經(jīng)管類專業(yè)的數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)認(rèn)識與實踐

李元敏

（西南林業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，昆明 650224）

數(shù)學(xué)在當(dāng)今高技術(shù)時代發(fā)揮了日益關(guān)鍵的作用。“21 世紀(jì)高技術(shù)本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”已經(jīng)成為社會的共識。高等學(xué)校的數(shù)學(xué)教育有必要順應(yīng)這一變化趨勢，及時調(diào)整教學(xué)方法和教學(xué)模式，更好地提升人才培養(yǎng)效果。

通常數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)模式主要有兩種：一是按照數(shù)學(xué)學(xué)科自身的分科體系，按分類課程、系統(tǒng)化教學(xué)；二是以應(yīng)用問題為導(dǎo)向，組織教學(xué)內(nèi)容。目前在國內(nèi)一般高等院校，數(shù)學(xué)公共課的定位是為學(xué)生的專業(yè)課程提供相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)和工具，使用的仍然是系統(tǒng)化的傳統(tǒng)教學(xué)模式。如何與時俱進(jìn)地改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)模式已經(jīng)成為數(shù)學(xué)公共課教改的焦點問題。同時應(yīng)該針對經(jīng)管類的學(xué)生特點，設(shè)計出專門的數(shù)學(xué)課教學(xué)模式，以更好地適應(yīng)新時代下的人才培養(yǎng)。近年來已經(jīng)有一些學(xué)者進(jìn)行了研究和探索。通過近年來的教學(xué)實踐，發(fā)現(xiàn)對于經(jīng)管類學(xué)生，數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，提高數(shù)學(xué)公共課教學(xué)質(zhì)量、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的有效教學(xué)模式。

我們理解的數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)并不是傳統(tǒng)系統(tǒng)化教學(xué)模式中的背景引例、舉例分析，而是一種貫穿于整個教學(xué)過程中的具有實踐性、開放性的教學(xué)模式；是一種解決用實際問題來驅(qū)動理論知識的傳授的教學(xué)模式。本文基于近年來我們的教學(xué)實踐，對這一教學(xué)方法進(jìn)行總結(jié)和討論。

一、經(jīng)管類專業(yè)數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)改革的認(rèn)識

目前，國內(nèi)大部分高校的數(shù)學(xué)公共課教學(xué)，仍然是以課堂理論教學(xué)模式為主。系統(tǒng)化教學(xué)模式主要是從數(shù)學(xué)的自身邏輯去構(gòu)建教學(xué)體系，和目前學(xué)生的實際狀況存在一定的脫節(jié)現(xiàn)象。同時這種教學(xué)模式客觀上增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。最終造成的局面是：學(xué)生似乎知道數(shù)學(xué)很重要，但陷于基礎(chǔ)抽象的理論學(xué)習(xí)，普遍對數(shù)學(xué)的實用性缺乏認(rèn)識，不能領(lǐng)悟所學(xué)知識的價值，以至于學(xué)習(xí)缺乏目標(biāo)和動力。

實際上，我們培養(yǎng)的經(jīng)管類學(xué)生絕大部分是應(yīng)用型人才，因此應(yīng)該與時俱進(jìn)的轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念。傳授多少數(shù)學(xué)知識給學(xué)生并不重要，重要的是讓學(xué)生能掌握解決問題的數(shù)學(xué)手段。進(jìn)一步的，更重要的是在傳授學(xué)生數(shù)學(xué)理論和方法的同時，讓學(xué)生提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。使得學(xué)生能夠利用數(shù)學(xué)的思維方式去解決專業(yè)領(lǐng)域遇到的實際問題。我們認(rèn)為，提高數(shù)學(xué)類課程教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。教學(xué)改革應(yīng)該首先通過教學(xué)模式的調(diào)整，讓學(xué)生感受到“好的數(shù)學(xué)理論是最實用的。”通過具體問題的解決，展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法的強(qiáng)大威力，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

經(jīng)管類專業(yè)的數(shù)學(xué)課程和實際問題結(jié)合的教學(xué)改革研究，國內(nèi)已有很多學(xué)者進(jìn)行了探討。本質(zhì)上都是在講授基礎(chǔ)數(shù)學(xué)理論的同時，加入涉及經(jīng)濟(jì)、金融和管理的例子。這些教學(xué)改革最主要的問題是由于學(xué)時有限，教師教學(xué)只能重點放在理論教學(xué)；即使出現(xiàn)涉及經(jīng)濟(jì)類的例子也是作為理論知識的直接應(yīng)用，不能深入討論，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣作用有限。

