位置遠離這些區域。

經過實驗確定統計分析閾值進而確定分段點的位置，最終建立分段線性估計模型。

3 實例分析

3.1 數據來源

文中的樣本數據是源于某航司某機型實飛QAR數據。

航程采用航段大圓距離[11]、油耗采用發動機燃油流量對時間的積分或累加和的結果，取整數有效位數。

3.2 非線性估計

在2.1中闡明了航程與航班油耗之間的非線性關系，并采用多項式函數描述其非線性。前述航司機型全航程各航段油耗分布性態指標結果如表3所示。

從表3中能夠看出，該機型其他航段的分布性態均為偏態性，于是，將不同航程的航班油耗量用其對應的中位數來表示。各航段下所取航程油耗的樣本集如圖6所示。

按照2.2節中給出的多項式擬合的方法，對圖3航程與航班油耗進行非線性擬合，得

y=1.304×10-11x4+2.21×10-7x3-

0.001 092x2+7.814x+2 697

(6)

方程擬合優度指標R2=0.998 1，擬合度高，結果是可信的。在一定誤差允許范圍內，該表達式可作為航班油耗與航程的非線性估計模型，其多項式擬合的結果如圖6所示。

圖6 多項式擬合模型顯示圖Fig.6 Polynomial fitting model display

3.3 分段點的尋找

按照2.3節中給出的非線性的線性化方法，尋找分段點的位置，然后用分段點的位置來區分不同的分段區間，最終構建出分段線性估計模型。首先，以步長100 km為參考，觀察航段的導數值的變化規律，由于數據量過多，表格內容僅顯示導數值發生變化的區域(下同)，其結果如表4所示。

由擬合結果式(6)，其導數變化如圖7所示，考慮公式(5)約束，這里考慮建議的δ1取值范圍[0.005，0.05]、δ2取值范圍[550，750]。δ1與δ2的取值范圍均相差比較大，需要進一步縮小步長來確定。

表3 各航段下所取航程油耗與實際航程油耗 指標對比結果Table 3 Comparison results of fuel consumption index between the range taken under each segment and the actual range

表4 步長為100 km的航段導數值變化區域Table 4 Variation area of segment conductance value with step length of 100 km

接下來，分別以步長50、20、10 km為參考，觀察航段的導數值的變化規律，其結果如表5～表7所示。

表5 步長為50 km時的航段導數值變化區域Table 5 Variation area of segment conductance value with step length of 50 km

圖7 導數值變化Fig.7 Variation of derivative value

表6 步長為20 km時的航段導數值變化區域Table 6 Variation area of segment conductance value with step length of 20 km

表7 步長為10 km時的航段導數值變化區域Table 7 Variation area of segment conductance value with step length of 10 km

分析表6與表7發現，步長為20 km或10 km時，其導數值的變化規律相同。由擬合結果式(6)，其導數總體變化趨勢不變，考慮式(5)約束，這里考慮建議的δ1取值范圍[0.000 2,0.002]、δ2取值范圍[100，140]。由于在2 200 km與6 000 km左右的區域內沒有對應的航班油耗數據，受此限制條件的制約，將分析得到的分段點位置需要進行調整，經過實驗測試，最終分段點的位置確定在2 100 km和4 900 km處?？紤]步長的因素以及航班油耗數據分布的限制，最終選取的分段點x為180 km(實際最短航程)、2 100 km、4 900 km和9 669 km(實際最大航程)。

3.4 分段線性估計模型

基于統計分析閾值的航段油耗分段線性估計模型如圖8所示。

求得該分段估計模型的表達式為

(7)

圖8 航段油耗分段線性估計模型Fig.8 Piecewise linear estimation model of fuel consumption in segment

4 結論

構建了一種基于統計分析閾值的航段油耗分段線性估計模型。首先分析航段油耗間存在的復雜非線性特征，不僅在全航程航段油耗表現為非線性，而且單一航段油耗也表現為非線性；其次，對航段油耗做高階多項式擬合，達成對航段油耗的非線性估計；隨后，為降低非線性的復雜程度，將非線性線性化，確定統計閾值，尋找分段區間的分段點，最終建立飛機油耗分段線性估計模型。實例分析結果表明了方法的有效性。