以問題驅(qū)動解題方法的形成
——以一道一次函數(shù)題的教學(xué)為例

?江蘇省南通市幸福中學(xué) 陳 宇

學(xué)生“一聽就懂，轉(zhuǎn)眼即忘”的現(xiàn)象，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中時有發(fā)生.為了避免這種現(xiàn)象，筆者在教學(xué)中經(jīng)過多重實踐，發(fā)現(xiàn)問題的提出能驅(qū)動解題方法的形成，并對獲得知識的內(nèi)涵具有重要作用.實踐表明，教學(xué)活動中的問題能厘清學(xué)生的思維，幫助學(xué)生理解知識的內(nèi)涵，建構(gòu)新的知識結(jié)構(gòu).為此，筆者以一道一次函數(shù)題的教學(xué)為例，具體談?wù)勗鯓訉ⅰ胺椒ㄐ纬伞甭鋵嵉絾栴}教學(xué)研究中.

1 巧妙導(dǎo)入，拋出問題

俗話說：“良好的開端是成功的一半.”課堂導(dǎo)入作為教學(xué)活動的初始環(huán)節(jié)，具有吸引學(xué)生注意力、激發(fā)學(xué)習(xí)興趣等重要作用.教師在課堂導(dǎo)入時，緊扣學(xué)生的心理特點，設(shè)置具有一定挑戰(zhàn)性的問題障礙，能有效地推動學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，讓學(xué)生不由自主地產(chǎn)生學(xué)習(xí)行為.因此，巧妙地導(dǎo)入難度適中的問題，在教學(xué)活動中具有拋磚引玉的功效.

案例如圖1，已知點A的坐標(biāo)為(0，3)，點B的坐標(biāo)為(4，6)，點P是x軸上的動點，若點B關(guān)于AP的對稱點B′正好落在x軸上，試求點P的坐標(biāo).

圖1 圖2

分析：解決此題的主要障礙在于AP為一條動直線，點B′為一個動點.一般情況下，我們可從以下兩種思路著手解決問題.

本題難易程度適中，學(xué)生稍加思考即能分析出解題方法.學(xué)優(yōu)生都能想到這兩種方法，大部分學(xué)生至少能想到一種解題方法.此問題的難度并不大，落在大部分學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，學(xué)生對此題表現(xiàn)出較高的探索興致.一些基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生也躍躍欲試，基本能滿足學(xué)困生“跳一跳，摘到桃”的效果.

2 變式探究，激活思維

數(shù)學(xué)是思維的體操，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于形成良好的思維，獲得發(fā)現(xiàn)、探究與解決問題的能力.為了激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生在解題中形成自己獨特的解題方法，筆者在學(xué)生解完上述案例的基礎(chǔ)上，提出新的問題，供學(xué)生探究.

新問題的提出需突破思維的局限性，一般采用變式教學(xué)的方式拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.變式教學(xué)一般是指將命題進行合理轉(zhuǎn)化，常見的有以下幾類：①條件與結(jié)論的轉(zhuǎn)換；②更換命題中存在的一些非本質(zhì)特征；③將問題的形式與內(nèi)容進行轉(zhuǎn)換；④保留原題的本質(zhì)性因素，設(shè)置具有實際應(yīng)用性的新環(huán)境，讓學(xué)生從根本上掌握問題的內(nèi)涵等.

本案例是一道常見題，具有較高的研究價值.因此，筆者提出以下兩個變式問題，供學(xué)生探究與思考，以強化學(xué)生的解題思路與方法，為模型思想的發(fā)展奠定一定的基礎(chǔ).

圖3

變式1如圖3，假設(shè)題設(shè)條件中點B關(guān)于直線AP的對稱點B′恰巧在y軸上，則點P的坐標(biāo)是什么？

圖4

變式2如圖5，已知點A的坐標(biāo)為(0，2)，在其他所有條件都不發(fā)生改變的情況下，點B′正好位于x軸上，點P的坐標(biāo)是什么？

圖5

在原題的基礎(chǔ)上，筆者以變式的方式提出新的探究方向.先討論點B關(guān)于直線AP的對稱點B′在x軸上的情況，再討論該點處于y軸上的情況.循序漸進地提出問題串，既符合學(xué)生思維由淺入深的發(fā)展規(guī)律，又充分體現(xiàn)了問題的層次性，這種方法能有效地培養(yǎng)學(xué)生的類比思想.

有梯度地設(shè)計帶有導(dǎo)向性的問題，能讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題間的內(nèi)部聯(lián)系，從而產(chǎn)生探究的動力，當(dāng)問題更上一個臺階時，學(xué)生的思維也得到有效開發(fā).此過程中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)討論與探究獲得相應(yīng)的解題方法，有效地培養(yǎng)了學(xué)生的類比思想、數(shù)形結(jié)合思想，為練習(xí)訓(xùn)練的開展與模型思想的形成奠定了堅實的基礎(chǔ).

3 適當(dāng)練習(xí)，建構(gòu)模型

練習(xí)具有鞏固所學(xué)內(nèi)容、提升思想認(rèn)識與促進創(chuàng)新等作用.過多的練習(xí)(題海戰(zhàn)術(shù))會讓學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭倦感，過于簡單的練習(xí)又達(dá)不到提升各項數(shù)學(xué)能力的效果.因此，教師在課程結(jié)束后，應(yīng)根據(jù)內(nèi)容與學(xué)情設(shè)計難易程度適當(dāng)?shù)木毩?xí)，讓學(xué)生在解題訓(xùn)練中完成認(rèn)識上的飛躍，以促進認(rèn)知的發(fā)展.

可見，練習(xí)并非漫無目的地刷題，而是適應(yīng)新課標(biāo)所倡導(dǎo)的化歸演練，以突出解決類似問題為主的訓(xùn)練.化歸演練比傳統(tǒng)練習(xí)更具探索性、挑戰(zhàn)性與開放性，學(xué)生通過化歸演練能在大腦中建構(gòu)新的模型，激發(fā)各類數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展.

練習(xí)如果點A與點B的坐標(biāo)分別為(0，a)與(b，c)，且a，b，c均大于0，2a-c≠0，在案例中其他條件都不變的情況下，求點P的坐標(biāo).

圖6

例題教學(xué)的目的不在于學(xué)會解決一道題，而在于探尋解決此類問題通用的數(shù)學(xué)思想與方法.本題用字母的表示來揭示問題的規(guī)律，形成了解決同類問題的模型，有效地激活了學(xué)生的模型思想.該題屬于典型的化歸演練，學(xué)生解決該問題的過程就是構(gòu)建模型的過程.今后若再遇到類似的問題，則能快速地找出解題方法，從真正意義上實現(xiàn)了舉一反三、以一通百的教學(xué)目的.

總之，解題方法的形成，離不開問題的驅(qū)動.不論是課堂導(dǎo)入，還是變式的探究，抑或是化歸演練，都離不開問題的引導(dǎo).這些問題猶如一級級臺階，學(xué)生以問題為落腳點，在拾級而上的過程中，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的螺旋式上升，為數(shù)學(xué)思想的形成與解題能力的提升奠定了堅實的基礎(chǔ).