另一方面，隨著近年來全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的開展，數(shù)學(xué)建模對數(shù)學(xué)教學(xué)改革起到了積極和重要的作用。在建模教學(xué)和實踐中發(fā)展出來的數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)方法，也受到了廣泛的重視和研究。數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)是指以解決實際問題作為教學(xué)內(nèi)容，通過對問題的分析、簡化、建模、求解和討論等，向?qū)W生展示數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用，從而讓學(xué)生逐步掌握數(shù)學(xué)理論、方法和思想。

從對數(shù)學(xué)建模競賽指導(dǎo)的過往經(jīng)驗上看，理工科學(xué)生往往比較適應(yīng)數(shù)學(xué)建模的。而經(jīng)管類學(xué)生，對數(shù)學(xué)方法和工具的使用，普遍要弱一些，主要的原因可能是：理工科專業(yè)的很多課程本身就滲透著利用數(shù)學(xué)建模解決問題的思想和實例，學(xué)生對這套方法有一定的訓(xùn)練。而經(jīng)管類學(xué)生大多從記憶的角度來理解專業(yè)課程，不太適應(yīng)數(shù)學(xué)工具在專業(yè)課程中的應(yīng)用。

實際上，正是由于大量采用了數(shù)學(xué)工具和方法，更為邏輯一致地揭示出復(fù)雜現(xiàn)象背后的深刻規(guī)律，使得經(jīng)管類學(xué)科在現(xiàn)代取得了巨大的發(fā)展。經(jīng)管類學(xué)生應(yīng)該順應(yīng)學(xué)科發(fā)展的趨勢，熟練掌握數(shù)學(xué)工具和思維方法，善于利用數(shù)學(xué)工具，增強(qiáng)自身解決實際問題的能力。所以我們認(rèn)為以經(jīng)管類學(xué)生為對象，開展數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)是符合時代發(fā)展需求的。

對經(jīng)管類學(xué)生的數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)，一些學(xué)者已經(jīng)有了一些初步的探討和研究。我們的目標(biāo)是在這些研究的基礎(chǔ)上，在實踐中循序漸進(jìn)地進(jìn)行教學(xué)改革，最終實現(xiàn)以解決應(yīng)用問題為導(dǎo)向，重構(gòu)目前經(jīng)管類專業(yè)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式。

二、數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)的具體實踐

基于上面對數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)重要性和必要性的認(rèn)識，并考慮到教學(xué)改革應(yīng)該以慎重的態(tài)度，在最近幾年的教學(xué)實踐過程中，我們進(jìn)行了以下幾個方面的工作。

（一）課堂教學(xué)框架的調(diào)整

對傳統(tǒng)的理論教學(xué)進(jìn)行了調(diào)整，在課堂教學(xué)的組織上，由教師根據(jù)授課專業(yè)的特點，準(zhǔn)備恰當(dāng)?shù)陌咐园咐虒W(xué)貫穿整個課堂教學(xué)流程（見后面實例說明）。在課后開放式練習(xí)中，利用具體實際問題，讓學(xué)生深入探討式學(xué)習(xí)。充分利用現(xiàn)代信息和計算技術(shù)的發(fā)展，淡化機(jī)械式的運算練習(xí)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)方法的理解和在問題中的運用，也是根據(jù)各個不同專業(yè)的差異，設(shè)計與安排學(xué)生課后習(xí)題和案例的解決。最后，在課程考核中增加權(quán)重比較大的解決實際問題的開放性試題。

在整個教學(xué)過程中，我們特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生的互動和參與，淡化一些數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)，并且不追求數(shù)學(xué)理論的嚴(yán)謹(jǐn)性，著重強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀和直覺。

（二）經(jīng)管類學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽專門培訓(xùn)課程

對經(jīng)管類學(xué)生開設(shè)專門的數(shù)學(xué)建模案例課程（公共選修課），課程內(nèi)容進(jìn)行專門的針對性設(shè)計，由培訓(xùn)老師在經(jīng)管類學(xué)科中收集、整理和加工相關(guān)合適的問題。然后通過帶領(lǐng)學(xué)生：對問題進(jìn)行分析和討論；抓住主要因素、做出合理假設(shè)；選擇合適的數(shù)學(xué)方法，建立模型；綜合利用計算機(jī)和數(shù)學(xué)求解模型問題；分析、討論和驗證結(jié)果；撰寫報告等各個環(huán)節(jié)。

在內(nèi)容的選擇上，考慮到經(jīng)管類問題大多是以收集到的數(shù)據(jù)為研究起點和對象，我們強(qiáng)調(diào)統(tǒng)計學(xué)和數(shù)據(jù)科學(xué)的相關(guān)方法。在建模方面，針對不同問題的領(lǐng)域特點，對不同專業(yè)的學(xué)生有所側(cè)重，例如，對于管理類學(xué)生，著重于管理決策分析中的數(shù)學(xué)建模方法，強(qiáng)調(diào)運籌學(xué)、數(shù)學(xué)規(guī)劃等方法的引入；對于經(jīng)濟(jì)類學(xué)生，側(cè)重于抓住經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中的主要因素，建立合理簡化的數(shù)學(xué)模型，強(qiáng)調(diào)優(yōu)化方法和算法的介紹。

（三）重視實際應(yīng)用，跨學(xué)科的聯(lián)合培養(yǎng)人才

目前的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課課程體系設(shè)計是相對封閉和獨立的。案例教學(xué)是以實際問題為驅(qū)動的教學(xué)模式，在本質(zhì)上就要求跨學(xué)科的課程建設(shè)和人才培養(yǎng)，這就要求數(shù)學(xué)公共課教師了解經(jīng)管類學(xué)科的發(fā)展前沿，同其他專業(yè)的教師聯(lián)合，跨學(xué)科的聯(lián)合培養(yǎng)人才。

最近幾年，我們在實踐的過程中，找到了一個切入點：通過數(shù)學(xué)公共課程老師直接參與經(jīng)管類學(xué)生的畢業(yè)論文指導(dǎo)（設(shè)計）。由于在這些學(xué)生的畢業(yè)論文大量的使用了數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)的方法，畢業(yè)論文的質(zhì)量在一定程度上得到大幅的提高。

同時通過這種深度的參與和合作，也使數(shù)學(xué)老師更加深刻地了解到數(shù)學(xué)在其他專業(yè)和學(xué)科中的應(yīng)用，給本身數(shù)學(xué)公共課的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的處理也帶來極大的裨益。

三、數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)實例——企業(yè)價值的評估

數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)需要授課教師細(xì)致的教學(xué)設(shè)計，這就要求教師深入到學(xué)生的專業(yè)領(lǐng)域，提煉具體問題的數(shù)學(xué)理論的背景、尋找恰當(dāng)?shù)陌咐⒕唧w的案例問題引入到數(shù)學(xué)課教學(xué)中，在教學(xué)中展現(xiàn)給學(xué)生如何綜合的利用數(shù)學(xué)方法解決問題。

例如，在介紹無窮級數(shù)理論時，對于財務(wù)會計、金融類的學(xué)生，我們使用的是企業(yè)價值的評估問題作為案例教學(xué)問題。如下，我們介紹一下這一案例教學(xué)的具體流程。

第一步，案例的引入和講解。在對會計、財務(wù)類專業(yè)學(xué)生講解無窮級數(shù)內(nèi)容時，我們選擇的案例是企業(yè)的估值問題。通過財務(wù)數(shù)據(jù)對企業(yè)估值，經(jīng)常使用的定量化方法是股利貼現(xiàn)模型和自由現(xiàn)金流量貼現(xiàn)模型。這兩個模型都涉及到無窮級數(shù)的求和。我們利用這個案例進(jìn)行無窮級數(shù)部分的教學(xué)。

理解這個模型的數(shù)學(xué)理論后，學(xué)生自然就知道，在這個模型中r≤g 是不可能出現(xiàn)的，因為此時級數(shù)不收斂。經(jīng)濟(jì)上的含義是，如果企業(yè)增長率大于貼現(xiàn)率，且能永續(xù)增長，那么其估值是無限的。

在介紹完這個案例后，學(xué)生對于無窮級數(shù)的問題背景和數(shù)學(xué)處理方法有了一定程度的了解，但對其中的數(shù)學(xué)理論還缺乏系統(tǒng)的學(xué)習(xí)。

第二步，數(shù)學(xué)相關(guān)理論的精簡學(xué)習(xí)。在這一步我們通常利用教師事先錄制好的教學(xué)視頻給學(xué)生觀看，視頻是教師對知識進(jìn)行事先整體的梳理，使理論知識脈絡(luò)、簡潔和清晰，時間控制在十五分鐘左右，可以結(jié)合翻轉(zhuǎn)課堂的模式，由教師事先將視頻通過網(wǎng)絡(luò)分發(fā)給學(xué)生，學(xué)生可以課前觀看、課后復(fù)習(xí)總結(jié)。

第三步，數(shù)學(xué)理論在案例中應(yīng)用的深入討論。在這一過程中，教師深入講解利用數(shù)學(xué)方法解決企業(yè)估值的關(guān)鍵點，讓學(xué)生充分體會到數(shù)學(xué)概念提出的合理性，數(shù)學(xué)理論的深刻性。

同時通過深入討論，學(xué)生就會逐漸發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有模型的優(yōu)點和缺陷，促發(fā)學(xué)生去質(zhì)疑、改良現(xiàn)有模型，從而客觀上培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識。

第四步，課后的開放性設(shè)計。案例教學(xué)的最終目的是讓學(xué)生通過案例去學(xué)會如何利用數(shù)學(xué)工具解決問題。通過課堂上的三個教學(xué)過程，學(xué)生已經(jīng)了解建立模型解決問題的流程，課后要引導(dǎo)學(xué)生拓展案例中的模型。如自由現(xiàn)金流量模型中存在的一些不合實際的簡化假設(shè)：有永續(xù)存在且增長的企業(yè)嗎？如果考慮清算并購呢？永續(xù)增長率g、貼現(xiàn)率r 這樣的時間序列如何估計？如何估計自由現(xiàn)金流？可以利用上述這些問題給學(xué)生做課后的開放性設(shè)計，提出更加深入的模型。

通過近幾年的教學(xué)實踐，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)突破了傳統(tǒng)系統(tǒng)化教學(xué)的弊端，是一種真正教會學(xué)生思考的教學(xué)方式，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性思維的捷徑。

四、深化數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)改革的構(gòu)想

教學(xué)改革是一個不斷深化和逐漸完善的過程，通過近幾年的實踐和認(rèn)識，我們對深化數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)改革有如下的一些構(gòu)想。

（一）繼續(xù)深化跨學(xué)科的聯(lián)合培養(yǎng)人才

案例教學(xué)在本質(zhì)上就是一個開放的教學(xué)模式，有利于跨學(xué)科的人才培養(yǎng)，在今后的實踐上主要有兩方面構(gòu)想和方案。

第一，繼續(xù)深化數(shù)學(xué)公共課程老師參與經(jīng)管類學(xué)生的畢業(yè)論文指導(dǎo)（設(shè)計），讓數(shù)學(xué)老師深入到經(jīng)管類專業(yè)學(xué)生的人才培養(yǎng)中，甚至參與經(jīng)管類專業(yè)的研究生培養(yǎng)過程（參加研究生討論班、聯(lián)合指導(dǎo)研究生畢業(yè)論文）。

第二，開設(shè)數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)的公共課程。以目前在數(shù)學(xué)建模競賽培訓(xùn)班課程上的案例教學(xué)實踐為基礎(chǔ)，通過和經(jīng)管專業(yè)老師的合作，進(jìn)一步加工經(jīng)管類學(xué)科中的數(shù)學(xué)模型問題，將這一課程體系納入到目前公共課教學(xué)體系和人才培養(yǎng)計劃中。

（二）教學(xué)資源整合，建立跨學(xué)科的共享平臺

實際上各個高校自身內(nèi)部，各個專業(yè)都存在大量利用數(shù)學(xué)建模方法解決問題的案例，要重視對這些案例的收集、加工和整理，不僅可以促使跨專業(yè)的教學(xué)和科研教融合，而且讓我們的數(shù)學(xué)公共課教學(xué)及時調(diào)整教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，更好地培養(yǎng)人才。

為此可以在學(xué)校層面建立的數(shù)學(xué)模型案例和數(shù)據(jù)共享平臺，來保證和深化這種人才的跨學(xué)科人才培養(yǎng)模式，并促進(jìn)跨學(xué)科科研融合。

（三）順應(yīng)數(shù)據(jù)科學(xué)發(fā)展趨勢，重構(gòu)人才培養(yǎng)模式

隨著數(shù)據(jù)科學(xué)的興起，案例教學(xué)也應(yīng)該順應(yīng)這一趨勢。經(jīng)管類專業(yè)的大量實際問題是以收集到的數(shù)據(jù)為研究基礎(chǔ)，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)科學(xué)的方法。從實踐上看，針對經(jīng)濟(jì)和管理學(xué)科的一些具體問題，運用數(shù)據(jù)科學(xué)中的一些“黑箱”方法更為有效，而這些方法相較于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論，學(xué)生也容易理解和掌握。

在教材和課程體系的構(gòu)建上，對經(jīng)管類學(xué)生應(yīng)該加強(qiáng)概率統(tǒng)計、統(tǒng)計機(jī)器學(xué)習(xí)、模式識別和數(shù)據(jù)挖掘等課程的建設(shè)。在這些課程中，以實際的數(shù)據(jù)為研究對象，介紹相應(yīng)的解決手段和方法，并且在成熟的時候，重構(gòu)目前的高校數(shù)學(xué)公共課的課程和教學(xué)體系。

五、結(jié)束語

對于經(jīng)管類學(xué)生，提高數(shù)學(xué)類課程教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵在于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以案例為導(dǎo)向來組織教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)是有效的方法。在教學(xué)改革的實踐中，應(yīng)該循序漸進(jìn)地改變目前的教學(xué)方式和模式，最終實現(xiàn)以解決應(yīng)用問題為導(dǎo)向，重構(gòu)目前經(jīng)管類專業(yè)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)和課程體系。